等比数列中的函数思想

周虎

数列是中学数学重要的基础内容之一，在平时的教学中要加强学生对概念的深入理解，如果我们从函数的角度去研究数列，加强函数思想在数列中的应用教学，使学生理解数列是函数概念的继续和延伸，它可以看作是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数，数列与函数之间是特殊到一般的关系.通过对数列中的函数知识的应用，可以使学生对函数思想有更深刻的认识和理解，使所学的知识融会贯通，有效地提高学生的思维能力.

一、在等比数列中建立恰当的目标函数

在等比数列求和中，通过建立目标函数利用待定系数法使解题过程更加简便，同时避开了繁琐的计算过程.

例1：在等比数列中，前n项和为Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式Sn=■列出关于a1和q的方程组，解出a1和q，但计算繁琐.若考虑到等比数列的前n项和Sn= ■=■-■.qn，设A=-■，则可以考虑建立目标函数 Sn=Aqn-A（A为待定系数），从而优化了解题过程.

解：设 Sn=Aqn-A，则S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程组解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

评述：此题如果注意到等比数列前n项和Sn可写成Sn=Aqn-A（A为待定系数）的形式，解题方法显得巧妙一些.通过对这道题的仔细讲解让学生理解函数思想在数列中的应用，在今后解数列题时要巧妙的使用函数方法.

函数的观点解决数列问题，不仅是解决数列问题的重要途径，也是提高数学解题能力的重要一环.用函数思想解数列问题时，不仅要用到函数的形式，更重要的是应用函数的思想方法通过构造函数，借助与函数性质及图像来解决问题，会有事半功倍的效果.

二、利用函数的性质解决等比数列问题

利用函数的单调性解决数列中的问题，会使得一道难题变得更简单.利用函数的一些性质解答数列题中同样如此.所以在解数列题时要思维活跃，多鼓励学生一题多解，不断的去探索数列与函数的异同点.

例2：已知数列a■的通项a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），试问该数列a■有没有最大项？若有求出最大项的项数，若没有说明理由.

解题思路：由于该数列不是直接与等比数列相关的数列，形式看起来比较复杂，但若从函数角度，可利用函数单调性来研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

当n<9时，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

当n=9时，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

当n>9时，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…这说明数列a■中存在最大项，为第9项或第10项.

评述：本题也可以化归为解不等式组a■>a■a■≥a■来解决，但计算繁琐，而利用函数的单调性更能发现数列的变化趋势，显得更简捷.利用函数的相关性质来解决数列问题，降低了试题的难度，通过对这些题的研究，让学生更加理解了函数与数列的特殊关系.

在解题中巧妙地使用函数思想会大大地降低解题难度，尤其是在一些比较复杂的数列题中。如果联想到了题目考查函数的某些性质，那解题就是很容易的事，经常让学生去探索它们的联系，不仅提高了学生的解题速度，更重要的是培养了学生的思维能力.要告诉学生，不能够为解题而解题，要多去思考探究中学数学中各知识点之间的联系，要挖掘各知识点之间的异同点，达到对所学内容融会贯通真正的把所学的知识运用到实际生活中.

责任编辑 罗 峰

数列是中学数学重要的基础内容之一，在平时的教学中要加强学生对概念的深入理解，如果我们从函数的角度去研究数列，加强函数思想在数列中的应用教学，使学生理解数列是函数概念的继续和延伸，它可以看作是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数，数列与函数之间是特殊到一般的关系.通过对数列中的函数知识的应用，可以使学生对函数思想有更深刻的认识和理解，使所学的知识融会贯通，有效地提高学生的思维能力.

一、在等比数列中建立恰当的目标函数

在等比数列求和中，通过建立目标函数利用待定系数法使解题过程更加简便，同时避开了繁琐的计算过程.

例1：在等比数列中，前n项和为Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式Sn=■列出关于a1和q的方程组，解出a1和q，但计算繁琐.若考虑到等比数列的前n项和Sn= ■=■-■.qn，设A=-■，则可以考虑建立目标函数 Sn=Aqn-A（A为待定系数），从而优化了解题过程.

解：设 Sn=Aqn-A，则S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程组解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

评述：此题如果注意到等比数列前n项和Sn可写成Sn=Aqn-A（A为待定系数）的形式，解题方法显得巧妙一些.通过对这道题的仔细讲解让学生理解函数思想在数列中的应用，在今后解数列题时要巧妙的使用函数方法.

函数的观点解决数列问题，不仅是解决数列问题的重要途径，也是提高数学解题能力的重要一环.用函数思想解数列问题时，不仅要用到函数的形式，更重要的是应用函数的思想方法通过构造函数，借助与函数性质及图像来解决问题，会有事半功倍的效果.

二、利用函数的性质解决等比数列问题

利用函数的单调性解决数列中的问题，会使得一道难题变得更简单.利用函数的一些性质解答数列题中同样如此.所以在解数列题时要思维活跃，多鼓励学生一题多解，不断的去探索数列与函数的异同点.

例2：已知数列a■的通项a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），试问该数列a■有没有最大项？若有求出最大项的项数，若没有说明理由.

解题思路：由于该数列不是直接与等比数列相关的数列，形式看起来比较复杂，但若从函数角度，可利用函数单调性来研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

当n<9时，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

当n=9时，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

当n>9时，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…这说明数列a■中存在最大项，为第9项或第10项.

评述：本题也可以化归为解不等式组a■>a■a■≥a■来解决，但计算繁琐，而利用函数的单调性更能发现数列的变化趋势，显得更简捷.利用函数的相关性质来解决数列问题，降低了试题的难度，通过对这些题的研究，让学生更加理解了函数与数列的特殊关系.

在解题中巧妙地使用函数思想会大大地降低解题难度，尤其是在一些比较复杂的数列题中。如果联想到了题目考查函数的某些性质，那解题就是很容易的事，经常让学生去探索它们的联系，不仅提高了学生的解题速度，更重要的是培养了学生的思维能力.要告诉学生，不能够为解题而解题，要多去思考探究中学数学中各知识点之间的联系，要挖掘各知识点之间的异同点，达到对所学内容融会贯通真正的把所学的知识运用到实际生活中.

责任编辑 罗 峰

数列是中学数学重要的基础内容之一，在平时的教学中要加强学生对概念的深入理解，如果我们从函数的角度去研究数列，加强函数思想在数列中的应用教学，使学生理解数列是函数概念的继续和延伸，它可以看作是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数，数列与函数之间是特殊到一般的关系.通过对数列中的函数知识的应用，可以使学生对函数思想有更深刻的认识和理解，使所学的知识融会贯通，有效地提高学生的思维能力.

一、在等比数列中建立恰当的目标函数

在等比数列求和中，通过建立目标函数利用待定系数法使解题过程更加简便，同时避开了繁琐的计算过程.

例1：在等比数列中，前n项和为Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式Sn=■列出关于a1和q的方程组，解出a1和q，但计算繁琐.若考虑到等比数列的前n项和Sn= ■=■-■.qn，设A=-■，则可以考虑建立目标函数 Sn=Aqn-A（A为待定系数），从而优化了解题过程.

解：设 Sn=Aqn-A，则S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程组解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

评述：此题如果注意到等比数列前n项和Sn可写成Sn=Aqn-A（A为待定系数）的形式，解题方法显得巧妙一些.通过对这道题的仔细讲解让学生理解函数思想在数列中的应用，在今后解数列题时要巧妙的使用函数方法.

函数的观点解决数列问题，不仅是解决数列问题的重要途径，也是提高数学解题能力的重要一环.用函数思想解数列问题时，不仅要用到函数的形式，更重要的是应用函数的思想方法通过构造函数，借助与函数性质及图像来解决问题，会有事半功倍的效果.

二、利用函数的性质解决等比数列问题

利用函数的单调性解决数列中的问题，会使得一道难题变得更简单.利用函数的一些性质解答数列题中同样如此.所以在解数列题时要思维活跃，多鼓励学生一题多解，不断的去探索数列与函数的异同点.

例2：已知数列a■的通项a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），试问该数列a■有没有最大项？若有求出最大项的项数，若没有说明理由.

解题思路：由于该数列不是直接与等比数列相关的数列，形式看起来比较复杂，但若从函数角度，可利用函数单调性来研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

当n<9时，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

当n=9时，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

当n>9时，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…这说明数列a■中存在最大项，为第9项或第10项.

评述：本题也可以化归为解不等式组a■>a■a■≥a■来解决，但计算繁琐，而利用函数的单调性更能发现数列的变化趋势，显得更简捷.利用函数的相关性质来解决数列问题，降低了试题的难度，通过对这些题的研究，让学生更加理解了函数与数列的特殊关系.

在解题中巧妙地使用函数思想会大大地降低解题难度，尤其是在一些比较复杂的数列题中。如果联想到了题目考查函数的某些性质，那解题就是很容易的事，经常让学生去探索它们的联系，不仅提高了学生的解题速度，更重要的是培养了学生的思维能力.要告诉学生，不能够为解题而解题，要多去思考探究中学数学中各知识点之间的联系，要挖掘各知识点之间的异同点，达到对所学内容融会贯通真正的把所学的知识运用到实际生活中.

责任编辑 罗 峰