群中由子集定义的关系

刘宏伟, 陈 刚

(华中师范大学数学与统计学学院, 湖北武汉430079)

1 引 言

在一般综合性大学和师范院校数学专业设置的课程中，抽象代数(有时又称为近世代数)课程对于培养学生抽象的逻辑思维能力具有不可替代的重要地位，同时这门课程也担当着数学专业代数方向其他课程学习的承前启后的作用.它承接数学专业一、二年级开设的高等代数、解析几何课程，也为群论等后续代数课程的学习提供必要的知识、方法和能力的准备. 这门课程也与中学数学课程的知识、教学等紧密联系.

群、关系、等价关系以及偏序关系等都是抽象代数课程中的重要基本概念，贯穿于抽象代数课程学习的整个知识体系结构之中. 在抽象代数课程的实际教学中， 一般都是利用群的一个子群来定义等价关系， 从而引出左陪集、右陪集的概念，并导出群论中第一个非常有用的定理，即Lagrange定理. 例如在文献[1]中第二章的命题2.4.1是如下叙述的：

设G是一个群，H是G的子群. 对任a,b∈G， 如果b-1a∈H，则记a≡Lb(modH),称a与b模H左同余，那么≡L(modH)是G上的等价关系.a所在的等价类为[a]L=aH∶={ah|h∈H},称为a所在子群H的左陪集，商集记作G/H={aH|a∈G}.

本文的主要目的是推广上述由群的子群来定义关系的思想： 即由一个群的非空子集来定义该群上的关系，并讨论相关的一些性质. 也就是通过如下方式定义的关系：

定义1设G是一个群，S是G的一个非空子集. 对a,b∈G, 如果b-1a∈S，则记a～Lb(modS),称a与b模S左同余；同理可以定义关系～R(modS).

本文只对～L(modS)来叙述主要结果，对关系～R(modS)，可以得到类似的结论.

设S是群G的一个非空子集，记S-1={s-1|s∈S}.关于等价关系、偏序关系的定义可参见[1.§1.2]或其它标准抽象(近世)代数教材.

在定义1之下， 有如下主要结果：

命题1上述由群G的非空子集S定义的关系～L(modS)具有如下性质：

(i) ～L(modS)满足自反律当且仅当1∈S；

(ii) ～L(modS)满足传递律当且仅当S是G的乘闭子集；

(iii) ～L(modS)满足对称律当且仅当S-1⊆S.

由命题1，我们有如下显然的推论：

推论1若～L(modS)满足传递律和对称律， 那么它一定满足自反律.

下面定理的一个方向就是[1,命题2.4.1.].

定理1～L(modS)是G上的等价关系当且仅当S是G的子群.

下面考虑～L(modS)何时是偏序关系. 有如下结论：

定理2～L(modS)是G上的偏序关系当且仅当S是G的幺子半群且S∩S-1={1}.

注1 与[2,§5.1]中序域(ordered fields)类似，可以把满足定理2条件的群称为序群. 我们不清楚哪些群可以成为序群.当然，对任何群G，取S={1}可以得到G上的平凡序关系，相等关系. 找到一些特殊群上的非平凡的序关系似乎是一个有意思的问题.

2 主要结果及其证明

本节将给出主要结果的证明.

命题1的证明(i)～L(modS)满足自反律当且仅当对任意的a∈G均有a～La(modS), 当且仅当a-1a∈S对任意的a∈G成立当且仅当1∈S.

(ii) 若～L(modS)满足传递律，注意到对任意的s,t∈S,由定义，有

s～L1(modS), 1～Lt-1(modS).

从而由～L(modS)的传递性，得

s～Lt-1，

即ts∈S，故S是G的乘闭子集.

反之，设S是G的乘闭子集. 对任意的a,b,c∈G, 若

a～Lb(modS),b～Lc(modS)

即有b-1a∈S,c-1b∈S.故由S的乘闭性， 得

c-1a=(c-1b)(b-1a)∈S，

亦即a～Lc(modS), 故～L(modS)满足传递律.

(iii) 设～L(modS)满足对称律. 对任意的s∈S， 注意到

s～L1(modS),

从而由对称性1～Ls(modS), 即有s-1=s-11∈S.故S-1⊆S.

反之， 设S-1⊆S,对任意的a,b∈S. 若

a～Lb(modS),

即有b-1a∈S，由于S-1⊆S,则

a-1b=(b-1a)-1∈S.

从而

b～La(modS),

于是～L(modS)满足对称律.

推论1的证明若～L(modS)满足传递律和对称律, 从而S是G的乘闭子集且S-1⊆S.故1∈S, ～L(modS)满足自反律.

定理1的证明由命题1及[1,命题2.4.1.]易证.

定理2的证明根据偏序关系的定义，～L(modS)是G上的偏序关系当且仅当～L(modS)满足自反律、传递律和反对称律.根据命题1，进一步可得， ～L(modS)是G上的偏序关系当且仅当1∈S,S是G的乘闭子集且～L(modS)满足反对称律当且仅当S是G的幺子半群且～L(modS)满足反对称律.

注意到～L(modS)满足反对称律当且仅当对任意的a,b∈G，若a～Lb(modS)且b～La(modS), 则一定有a=b.

一方面，假设由幺子半群S定义的关系～L(modS)满足反对称律，但S∩S-1⊃{1},则可取

1≠s∈S∩S-1，

那么

1～Ls(modS),s～L1(modS).

但这里s≠1，这与～L(modS)满足反对称律相矛盾.

另一方面，设幺子半群S满足S∩S-1={1}，那么对任意的a,b∈G，若a～Lb(modS)且b～La(modS),则

b-1a∈S,a-1b∈S,

于是

a-1b=(b-1a)-1∈S∩S-1={1}，

从而a=b, ～L(modS)满足反对称律.

例1设Z是所有整数构成的加群. 如果取S是所有非负整数的集合， 那么S是Z的一个幺子半群且S∩-S={0}. 由S定义了Z上的一个偏序关系，即为整数的大小关系.

[参 考 文 献]

[1] 樊恽,刘宏伟.抽象代数[M].北京：科学出版社,2008.

[2] Jacobson N. Basic algebra I[M]. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.,1985.