重积分在积分不等式证明中的应用
2014-03-28
(泰州学院, 泰州 225300)
0 引 言
在一些积分不等式的证明中,被积函数不确定,因此不能求出具体数值,这时可以将一元积分式转化为二元积分式,再结合二重积分的性质或结合均值不等式等方法进行证明。
1 重积分在不等式中的应用
1.1 应用一:直接增元法
由此可知
所以有
命题得证!
此命题看上去非常的简单,但是在应用中非常有技巧性,用此命题来证明下面的不等式:
例1 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足:
证明
证明 由题设
得
即
则
即
命题得证!
1.2 应用二:转化法(将累次积分转为重积分)
命题二:若f(x)在[a,b]上可积,g(y)在[c,d]上可积,则二元函数f(x)g(y)在平面区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上可积,且
其中D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}[1]
例2 设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,且在[a,b]上,p(x)>0，f(x),g(x)为单调递增函数,
试证
证明 由
可知
令
下证I≥0
(1)
同理
(2)
(1)+(2)得
因为同为单调增函数,所以
[g(y)-g(x)][f(y)-f(x)]≥0
又因为
p(x)>0,p(y)>0
故
即I≥0,命题得证!
例3 若f(x)和g(x)在[a,b]可积,证明施瓦兹不等式
证明 由已知和定积分的性质可知f2(x)和g2(x)在[a,b]上可积,由以上两个命题可得
(1)
其中
D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b}
同理可得
(2)
由(1)式和(2)式两边分别相加可得
(利用均值不等式f2(x)g2(y)+f2(y)g2(x)≥2f(x)g(y)f(y)g(x))≥
故有
1.3 应用三:转换法(将常数转换成重积分形式)
积分中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈[a,b],使得
对于命题三,常常倒过来使用,将常数化为积分形式
例4 函数f(x)在[a,b]上取正值,且f(x)在[a,b]上连续,试证
证明 若证
即证
即证
即证
即证
因为f(x)≥0、f(y)≥0
所以
即
恒成立
所以
成立 命题得证！
1.4 应用四:对称变换法
证明 设D1={(x,y)|(x,y)∈D,y≤x}，D2={(x,y)|(x,y)∈D,y≥x}
则D=D1+D2
同理可得
命题得证!
此命题对于不等式的证明非常有帮助,我们仍然看上面的那个例子
例5 函数f(x)在[a,b]上取正值,且f(x)在[a,b]上连续,试证
证明 令
则由命题二可知
其中D=[a,b]×[a,b]
又因为区间D=[a,b]×[a,b]关于直线y=x对称,于是有
所以
则有
由于f(x),f(y), 均为正值,利用均值不等式可得
于是就有
从而得
I≥(b-a)2
即
命题得证!
1.5 四种方法的区别与联系
以上四种方法在不等式的证明中占据重要的地位，它们之间有着区别同时也存在一定的联系.第一种方法是直接在一元积分不等式两边增加一个积分变量,使一元积分不等式化为二元积分不等式,然后巧妙的运用转换积分变量的顺序达到了证明一元积分不等式的目的。
方法二、方法三与方法四之间看起来似乎一样,但是它们的出发点不同。
在方法二中,将累次积分化为重积分,主要运用的是定积分的值与积分变量无关的性质,这样我们就可以改变定积分的积分变量来化为重积分,以达到证明积分不等式的目的。
方法三是根据积分中值定理的推论将常数化为重积分形式,来达到构造重积分,积分形式统一之后,被积函数才可以任意加减运算,在根据被积函数的性质来证明积分不等式。
方法四是构造二元函数,根据两元函数对称的性质,可以交换积分变量的位置,使定积分的值不变,根据这个性质就可以证明积分不等式了。
后三种方法虽然各自的出发点不同,但最终的归宿是相同的,最终都以结合均值不等式的运用而结束,这是它们之间的共同之处.对于方法四,对积分变量的区间要求很严格,要求对称,但是方法二就没有这样的要求,方法二要比方法四运用更广泛。
2 重积分应用的扩展
对于以上的命题，有一些命题还可以扩展，例如命题二和命题四，下面我们就进一步的扩展。
(1) 命题二扩展一。
若f(x)在[a,b]上可积,g(y)在[c,d]上可积，h(z)在[e,f]上可积,则三元函数f(x)g(y)h(z)在积分区域V={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}上可积,且
其中V={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}[6]
例6 若f(x),g(x),h(x)在[a,b]可积,且f(x),g(x),h(x)均大于等于零,证明下面不等式
证明 由已知和定积分的性质可知，f3(x)，g3(x)，h3(x)在[a,b]上可积。由上面两个命题可知
(1)
其中V={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}
同理亦可求得
(2)
(3)
将(1)式，(2)式和(3)式两边分别相加得
f3(z)g3(x)h3(y)]dxdydz
(由均值不等式可知)
f(z)g(x)h(y)]dxdydz
故得
命题得证！
例7 若fi(xi)(i=1,2,3,…,n)在[a,b]可积,且fi(x)≥0证明下面不等式
(1)
同理可得
(2)
(3)
……
(n)
将上面n个式子两边分别相加得
…+
…+
此时可得
命题得证！
例8 若f(x)，g(x)，h(x)在[a,b]可积f(x),g(x),h(x)均大于等于零,且证明下面不等式
证明 由已知和定积分的性质可知，f3(x),g3(x),h3(x)在[a,b]上可积。由上面两个命题可知
其中V={(x,y，z)|a≤x≤b,a≤y≤b,a≤z≤b}
令F(x,y,z)=f3(x)g3(y)h3(z)
因为积分变量x,y,z的取值范围相同
所以有
由此可知
f3(y)g3(z)h3(x)+
f3(z)g3(x)h3(y)]dxdydz
(均值不等式)
故得
所以
命题得证！
命题四扩展二：若当积分变量x1,x2,…,xn-1,xn取值范围相同时,被积函数的n个变量交换位置后,n重积分的值不变,即
…=
例9 若fi(x)(i=1,2,3,…n) 在[a,b]可积,且fi(x)≥ 0证明下面不等式
令
因为积分变量x1,x2,…,xn-1,xn取值范围相同
所以有
…=
即有
…+
dx1dx2…dxn+
dx1dx2…dxn+
dx1dx2…dxn+
…+
dx1dx2…dxn=
…+
dx1dx2…dxn≥
此时可得
命题得证！
3 后 记
以上只是例举出来的几种利用重积分证明积分不等式的方法,对于积分不等式的证明的方法很多,例如引入辅助并构建变限积分,再利用积分的性质进行证明等方法,当我们在遇到积分不等式的时候,我们要灵活运用各种方法,而不能局限于这几种特殊的方法!
参考文献:
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