全反射例题赏析

钱宏春

当光线由光密介质进入光疏介质时，若入射角达到临界角，将会发生全反射现象.全反射现象是几何光学部分重头戏，有关全反射的考题层出不穷，且屡“试”不爽.

1.光线经过全反射棱镜发生全反射

图1例1 空气中两条光线a和b从方框左侧入射，分别从方框下方和上方射出，其框外光线如图1所示.方框内有两个折射率n=1.5的玻璃全反射棱镜.能产生图1效果的放置方式是

解析 如图2所示，画出光路图.当光线与其一直角边垂直入射时，光线在棱镜的斜边发生全反射，其传播方向改变90度.故答案应为B.

图2例2 如图3所示为折射率较大的三棱镜的主截面，它是等腰直角三角形.光线a垂直于斜面射入棱镜时，其出射光线为b.如果以直角棱为轴使棱镜逆时针转过一小角到图中虚线位置，则原入射光线射入棱镜后新的出射光线b′ 和a

A.将会相交

B.b′ 的反向延长线与a相交图3

C.b′ 与a平行

D.一定不平行，只是不能判断如何相交

图4解析 如图4所示，光线a由斜边以微小的入射角进入全反射棱镜，分别在两条直角边发生全反射后由斜边再次射出.定性画出光路图.

∵∠1+∠2=90°

∠1=∠3 ∠2=∠4

∴（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°

即得光线C平行于光线d

即光线a平行于b′

故C选项正确.

点评 解决这类问题需掌握全反射棱镜对光路的控制：

①让光线经过横截面是等腰直角三角形的棱镜，当光线与其一直角边垂直入射时，光线在棱镜的斜边发生全反射，其传播方向改变了90度.

②当光线垂直于斜边入射时，光线在棱镜的两个直角边先后发生全反射，其传播方向改变了180度.

③若光线以微小的入射角斜射入全反射棱镜的斜边，其出射光线传播方向也改变180度.

2.光线经过半圆柱形棱镜发生全反射

例3 半径为R的半圆形玻璃砖，横截面如图5所示，O为圆心，已知玻璃的折射率为2，当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°一束与MN平面成45°的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出，求能从MN射出的光束的宽度为多少？

图5 图6解析 光线照在半球面上时，是由光疏介质进入光密介质，不会发生全反射.由于光线是平行的，所以射入球面时的入射角互不相同，由折射定律可知，折射光线的传播方向也不相同.如图6所示，为简化问题，取几条特殊光线.光线①沿半径入射，不发生偏折直接射向圆心O，在平面MN上入射角恰好等于临界角，发生全反射，不能从MN射出.

光线①左侧光线（如光线②）经球面折射后射在平面MN上的入射角一定大于临界角，在界面MN上发生全反射，不能射出.

光线①右侧的光线经球面折射后，射在MN面上的入射角均小于临界角，能从MN上折射出来，最右边的光线③与球面相切，入射角i=90°，由折射定律知，

sinr=12sini=22

可得折射角 r=45°

此光线将垂直MN射出，所以在MN面射出的光束宽度应是

OE=Rsinr=22R

例4 一个半圆柱形玻璃体的截面如图7所示，其中O为圆心，aOb为平面，acb为半圆柱面，玻璃的折射率n=2 .一束平行光与aOb面成45°角照到平面上，将有部分光线经过两次折射后从半圆柱面acb射出，试画出能有光线射出的那部分区域，并证明这个区域是整个acb弧的一半.

图7 图8解析 画出光路图，取两条典型光线①和②，假设光线①和②折射进入玻璃柱后恰能在圆弧面发生全反射，则能射出的那部分光线区域如图8所示.

即∠dOe所对应的圆弧.

在界面ab上，根据折射定律有

sinr=sinin=sin45°2=12

可见，折射角r=30°

全反射临界角 sinC=1n=12，C=45°

由图知，对典型光线①有

∠bOe=180°-[C+（90°+r）]

=180°-[45°+（90°+30°）]=15°

对典型光线②有

∠aOd=180°-[C+（90°-r）]

=180°-[45°+（90°-30°）]=75°

可见射出区域为∠dOe所对应的圆弧.

∠dOe=180°-∠aOd-∠bOe=180°-75°-15°=90°

所以这个区域是整个acb弧的一半.

点评 解决这类问题的关键一般是：

①准确熟练的画出光路图；

②抓住特殊光线进行分析； ③找准边界光线，正确运用几何关系.

3.光线经过矩形玻璃砖发生全反射

例5 如图9为一段光导纤维置于空气中，为了使光导纤维一端射入的光不从侧壁射出，而全部从另一端射出，此光导纤维折射率为多少？

图9 图10 解析 要保证不会有光线从侧面跑出来，其含义是不管入射角多大都能在侧壁发生全反射.令入射角等于90°，再由折射定律和全反射临界角公式、几何关系就可以求出材料的折射率.

设激光束在光导纤维端面的入射角为i，折射角为α，折射光线射向侧面时的入射角为β，如图10所示.

由折射定律有n=sinisinα，

由几何关系有α+β=90° sinα=cosβ

由全反射临界角公式有 sinβ=1ncosβ=1-1n2

要保证从端面射入的任何光线都能发生全反射，应有I=90°，sini=1

故n=sinisinα=sinicosβ=11-1n2=nn2-1，解得n=2，

所以光导纤维的折射率n≥2.

点评 解决本题需要掌握的知识：

①根据折射定律，折射角随入射角增大而增大，当入射角i=90°时，折射角α最大.②由几何关系可看出β随α增大而减小，当α最大时，β最小.③由全反射的条件可知，若β最小时能发生全反射，则光线一定不会从侧壁射出.endprint

当光线由光密介质进入光疏介质时，若入射角达到临界角，将会发生全反射现象.全反射现象是几何光学部分重头戏，有关全反射的考题层出不穷，且屡“试”不爽.

1.光线经过全反射棱镜发生全反射

图1例1 空气中两条光线a和b从方框左侧入射，分别从方框下方和上方射出，其框外光线如图1所示.方框内有两个折射率n=1.5的玻璃全反射棱镜.能产生图1效果的放置方式是

解析 如图2所示，画出光路图.当光线与其一直角边垂直入射时，光线在棱镜的斜边发生全反射，其传播方向改变90度.故答案应为B.

图2例2 如图3所示为折射率较大的三棱镜的主截面，它是等腰直角三角形.光线a垂直于斜面射入棱镜时，其出射光线为b.如果以直角棱为轴使棱镜逆时针转过一小角到图中虚线位置，则原入射光线射入棱镜后新的出射光线b′ 和a

A.将会相交

B.b′ 的反向延长线与a相交图3

C.b′ 与a平行

D.一定不平行，只是不能判断如何相交

图4解析 如图4所示，光线a由斜边以微小的入射角进入全反射棱镜，分别在两条直角边发生全反射后由斜边再次射出.定性画出光路图.

∵∠1+∠2=90°

∠1=∠3 ∠2=∠4

∴（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°

即得光线C平行于光线d

即光线a平行于b′

故C选项正确.

点评 解决这类问题需掌握全反射棱镜对光路的控制：

①让光线经过横截面是等腰直角三角形的棱镜，当光线与其一直角边垂直入射时，光线在棱镜的斜边发生全反射，其传播方向改变了90度.

②当光线垂直于斜边入射时，光线在棱镜的两个直角边先后发生全反射，其传播方向改变了180度.

③若光线以微小的入射角斜射入全反射棱镜的斜边，其出射光线传播方向也改变180度.

2.光线经过半圆柱形棱镜发生全反射

例3 半径为R的半圆形玻璃砖，横截面如图5所示，O为圆心，已知玻璃的折射率为2，当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°一束与MN平面成45°的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出，求能从MN射出的光束的宽度为多少？

图5 图6解析 光线照在半球面上时，是由光疏介质进入光密介质，不会发生全反射.由于光线是平行的，所以射入球面时的入射角互不相同，由折射定律可知，折射光线的传播方向也不相同.如图6所示，为简化问题，取几条特殊光线.光线①沿半径入射，不发生偏折直接射向圆心O，在平面MN上入射角恰好等于临界角，发生全反射，不能从MN射出.

光线①左侧光线（如光线②）经球面折射后射在平面MN上的入射角一定大于临界角，在界面MN上发生全反射，不能射出.

光线①右侧的光线经球面折射后，射在MN面上的入射角均小于临界角，能从MN上折射出来，最右边的光线③与球面相切，入射角i=90°，由折射定律知，

sinr=12sini=22

可得折射角 r=45°

此光线将垂直MN射出，所以在MN面射出的光束宽度应是

OE=Rsinr=22R

例4 一个半圆柱形玻璃体的截面如图7所示，其中O为圆心，aOb为平面，acb为半圆柱面，玻璃的折射率n=2 .一束平行光与aOb面成45°角照到平面上，将有部分光线经过两次折射后从半圆柱面acb射出，试画出能有光线射出的那部分区域，并证明这个区域是整个acb弧的一半.

图7 图8解析 画出光路图，取两条典型光线①和②，假设光线①和②折射进入玻璃柱后恰能在圆弧面发生全反射，则能射出的那部分光线区域如图8所示.

即∠dOe所对应的圆弧.

在界面ab上，根据折射定律有

sinr=sinin=sin45°2=12

可见，折射角r=30°

全反射临界角 sinC=1n=12，C=45°

由图知，对典型光线①有

∠bOe=180°-[C+（90°+r）]

=180°-[45°+（90°+30°）]=15°

对典型光线②有

∠aOd=180°-[C+（90°-r）]

=180°-[45°+（90°-30°）]=75°

可见射出区域为∠dOe所对应的圆弧.

∠dOe=180°-∠aOd-∠bOe=180°-75°-15°=90°

所以这个区域是整个acb弧的一半.

点评 解决这类问题的关键一般是：

①准确熟练的画出光路图；

②抓住特殊光线进行分析； ③找准边界光线，正确运用几何关系.

3.光线经过矩形玻璃砖发生全反射

例5 如图9为一段光导纤维置于空气中，为了使光导纤维一端射入的光不从侧壁射出，而全部从另一端射出，此光导纤维折射率为多少？

图9 图10 解析 要保证不会有光线从侧面跑出来，其含义是不管入射角多大都能在侧壁发生全反射.令入射角等于90°，再由折射定律和全反射临界角公式、几何关系就可以求出材料的折射率.

设激光束在光导纤维端面的入射角为i，折射角为α，折射光线射向侧面时的入射角为β，如图10所示.

由折射定律有n=sinisinα，

由几何关系有α+β=90° sinα=cosβ

由全反射临界角公式有 sinβ=1ncosβ=1-1n2

要保证从端面射入的任何光线都能发生全反射，应有I=90°，sini=1

故n=sinisinα=sinicosβ=11-1n2=nn2-1，解得n=2，

所以光导纤维的折射率n≥2.

点评 解决本题需要掌握的知识：

①根据折射定律，折射角随入射角增大而增大，当入射角i=90°时，折射角α最大.②由几何关系可看出β随α增大而减小，当α最大时，β最小.③由全反射的条件可知，若β最小时能发生全反射，则光线一定不会从侧壁射出.endprint

当光线由光密介质进入光疏介质时，若入射角达到临界角，将会发生全反射现象.全反射现象是几何光学部分重头戏，有关全反射的考题层出不穷，且屡“试”不爽.

1.光线经过全反射棱镜发生全反射

图1例1 空气中两条光线a和b从方框左侧入射，分别从方框下方和上方射出，其框外光线如图1所示.方框内有两个折射率n=1.5的玻璃全反射棱镜.能产生图1效果的放置方式是

解析 如图2所示，画出光路图.当光线与其一直角边垂直入射时，光线在棱镜的斜边发生全反射，其传播方向改变90度.故答案应为B.

图2例2 如图3所示为折射率较大的三棱镜的主截面，它是等腰直角三角形.光线a垂直于斜面射入棱镜时，其出射光线为b.如果以直角棱为轴使棱镜逆时针转过一小角到图中虚线位置，则原入射光线射入棱镜后新的出射光线b′ 和a

A.将会相交

B.b′ 的反向延长线与a相交图3

C.b′ 与a平行

D.一定不平行，只是不能判断如何相交

图4解析 如图4所示，光线a由斜边以微小的入射角进入全反射棱镜，分别在两条直角边发生全反射后由斜边再次射出.定性画出光路图.

∵∠1+∠2=90°

∠1=∠3 ∠2=∠4

∴（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°

即得光线C平行于光线d

即光线a平行于b′

故C选项正确.

点评 解决这类问题需掌握全反射棱镜对光路的控制：

①让光线经过横截面是等腰直角三角形的棱镜，当光线与其一直角边垂直入射时，光线在棱镜的斜边发生全反射，其传播方向改变了90度.

②当光线垂直于斜边入射时，光线在棱镜的两个直角边先后发生全反射，其传播方向改变了180度.

③若光线以微小的入射角斜射入全反射棱镜的斜边，其出射光线传播方向也改变180度.

2.光线经过半圆柱形棱镜发生全反射

例3 半径为R的半圆形玻璃砖，横截面如图5所示，O为圆心，已知玻璃的折射率为2，当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°一束与MN平面成45°的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出，求能从MN射出的光束的宽度为多少？

图5 图6解析 光线照在半球面上时，是由光疏介质进入光密介质，不会发生全反射.由于光线是平行的，所以射入球面时的入射角互不相同，由折射定律可知，折射光线的传播方向也不相同.如图6所示，为简化问题，取几条特殊光线.光线①沿半径入射，不发生偏折直接射向圆心O，在平面MN上入射角恰好等于临界角，发生全反射，不能从MN射出.

光线①左侧光线（如光线②）经球面折射后射在平面MN上的入射角一定大于临界角，在界面MN上发生全反射，不能射出.

光线①右侧的光线经球面折射后，射在MN面上的入射角均小于临界角，能从MN上折射出来，最右边的光线③与球面相切，入射角i=90°，由折射定律知，

sinr=12sini=22

可得折射角 r=45°

此光线将垂直MN射出，所以在MN面射出的光束宽度应是

OE=Rsinr=22R

例4 一个半圆柱形玻璃体的截面如图7所示，其中O为圆心，aOb为平面，acb为半圆柱面，玻璃的折射率n=2 .一束平行光与aOb面成45°角照到平面上，将有部分光线经过两次折射后从半圆柱面acb射出，试画出能有光线射出的那部分区域，并证明这个区域是整个acb弧的一半.

图7 图8解析 画出光路图，取两条典型光线①和②，假设光线①和②折射进入玻璃柱后恰能在圆弧面发生全反射，则能射出的那部分光线区域如图8所示.

即∠dOe所对应的圆弧.

在界面ab上，根据折射定律有

sinr=sinin=sin45°2=12

可见，折射角r=30°

全反射临界角 sinC=1n=12，C=45°

由图知，对典型光线①有

∠bOe=180°-[C+（90°+r）]

=180°-[45°+（90°+30°）]=15°

对典型光线②有

∠aOd=180°-[C+（90°-r）]

=180°-[45°+（90°-30°）]=75°

可见射出区域为∠dOe所对应的圆弧.

∠dOe=180°-∠aOd-∠bOe=180°-75°-15°=90°

所以这个区域是整个acb弧的一半.

点评 解决这类问题的关键一般是：

①准确熟练的画出光路图；

②抓住特殊光线进行分析； ③找准边界光线，正确运用几何关系.

3.光线经过矩形玻璃砖发生全反射

例5 如图9为一段光导纤维置于空气中，为了使光导纤维一端射入的光不从侧壁射出，而全部从另一端射出，此光导纤维折射率为多少？

图9 图10 解析 要保证不会有光线从侧面跑出来，其含义是不管入射角多大都能在侧壁发生全反射.令入射角等于90°，再由折射定律和全反射临界角公式、几何关系就可以求出材料的折射率.

设激光束在光导纤维端面的入射角为i，折射角为α，折射光线射向侧面时的入射角为β，如图10所示.

由折射定律有n=sinisinα，

由几何关系有α+β=90° sinα=cosβ

由全反射临界角公式有 sinβ=1ncosβ=1-1n2

要保证从端面射入的任何光线都能发生全反射，应有I=90°，sini=1

故n=sinisinα=sinicosβ=11-1n2=nn2-1，解得n=2，

所以光导纤维的折射率n≥2.

点评 解决本题需要掌握的知识：

①根据折射定律，折射角随入射角增大而增大，当入射角i=90°时，折射角α最大.②由几何关系可看出β随α增大而减小，当α最大时，β最小.③由全反射的条件可知，若β最小时能发生全反射，则光线一定不会从侧壁射出.endprint