万有引力与航天应用模型赏析

徐双明

2013年6月我国神舟十号载人飞船成功发射和回收，还计划发射嫦娥三号月球探测器和近20颗卫星，显示了我国在空间探索方面的强大实力.天体及卫星的运动问题是近几年高考的热点问题.从全国各地的高考试题看，天体运行问题的分析与求解是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，其关键是熟练掌握天体运动的三种基本模型.

一、“中心天体-环绕天体”模型

环绕模型的基本思路：①把中心天体和环绕天体看做质点；②天体的环绕运动近似看做匀速圆周运动；③中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力.由万有引力定律、牛顿第二定律和匀速圆周运动有以下几种形式的基本关系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是两球体球心间距，也是环绕天体的环绕半径.具体的求解中，可依据题中涉及的物理量灵活选取表达式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成.设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a=，线速度v=.

解析 卫星绕月球运动的半径r=R+h，由万有引力定律和牛顿第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根据万有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

点评 此题以“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为背景，只要抓住“中心天体-环绕天体”模型，熟练推导便可得到正确答案.是非常基本的题型.

二、“自转”天体模型

（1）绕自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为 “自转”天体.在其表面上相对天体静止的物体随自转天体做匀速圆周运动，其角速度和自转天体角速度相同.自转天体对物体的万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力.下面以地球赤道上的物体为例推导它们的关系（地球质量、半径、表面的重力加速度分别表示为M、R、G）为GMmR2=mg+ma向，其中g=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，带入地球半径R=6.4×106m和地球自转周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比较可知，物体随地球转动的向心力远远小于重力，所以忽略向心力部分，认为地球表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，即mg=GMmR2.其它天体自转和地球自转遵循相同的规律.

例2 （2013年四川卷） 迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1-581c”却很值得我们期待.该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日.“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍.设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ）.

A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍

C.该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的13365倍

D.由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短

解析 从行星上发射卫星的第一宇宙速度即绕行星表面做匀速圆周运动的卫星的环绕速度，其环绕半径认为等于中心天体半径，由“中心天体-环绕天体”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，则v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，选项A错误；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，选项C错误；由“自转”天体模型知星球表面上物体的重力等于万有引力，即mg=GMmr2，可得g行g地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），选项B正确；由于行星运动的速度远小于光速，故不产生相对论效应，选项D错误.

点评 此题设置情景中同时涉及 “中心天体-环绕天体”模型和“自转”天体模型，要明确两种模型中万有引力的作用，区分相关的物理量.

（2）天体自转时，天体表面各物体随天体一起做匀速圆周运动，角速度等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力mω2R最大.对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N为天体表面对物体的支持力.如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，天体瓦解.天体刚好不瓦解的临界条件是N=0，此时有GMmR2=mω2R，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可计算出天体不瓦解的最小密度.

三、双星问题

天文学上，把两颗相距较近，以共同的角速度或周期绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动的天体称为双星.双星运行中，离其它星体较远，因此只考虑这两个星体间的万有引力.双星间的万有引力提供这两个星体匀速圆周运动的向心力，所以这两颗星做圆周运动的向心力大小相等，这两颗星绕连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期相等、角速度相等.这类问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解.

图1例3 （2013年山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如双星的质量为别为mA、mB，两者间距为L，，对mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；对mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；两者半径关系为rA+rB=L，三式联立可得两星半径rA=mBmA+mBL，进而可得双星转动的周期T=4π2L3G（mA+mB）.当双星的总质量变为原来的k倍，之间的距离变为原来的n倍时，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正确.

点评 双星问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解，万有引力提供向心力.但要注意该模型中万有引力中定律表达式中的r表示双星间距，为上式中的L，而向心力表达式中的r表示双星各自的旋转半径，为上式中的rA和rB，一定要注意区分.

2013年6月我国神舟十号载人飞船成功发射和回收，还计划发射嫦娥三号月球探测器和近20颗卫星，显示了我国在空间探索方面的强大实力.天体及卫星的运动问题是近几年高考的热点问题.从全国各地的高考试题看，天体运行问题的分析与求解是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，其关键是熟练掌握天体运动的三种基本模型.

一、“中心天体-环绕天体”模型

环绕模型的基本思路：①把中心天体和环绕天体看做质点；②天体的环绕运动近似看做匀速圆周运动；③中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力.由万有引力定律、牛顿第二定律和匀速圆周运动有以下几种形式的基本关系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是两球体球心间距，也是环绕天体的环绕半径.具体的求解中，可依据题中涉及的物理量灵活选取表达式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成.设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a=，线速度v=.

解析 卫星绕月球运动的半径r=R+h，由万有引力定律和牛顿第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根据万有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

点评 此题以“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为背景，只要抓住“中心天体-环绕天体”模型，熟练推导便可得到正确答案.是非常基本的题型.

二、“自转”天体模型

（1）绕自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为 “自转”天体.在其表面上相对天体静止的物体随自转天体做匀速圆周运动，其角速度和自转天体角速度相同.自转天体对物体的万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力.下面以地球赤道上的物体为例推导它们的关系（地球质量、半径、表面的重力加速度分别表示为M、R、G）为GMmR2=mg+ma向，其中g=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，带入地球半径R=6.4×106m和地球自转周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比较可知，物体随地球转动的向心力远远小于重力，所以忽略向心力部分，认为地球表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，即mg=GMmR2.其它天体自转和地球自转遵循相同的规律.

例2 （2013年四川卷） 迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1-581c”却很值得我们期待.该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日.“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍.设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ）.

A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍

C.该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的13365倍

D.由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短

解析 从行星上发射卫星的第一宇宙速度即绕行星表面做匀速圆周运动的卫星的环绕速度，其环绕半径认为等于中心天体半径，由“中心天体-环绕天体”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，则v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，选项A错误；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，选项C错误；由“自转”天体模型知星球表面上物体的重力等于万有引力，即mg=GMmr2，可得g行g地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），选项B正确；由于行星运动的速度远小于光速，故不产生相对论效应，选项D错误.

点评 此题设置情景中同时涉及 “中心天体-环绕天体”模型和“自转”天体模型，要明确两种模型中万有引力的作用，区分相关的物理量.

（2）天体自转时，天体表面各物体随天体一起做匀速圆周运动，角速度等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力mω2R最大.对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N为天体表面对物体的支持力.如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，天体瓦解.天体刚好不瓦解的临界条件是N=0，此时有GMmR2=mω2R，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可计算出天体不瓦解的最小密度.

三、双星问题

天文学上，把两颗相距较近，以共同的角速度或周期绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动的天体称为双星.双星运行中，离其它星体较远，因此只考虑这两个星体间的万有引力.双星间的万有引力提供这两个星体匀速圆周运动的向心力，所以这两颗星做圆周运动的向心力大小相等，这两颗星绕连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期相等、角速度相等.这类问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解.

图1例3 （2013年山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如双星的质量为别为mA、mB，两者间距为L，，对mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；对mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；两者半径关系为rA+rB=L，三式联立可得两星半径rA=mBmA+mBL，进而可得双星转动的周期T=4π2L3G（mA+mB）.当双星的总质量变为原来的k倍，之间的距离变为原来的n倍时，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正确.

点评 双星问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解，万有引力提供向心力.但要注意该模型中万有引力中定律表达式中的r表示双星间距，为上式中的L，而向心力表达式中的r表示双星各自的旋转半径，为上式中的rA和rB，一定要注意区分.

2013年6月我国神舟十号载人飞船成功发射和回收，还计划发射嫦娥三号月球探测器和近20颗卫星，显示了我国在空间探索方面的强大实力.天体及卫星的运动问题是近几年高考的热点问题.从全国各地的高考试题看，天体运行问题的分析与求解是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，其关键是熟练掌握天体运动的三种基本模型.

一、“中心天体-环绕天体”模型

环绕模型的基本思路：①把中心天体和环绕天体看做质点；②天体的环绕运动近似看做匀速圆周运动；③中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力.由万有引力定律、牛顿第二定律和匀速圆周运动有以下几种形式的基本关系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是两球体球心间距，也是环绕天体的环绕半径.具体的求解中，可依据题中涉及的物理量灵活选取表达式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成.设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a=，线速度v=.

解析 卫星绕月球运动的半径r=R+h，由万有引力定律和牛顿第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根据万有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

点评 此题以“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为背景，只要抓住“中心天体-环绕天体”模型，熟练推导便可得到正确答案.是非常基本的题型.

二、“自转”天体模型

（1）绕自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为 “自转”天体.在其表面上相对天体静止的物体随自转天体做匀速圆周运动，其角速度和自转天体角速度相同.自转天体对物体的万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力.下面以地球赤道上的物体为例推导它们的关系（地球质量、半径、表面的重力加速度分别表示为M、R、G）为GMmR2=mg+ma向，其中g=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，带入地球半径R=6.4×106m和地球自转周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比较可知，物体随地球转动的向心力远远小于重力，所以忽略向心力部分，认为地球表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，即mg=GMmR2.其它天体自转和地球自转遵循相同的规律.

例2 （2013年四川卷） 迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1-581c”却很值得我们期待.该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日.“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍.设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ）.

A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍

C.该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的13365倍

D.由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短

解析 从行星上发射卫星的第一宇宙速度即绕行星表面做匀速圆周运动的卫星的环绕速度，其环绕半径认为等于中心天体半径，由“中心天体-环绕天体”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，则v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，选项A错误；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，选项C错误；由“自转”天体模型知星球表面上物体的重力等于万有引力，即mg=GMmr2，可得g行g地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），选项B正确；由于行星运动的速度远小于光速，故不产生相对论效应，选项D错误.

点评 此题设置情景中同时涉及 “中心天体-环绕天体”模型和“自转”天体模型，要明确两种模型中万有引力的作用，区分相关的物理量.

（2）天体自转时，天体表面各物体随天体一起做匀速圆周运动，角速度等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力mω2R最大.对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N为天体表面对物体的支持力.如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，天体瓦解.天体刚好不瓦解的临界条件是N=0，此时有GMmR2=mω2R，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可计算出天体不瓦解的最小密度.

三、双星问题

天文学上，把两颗相距较近，以共同的角速度或周期绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动的天体称为双星.双星运行中，离其它星体较远，因此只考虑这两个星体间的万有引力.双星间的万有引力提供这两个星体匀速圆周运动的向心力，所以这两颗星做圆周运动的向心力大小相等，这两颗星绕连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期相等、角速度相等.这类问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解.

图1例3 （2013年山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如双星的质量为别为mA、mB，两者间距为L，，对mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；对mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；两者半径关系为rA+rB=L，三式联立可得两星半径rA=mBmA+mBL，进而可得双星转动的周期T=4π2L3G（mA+mB）.当双星的总质量变为原来的k倍，之间的距离变为原来的n倍时，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正确.

点评 双星问题仍用万有引力定律及牛顿第二定律求解，万有引力提供向心力.但要注意该模型中万有引力中定律表达式中的r表示双星间距，为上式中的L，而向心力表达式中的r表示双星各自的旋转半径，为上式中的rA和rB，一定要注意区分.