基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Pfaff变分问题的Noether对称性*

丁金凤 , 张 毅

(1. 苏州科技学院 数理学院，江苏 苏州215009；2. 苏州科技学院 土木工程学院，江苏 苏州215009)

1 El-Nabulsi-Pfaff变分问题

基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Pfaff变分问题定义为[19]：

求积分泛函

(cosht-coshτ)α-1dτ

(1)

在给定边界条件

(2)

如果aμ=aμ(τ)是El-Nabulsi-Pfaff变分问题的极值，则满足如下的El-Nabulsi-Birkhoff方程[19]

(μ=1,…,2n)

(3)

泛函(1)称为El-Nabulsi-Pfaff作用量。当α=1时，这个问题成为经典的Pfaff变分问题，而方程(3)成为标准的Birkhoff方程。

2 El-Nabulsi-Pfaff作用量的变分

引入r-参数有限变换群的无限小变换

(μ=1,…,2n)

(4)

其展开式

(5)

(6)

El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)在变换前后的差为

(cosht-coshτ)α-1dτ=

B(τ+Δτ,aν+Δaν)] ·

(7)

(8)

由于

(9)

利用式(9)，式(8)可写成

(10)

将式(5)代入式(10)，得到

(11)

式(8)和(11)是基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Pfaff作用量变分的基本公式。

3 Noether对称性的定义和判据

定义1 如果El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)是无限小群变换(4)的不变量，即对无限小群变换(4)的每一个变换，始终成立如下关系

ΔS=0

(12)

则称无限小变换为Birkhoff系统基于按指数律拓展的分数阶积分的变分问题的Noether对称变换。

根据定义1和公式(8)，(11)，得到如下判据。

判据1 如果无限小群变换(4)满足如下关系

(13)

那么，变换是Birkhoff系统在定义1意义下的Noether对称变换。

式(13)可写成r个方程

(σ=1,…,r)

(14)

当r=1时，方程(14)称为Birkhoff系统基于按指数律拓展的分数阶积分的变分问题的Noether等式。

通过判据1或Noether等式(14)可以判断Birkhoff系统基于按指数律拓展的分数阶积分的变分问题的Noether对称性。

定义2 如果El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)是无限小群变换(4)的准不变量，即对无限小群变换(4)的每一个变换，始终成立如下关系

(15)

其中ΔG=εσGσ，Gσ=Gσ(τ,aν)称为规范函数，则称无限小变换为Birkhoff系统基于按指数律拓展的分数阶积分的变分问题的Noether准对称变换。

根据定义2和公式(8)，(11)，得到如下判据。

判据2 如果无限小群变换(4)满足如下关系

(16)

那么，变换是Birkhoff系统在定义2意义下的Noether准对称变换。

式(16)可写成r个方程

(17)

当r=1时，方程(17)称为Birkhoff系统基于按指数律拓展的分数阶积分的变分问题的Noether等式。

通过判据2或Noether等式(17)可以判断Birkhoff系统基于按指数律拓展的分数阶积分的变分问题的Noether准对称性。

4 Noether定理

在El-Nabulsi动力学模型下，由Birkhoff系统的Noether对称性可直接导出Noether守恒量，有如下定理。

定理1 对于El-Nabulsi动力学模型下的Birkhoff系统(3)，如果无限小群变换(4)是定义1意义下的Noether对称变换，则系统存在r个线性独立的第一积分，形如

(σ=1,…,r)

(18)

证明由定义1，得到

ΔS=0

由公式(11)得

将方程(3)代入上式，并且考虑到εσ的独立性和积分区间的任意性，得到

积分之，即得到守恒量(18)。于是定理1得证。

定理2 对于El-Nabulsi动力学模型下的Birkhoff系统(3)，如果无限小群变换(4)是定义2意义下的Noether准对称变换，则系统存在r个线性独立的第一积分，形如

(σ=1,…,r)

(19)

证明由定义(2)和式(11)，并利用方程(3)式，且考虑到εσ的独立性和积分区间的任意性，可证明定理2。

定理1和定理2称为Birkhoff系统基于按指数律拓展的分数阶积分的变分问题的Noether定理。根据上述定理，可由El-Nabulsi动力学模型下的Birkhoff系统的Noether对称性找到相应的守恒量。当α=1时，定理1和定理2称为经典Birkhoff系统的Noether定理。

5 算 例

例设4阶Birkhoff系统的Brkhoff函数B和Birkhoff函数组Rμ为[20]

R1=a2+a3,R2=0,R3=a4,R4=0

(20)

试研究其基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi动力学模型下的Noether对称性与守恒量。

Noether等式(17)给出

(21)

方程(21)有解

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=0,ξ3=0,ξ4=0,G=0

(22)

生成元(22)相应于所论系统基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi动力学模型下的Noether对称变换。根据定理1，得出相应的守恒量为

I=(a2+a3)(cosht-coshτ)α-1=const

(23)

当α=1时，守恒量(23)为标准Birkhoff系统的Noether守恒量。

6 结 语

基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi动力学模型，文章提出并研究了Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量问题，建立了Noether定理。本文方法和结果具有普遍意义，可以进一步应用于各种约束力学系统，例如非完整非保守系统，机电耦合系统等。

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