框架结构－基础－地基共同作用的三维有限元分析①

徐祥，戴自航

(福州大学岩土工程研究所，福建福州350108)

合理的进行建筑物的设计，应该是将建筑物的上部结构与基础和地基当作共同作用不可分割的整体来考虑。李广信［1］认为岩土工程不同介质间相互作用及共同作用分析研究可以分为3个层次: (1)岩土材料微观层次的相互作用;(2)土与复合土或土与加筋材料之间的相互作用;(3)地基与建(构)筑物之间相互作用。共同作用概念［2］源于第3个层次，即上部结构、基础和地基(有桩基础包括桩)3者之间相互作用。这3者相互联系成静力平衡、变形连续协调、彼此不可分割的整体系统来承担荷载而发生变形的，在这个整体系统中每一部分的刚度均对自身及其他部分的工作性状产生影响，每一部分的工作性状都是自身及其他部分共同作用的结果。

共同作用的概念虽然清晰，但要建立精确的理论计算解答却相当困难［3］，因此现行实际的设计问题，均做了一些理论上的假设、方法的简化、对参数的适当选择与修正，使考虑共同作用的分析计算结果与实测资料的对比，往往存在不同程度的差异，有时差别还很大。笔者认为，部分建筑物的沉降不均或结构开裂等变形就是由于现行设计方法的预计结果与实际结果相差较大造成的。因此，上部结构－基础－地基的共同作用问题一直是人们研究的热点问题。Meyerhof［4］提出了土与框架结构相互作用近似计算法。岑米斯基［5］提出了其荷载传递系数法。姚祖恩等［6］提出了框架－筏基－和土相互作用的有限元简化方法。陈德钜［7］对框架结构、基础梁与土共同作用提出了逐步逼近计算方法。王维英［8］根据里兹(Ritz)变分原理，利用Meyerhof等代刚度梁概念计入上部框架刚度对十字交叉梁基础进行了分析。姚祖恩［9］在文献［6］基础上提出了改进的有限元简化方法等。Noorzaei［10］分析了平面框架结构体系，基础采用联合基础，土体材料采用理想弹塑性本构模型，并与线弹性和非线性弹性模型作了比较分析。董军等［11］进行了不均匀沉降引起上部钢结构损坏的非线性全过程分析。贾强等［12］做了不均匀沉降对框架结构裂缝影响的试验研究。从以上研究来看，大都只在结构(如平面简化)、地基土的本构或分析方法上做了简化，与实际的建筑结构、基础和地基的真实情况仍有不同程度的差异。基于此，本文采用非线性有限元程序ABAQUS建立一个符合实际的框架结构－独立基础－地基三维实体有限元模型，地基土采用在该软件平台上自我开发的邓肯－张非线性弹性模型，以趋合理的研究三者的共同作用问题，在保证建筑物沉降均匀的前提下，分析得到了基础的最优设计尺寸。

1 模型的建立

1.1 框架结构及地基土

该建筑物上部为4跨×2跨×3层框架结构，具体结构尺寸如表1所示。柱子平面布置如图1所示。地基土自上而下分别为黏土(厚2.5 m，重度18 kN/m3)、淤泥(厚15.7 m，重度16 kN/m3)、粉质黏土(厚3.8 m，重度18 kN/m3)等，考虑荷载引起的附加应力的影响深度，有限元模型下边界取至距地表以下12 m。土体按邓肯－张模型模拟，模型参数取自笔者参与福州市某工程现场土体考虑K0固结的室内试验结果［13］，如表2所示。三轴试验采用的是SLB－1型应力－应变控制式仪。因场地淤泥夹砂较严重，故试验测得的抗剪强度指标较高。

表1 模型上部结构尺寸Table 1 Superstructure sizes ofmodel

图1 柱子平面分布Fig.1 Planar distribution of columns

1.2 按现行规范进行基础尺寸设计

上部结构荷载(包括上部结构、基础自重和楼面活荷载等)按现行荷载规范设计。基础采用柱下独立基础，且设基础仅承受轴心荷载，则基底面积按下式计算［14］:

表2 地基土邓肯－张模型参数Table 2 Duncan－Chang’s model parameters of foundation soils

考虑宽深修正，地基持力层承载力特征值按下式计算［14］:

式(1)和(2)中各项含义见文献［14］，式(3)中各项含义见文献［15］。

考虑本建筑层数不多，荷载不很大，且由于2.5 m厚黏土层下为深厚软土，故采用宽基浅埋方式进行基础设计，设基础埋深为0.8 m，宽度不大于3m。根据文献［15］，混凝土重度取25 kN/m3，砌体砖重度21.83 kN/m3。考虑楼面、屋面和雪压2种活荷载，查得楼面、屋面活荷载标准值为2 kN/ m2，雪压0.45 kN/m2。黏土层地基承载力特征值根据勘察报告取fak=220 kPa。

由式(3)计算得角柱底端标准组合值Sk= 531.2 kN，纵向边柱Sk=812.95 kN，横向边柱Sk=852.6 kN，中柱Sk=1 278.96 kN，进而由式(1)和式(2)可计算得角柱、纵边柱、横边柱及中柱的基础边长分别为1.6，2.0，2.1和2.5 m。基础高度由混凝土受冲切承载力确定，即用下式计算［14］:

式中各项所代表含义见文献［14］。

计算所得角柱、纵边柱、横边柱及中柱的基础高度分别为0.3，0.4，0.4和0.6 m。

1.3 考虑共同作用的整体有限元模型的建立

根据以上数据，可建立该框架结构－基础－地基共同作用分析的整体有限元模型，如图2所示(上部结构已划网格)，x轴和y轴方向地基土的边界取至距最外基础边缘5 m。采用二阶四面体单元(C3D20R)进行整体网格划分，如图3所示。梁、柱及基础之间采用绑定约束。上部结构、基础及垫层都采用C20混凝土，其中垫层厚0.1 m，混凝土重度γ=25 kN/m3，弹性模量E=2.55×107kPa，泊松比ν=0.18。基础与地基土相互作用按库仑摩擦接触模拟，摩擦系数取为0.3。

图2 三维有限元模型Fig.2 3D finite elementmodel

图3 三维模型整体网格划分Fig.3 3D Meshes of the wholemodel

2 上述模型的数值分析结果

2.1 基础和地基沉降计算结果分析

图4是整体模型以横边柱B1-B2为轴的纵剖面沉降等值云。可见:由于基础下卧软土层，整体沉降量较大，各独立基础的沉降在180～187 mm之间，但均未超出现行规范［14］允许的200 mm，显然，各独立基础发生了不均匀沉降，边柱基础沉降量相对小些，中柱C2处基础沉降量最大，为187 mm，相邻角柱和横边柱独立基础的沉降差最大，约为5.5 mm左右，图5所示为沿B1-B2方向剖分的各独立基础底端中轴线上的沉降分布，可见该框架结构纵向中排柱上的各相邻独立基础的沉降差并不大，约为1～3 mm。

图4 B1-B2纵剖面沉降等值云Fig.4 Settlementnephogram along longitudinal section B1-B2

图5 B1-B2各柱下基础底端沉降分布Fig.5 Settlement distributions of the bottom of columns foundations

2.2 上部结构和基础的内力计算结果分析

图6(a)、(b)分别为柱X和Y向弯矩分布，且为便于比较，笔者去掉图2所示模型中基础和地基，在各柱底施加3个坐标方向位移约束，即对只考虑上部框架结构也进行了分析。可见，两者柱弯矩的分布规律基本一致，但考虑3者共同作用的柱弯矩值大于只考虑上部结构的柱弯矩数值，越靠近各弯矩极值处差别越大，但在柱脚处弯矩值接近于0，而只考虑上部结构时，所得一层柱弯矩值在柱中点处附近变号，且在柱脚处有较大的弯矩值，这是由于前者地基土对基础的位移约束较小，柱子底端接近于自由端的情形，而后者设定柱底位移为0，柱底为固定支座约束的情形。

根据结构力学可知结构对称，所受荷载也对称分布，则对每一跨梁所受弯矩和剪力应对称分布，而根据本文模型计算结果并非如此。图7～图10为纵、横梁弯矩及其对应的梁剪力分布(图7中B1-B2两层梁表示的是与柱B1和B2相交的纵梁，其余类同)。当只考虑上部结构时，没考虑柱端沉降影响，所得的分布规律与结构力学所得的规律近似，而考虑3者共同作用时，尽管如上所述，纵梁各柱的沉降差很小，在纵梁中间部位2者弯矩和剪力差别不大，但在梁两端考虑3者共同作用的弯矩和剪力较只考虑上部结构的分别大105.6 kN·m和153.7 kN，差异是明显的，笔者认为这是由于框架结构沉降不均的空间效应引起的。对于横梁由于各柱的沉降差略大，且只有3个柱子支承，考虑与不考虑共同作用的梁的弯矩和剪力差异在全长上较为均匀，且弯矩的差异较剪力明显，在边柱支承处有最大弯矩差，为63.9 kN·m。

图6 柱弯矩分布Fig.6 Bendingmoment distributions of the columns

图11和图12为4个柱下独立基础弯矩计算结果(图中横边柱B1即表示该柱下独立基础的弯矩分布，其余类同)。可见，角柱A2下独立基础弯矩分布形状为“z”字形，且弯矩值很小，笔者认为，这是由于角柱基础尺寸较小，其受力接近于刚性基础的情形，其它独立基础弯矩分布基本呈抛物线形，这与文献［16］计算结果一致，符合扩展基础(柔性基础)的情形，且最大弯矩所在截面为过各柱的某一柱边截面，表明基底反力都是非均匀分布的，与现行扩展基础设计假设的中心(或偏心)荷载作用下基底反力为均匀(或线性)分布不同，由于中柱的荷载各向对称，理论上，基础弯矩在该柱的X向的2个柱边截面处应有相等的极值，在Y向的2个柱边截面处应有另一相等的极值，而实际是呈现两图中的波动情形，这是由于该基础沉降不均匀(如图5所示)，基底反力非对称分布作用的结果。

图7 纵梁弯矩分布Fig.7 Bendingmoment distributions of the stringers

图8 纵梁剪力分布Fig.8 Shear force distributions of the stringers

图9 横梁弯矩分布Fig.9 Bendingmoment distributions of the crossbeams

3 基础尺寸修改前后计算结果对比分析

为探索本建筑最优基础设计方案，采用2种基础尺寸修改方案，其中方案1根据有限元计算得到的柱底端轴力值(柱底端弯矩值较小，对基础尺寸影响甚微，故不考虑)重新按现行规范设计柱下基础尺寸，经计算基础尺寸如表3所示。方案2的基础尺寸由按现行规范设计的基础尺寸和方案1设计的基础尺寸来确定。具体为:角柱基础和边柱基础采用按常规方法设计的尺寸，而中柱基础尺寸采用方案1尺寸(表3)的1.2倍，各柱下独立基础尺寸具体如表4所示。

图10 横梁剪力分布Fig.10 Shear force distributions of the crossbeams

图11 独立基础X向弯矩分布Fig.11 X direction bendingmomentdistributions of the isolated foundations

图12 独立基础Y向弯矩分布Fig.12 Y direction bendingmoment distributions of the isolated foundations

3.1 基础沉降计算结果对比分析

修改模型基础尺寸后重新计算。为便于比较分析，同样把基础尺寸修改前的结果一同绘入以下各图中。

表3 方案1柱下基础宽度和高度值Table 3 Width and height value of pillar foundation in case 1

表4 方案2柱下基础宽度和高度值Table 4 Width and height value of pillar foundation in case 2

图13所示为B1-B2轴各柱下基础底端的沉降量对比，易见:由于方案1和方案2的基础底面尺寸都较未修改之前的有所增大，故沉降量都减小了，且方案1的沉降量最小，但其相邻基础特别是角柱与相邻边柱的基础沉降差较未修改前更大，接近10 mm，即整个建筑基础的不均匀沉降增大，而采用方案2的基础尺寸，沉降量均在150 mm左右，且沉降差都在3 mm内，不均匀沉降明显减小。由此可知:增大柱下独立基础尺寸可以减小绝对沉降;但不均匀沉降减小或增大，不仅与基础尺寸大小有关，而且与基础尺寸合理布置有关。

图13 各方案柱下基础底端沉降分布对比Fig.13 Comparison for settlement distributions of the bottom of columns foundation in each scheme

3.2 上部结构和基础的内力计算结果对比分析

图14～图18所示为角柱、B1-B2纵梁和D2-D5横梁弯矩和剪力分布对比。可见:采用方案1的基础尺寸时，上部结构内力略大于基础尺寸修改前的，方案2的基础尺寸时，与上述只考虑上部结构时的内力的大小和分布规律较为一致。

图19和图20所示为角柱和中柱基础弯矩分布对比，可见:方案2时基础内力的大小或分布规律与基础尺寸修改前相同，而方案1时基础弯矩分布均呈抛物线型，特别是由于该方案角柱基础明显增大，使其弯矩分布转变为柔性基础特征。

图14 各方案角柱弯矩分布对比Fig.14 Comparison for bending moment distributions of corner column in each scheme

图15 各方案B1-B2二层纵梁弯矩分布对比Fig.15 Comparison for bending moment distributions of second floor stringer B1-B2 in each scheme

图16 各方案B1-B2二层纵梁剪力分布对比Fig.16 Comparison for shear force distributions of second floor stringer B1-B2 in each scheme

图17 各方案D2-D5二层横梁弯矩分布对比Fig.17 Comparison for bending moment distributions of second floor crossbeam D2-D5 in each scheme

图18 各方案D2-D5二层横梁剪力分布对比Fig.18 Comparison for shear force distributions of second floor crossbeam D2-D5 in each scheme

图19 各方案角柱A2的基础弯矩分布对比Fig.19 Comparison for bending moment distributions of foundation under corner column A2 in each scheme

按现行规范设计的基础尺寸和方案1修改的基础尺寸整体有限元分析结果表明:角柱基础沉降量＜边柱基础沉降量＜中柱基础沉降量，且角柱基础与边柱基础的沉降差较大，尽管不均匀沉降从量级上看并不大，只有6 mm或10 mm左右，但由此引起的纵向主梁在两端附近的弯矩以及横梁在各柱支承处的弯矩与常规设计只考虑上部结构的有显著的差异，也就是说现行规范设计方法所得上部结构的实际内力分布与其设计内力分布(只考虑上部结构的)存在上述差异，因此，若按常规方法进行基础尺寸设计，不计基础不均匀沉降的影响，在上部结构的配筋设计时有必要考虑其实际内力与设计内力的差异。当然，常规设计方法本身不能揭示这样的问题，而通过本文数值模拟分析后，通过合理进行基础尺寸调整设计，可尽量减小基础的不均匀沉降，使最终上部结构在设计荷载作用下的实际内力与常规设计只考虑上部结构的设计内力一致，如方案2所示，即为考虑上部结构－基础和地基3者共同作用的最优基础设计尺寸。

图20 各方案中柱C1的基础弯矩分布对比Fig.20 Comparison for bending moment distributions of foundation under center column C1 in each scheme

4 结论

(1)通过对现行规范进行基础尺寸设计和方案1、方案2基础尺寸修改的3种情况的整体有限元分析结果对比表明:基础的不均匀沉降对上部结构受力有明影响，且不均匀沉降越大，对上部结内力影响也越大。而基础沉降均匀时，上部结构内力与常规只考虑上部结构所得结果接近。

(2)不考虑上部框架结构－基础－地基3者共同作用的常规设计，常可能使基础沉降不均，导致上部结构应力重分布，以致其实际内力与设计内力间存在差异。本文分析表明:即使基础的不均匀沉降较小，但对上部结构某些部位内力的影响仍可能很大，应引起重视，或在基础尺寸不变的情况下，加强这些部位的配筋，或在有条件时，按本文方法进行整体有限元分析后，在上部结构设计不变情况下，合理调整基础设计尺寸，使基础的沉降趋于均匀，以使上部结构的在设计荷载下的实际内力与设计内力基本一致。

(3)本文介绍的数值模拟方法，充分考虑了上部结构－基础－地基3者共同作用，并考虑地基土实际的非线性变形特性，可同时准确获得设计荷载下上部结构和基础的内力，方便了上部结构和独立基础的配筋计算以及基础的冲切破坏和弯曲破坏验算。随着有限元等数值计算技术及计算机硬件技术的发展，该方法可推广应用到其他上部结构和基础类型更复杂、更笼大的建筑物的共同作用分析，以提高其设计计算与分析水平。

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