离散信号卷积运算的母函数计算

张大雷，陈磊

（淮南师范学院 计算机与信息工程系，安徽 淮南 232038）

引言

在信号与系统理论中，离散时间信号是一类重要的信号。冲激函数及其响应是系统分析中极为重要的问题和实现信号与系统分析的重要手段。冲激函数有连续时间和离散时间两种形式。离散时间形式的冲激函数也称为单位序列，是离散系统分析中最简单，也是最重要的序列之一。

卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位。当LTI 离散系统的激励为单位序列时，系统的零状态响应称为单位序列响应。在LTI 离散系统中，把激励信号分解为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作用于系统的单位序列响应，把这些响应相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应，这个相加过程表现为卷积①吴大正，杨林耀，张永瑞等：《信号与线性系统分析》（第四版），北京：高等教育出版社，2005年。。目前常用教材在求解卷积运算时普遍采用从卷积的定义或性质来入手，过程比较繁琐②同①。③郑君里，应启珩，杨为理：《信号与系统》（第二版），北京：高等教育出版社，2000年。④管致中，夏恭恪，孟桥：《信号与线性系统》（第四版），北京：高等教育出版社，2004年⑤Alan V.Oppenheim ，Alan S.Willsky ，With S.Hamid Nawab：《信号与系统》（第二版），刘树堂译，西安：西安交通大学出版社，1998年。。文献⑥禹思敏：《关于因果信号卷积积分的解析法浅析》，《电气电子教学学报》2001年第2 期，第102-103页。总结出计算卷积积分的一般数学公式，但还是从卷积的定义出发，计算过程比较复杂。文献⑦栗学丽，刘琚：《“数字信号处理” 中分段卷积的教学探讨》，《电气电子教学学报》2011年第2 期，第102-104 页。引入圆卷积等方法，但是不够直观。下面通过母函数来求解卷积问题，大大简化了运算步骤，而且为理解Z 变换等其他变换打下基础。

1 母函数与卷积的关系

母函数是重要的数学工具。对于序列＜a0，a1，a2＞（以下简记＜an＞⑧Ronald L.Graham，Donald E.Kunth，Oren Patashnik：《具体数学》，西安：西安电子科技大学出版社，1988。），定义G（x）=a0+a1x+a2x2+… 为序列＜an＞的母函数（以下简记an→G（x）或an=G-1（x））。

设有序列＜an＞及其母函数A（x）和另一序列＜bn＞及其母函数B（x），则

C（x）=A（x）·B（x）

=（a0+a1x+a2x2+…）（b0+b1x+b2x2+…）

故母函数C（x）中xn的系数为①Ronald L.Graham，Donald E.Kunth，Oren Patashni：《具体数学》，庄心谷译，西安:西安电子科技大学出版社，1988年。：

因果信号f1（n）与f2（n）的卷积定义为②吴大正，杨林耀，张永瑞等：《信号与线性系统分析》（第四版），北京：高等教育出版社，2005年。③郑君里，应启珩，杨为理：《信号与系统》（第二版），北京：高等教育出版社，2000年。：

对比式（1）和式（2）可知，序列＜cn＞恰为序列＜an＞与序列＜bn＞的卷积。由此可得，序列与母函数一一对应，并且序列的卷积对应于各自母函数的乘积。如果在LTI 离散系统中应用这种关系，将起到和Z 变换类似的作用④卢开澄，卢华明：《组合数学》（第三版），北京：清华大学出版社，2002年。，也就是将原离散序列的卷积运算简化为对应母函数的乘积运算。所以有以下结论成立：

由单位序列的定义⑤同②。⑥同③。：，写成序列的形式为＜1，0，0，…＞，它的母函数为G（x）=1+0x+0x2+…=1。同理，单位阶跃信号u（n）的母函数为，信号anu（n）的母函数为G（x）=。

2 母函数与Z 变换的关系

从信号处理的角度看，Z 变换是把一连串离散的实数或复数信号从时域转换到Z 域表示。从数学的角度看，同母函数一样，Z 变换也可以看做离散序列与连续函数的对应关系。母函数与Z 变换的主要区别在于，Z 变换是考虑收敛域的，而母函数由于是形式幂级数，它是不考虑收敛域的。序列＜a0，a1，a2，…＞的母函数为G（x）=a0+a1x+a2x2+…，该序列的Z 变换为G（z）=a0+a1z-1+a2z2，z∈ROC，其中ROC 表示收敛域。

此外，从性质看，母函数比Z 变换也要简洁。例如序列＜an＞的母函数为G（x），则序列＜nan＞的母函数为xG′（x），而序列＜nan＞的Z 变换为（z）。母函数与Z 变换的部分性质对比如表1 所示。

表1 母函数与Z 变换的部分性质对比

综上，母函数与Z 变换相比不需要考虑收敛域的问题，而且母函数的许多性质比Z 变换形式上更简洁。

3 实例说明

例1，例2，例3 题目分别取自文献⑦同②。中的例3.3-2，例3.3-1，例3.4-1，采用与文献⑧同②。不同的母函数方法求解其卷积与反卷积，从而说明母函数方法的运算特色。

求二序列的卷积f（n）=f1（n）*f2（n）。

f1（n）写成序列的形式为＜1，2，3，0，0，…＞，f2（n）写成序列的形式为＜1，1，1，1，0，0，…＞

令f1（n）→G1（x）=1+2x+3x2，f2（n）→G2（x）=1+x+x2+x3，f（n）→G（x）

则由式（3）可得：G（x）=G1（x）·G2（x）=1+3x+6x2+6x3+5x4+3x5

f（n）=f1（n）*f2（n）=G-1（x）=＜1，3，6，6，5，3，0，0，…＞

本例属于有限序列之间的卷积问题。文献⑨同②。中计算例1 的卷积和时需要进行分段计算以及确定相应的求和上限及下限，并且使用作图法来解决，过程繁琐，容易出错。当用母函数方法来求解时，将原问题转化为二次多项式与三次多项式的乘积问题。

[例2]已知f1（n）=u（n），f2（n）=0.5nu（n），求卷积f（n）f1（n）*f2（n）。

则由式（3）可得：

本例属于无限序列之间的卷积问题。文献①吴大正，杨林耀，张永瑞等：《信号与线性系统分析》（第四版），北京:高等教育出版社，2005 年。中计算例2 的卷积和用的是定义法，并且也需要进行分段计算。当用母函数方法来求解时，将原问题转化为部分分式展开问题。

[例3]已知某系统的激励为f（n）=u（n），其零状态响应为yzs（n）=2[1-0.5n+1]u（n），求该系统的单位序列响应h（n）。

由信号理论可知②同①。③郑君里，应启珩，杨为理：《信号与系统》（第二版），北京:高等教育出版社，2000 年。：yzs（n）=f（n）*h（n），令f（n）

由G（x）=G1（x）·G2（x）得：

本例属于反卷积问题。反卷积是指通过输出量和已知输入量来求解未知输入量的问题，也是信号处理中的一类基本问题，在信号均衡、图像恢复、地质勘探以及语音识别等领域有着广泛的应用。反卷积实质上是卷积的逆问题。文献④同①。中计算例3 的卷积和用的是归纳法，但是归纳法由于是一种不确定结论的推理方法，所以存在“过度普遍化”的问题，并且不能解决许多更加一般化的反卷积问题。当用母函数方法来求解时，将原问题转化为分母多项式的除法问题。

4 结语

本文提出了利用母函数来简化离散信号卷积运算的方法，该方法不仅可以求解有限序列之间的卷积、无限序列之间的卷积，还可以解决反卷积的问题。与传统的利用卷积定义或性质的方法相比更加简单明了，同时与Z 变换相比，母函数的方法也更加直观和易于接受，因此可以作为传统教材相关内容的补充。笔者在教学实践过程中，通过引入母函数来讲解卷积运算取得了良好的效果。