离散数学与高中数学新课标中常用逻辑用语的衔接研究

李艳艳，黄卫华

（文山学院 数学学院，云南 文山 663000）

离散数学与高中数学新课标中常用逻辑用语的衔接研究

李艳艳，黄卫华

（文山学院 数学学院，云南 文山 663000）

作者在教材分析的基础上，通过对高中数学新课程标准中命题及其关系、简单的逻辑联结词、充分条件、必要条件、全称量词、存在量词与离散数学中的命题符号化及联结词、推理理论、一阶逻辑知识的比较，研究其异同点，从而更好地指导大学离散数学的教学。

离散数学；新课标；命题；符号化

1 问题的提出

“离散数学”是数学专业、计算机专业、经济类等专业的一门重要的基础理论课程，它在计算机科学及相关领域中有着广泛的应用背景，随着计算机的普及，这门课程越发显得重要。“离散数学”第一章与第二章的部分内容如命题符号化及联结词，推理理论，一阶逻辑等知识，在新课标[1]高中数学选修1-1中有所讲解，可是大学老师对这部分的高中知识不太了解，所以在“离散数学”的教学中教师对学生基础掌握不够，讲解上也难以把握知识的深度和广度。

下面通过对新课标[1]高中数学选修1-1与《离散数学》教材的分析研究这些问题的衔接。

2 衔接问题研究

2.1 命题及其关系，简单的逻辑联结词与命题符号化

新课标教材给出了命题的定义及命题的分类（真命题，假命题），数学中常见的命题形式“若p则q”与其等价形式“如果p，那么q”，“只要p，就有q”，主要对“若p则q”的形式讨论了原命题，逆命题，否命题，逆否命题的形式与真假关系还有且，或，非三种简单的逻辑联结词。

离散数学在命题定义的基础上首先将命题分为简单命题和复合命题，为了命题的符号化给出了更加全面的严格的逻辑联结词的定义，即且，非，或（相容或，排斥或），蕴涵，等价，与非，或非等。

下面首先给出且，或，非，蕴涵联结词的定义，然后对它们比较分析。

新课标定义：

1） 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作p且q。

2）一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作p或q。

3）一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或p的否定。

离散数学中的定义：

小写的英文字母p, q, r, s…表示简单命题

4）设p, q为两命题，复合命题“p和q”称作p与q的合取式，记作p∧q，∧为合取联结词。

5）设p, q为两命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∧q，∨为析取联结词。

6）设p为任一命题，复合命题“非p”称为p的否定式，记作﹁p，﹁为否定联结词。

7）设p, q为两命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，→称作蕴涵联结词。

直接比较1），2），3）与4），5），6）我们发现离散数学中给出的定义是在简单命题的基础上去定义复合命题时引进了逻辑联结词，更加自然，而且将命题分的比较详细，给出的联结词也比较全面；新课标只是逻辑的简单初步给出的定义笼统且粗糙，没有对命题分类。所以这种情况教学时就要在同学们中学知识的基础上，将定义扩展，这样知识就提升了高度。

新课标中没有讲解蕴涵联结词可是却花了大量篇幅详细的分析了“若p则q”这种形式的命题；离散数学在7）的基础上更加全面的讲解了蕴涵式以及变形形式“只有p才q，除非p否则q，p仅当q”。这种情况教学时应在复习中学知识的基础上给出确切的定义，并讲解常见的变形形式的符号化。下面通过具体例子进行分析。

例1如果天不下雨，我就不骑自行车上班。

解：若是按照中学课本的要求改写成“若p则q”，“如果天不下雨，则我不骑自行车上班”；按照《离散数学》要求符号化，p：天下雨，q：我骑自行车上班，“﹁p →﹁q”。

例2只有天不下雨，我才骑自行车上班。

解：若是按照中学知识的要求改写成“如果我骑自行车上班，那么天不下雨”，可是这个结果学生很不好理解，符号化为“q →﹁p”。

例3派小王与小李中的一人去上海。

解：中学对此问题没有进行详细的讨论，可是离散数学中将这种情况称为排斥或，意思是小王去上海并且小李不去上海，或者小李去上海并且小王不去上海，符号化为( p∧﹁q)∨(﹁q∧q)。

通过例3我们知道离散数学将逻辑连接词“或”分为两种情况即“相容或”与“排斥或”，这种分类更加符合实际，而高中内容没有对此分类。

例4王一乐是计算机系的学生。他生于1968年或1969年，他是三好学生。

解：该问题若是用高中知识改写成“若p则q”的形式是办不到的，它的符号化应该为p:王一乐是计算机系的学生，q:他生于1968年，r:他生于1969年，s:他是三好学生“( p∧(q∨r)∧s)”。

2.2 充分条件，必要条件与推理理论

新课标中的定义

8）一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

9）一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说，p是q的充分必要条件。

离散数学定义

10）若(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则称A1, A2,…, Ak推出结论B的推理正确，B是A1, A2,…, Ak的逻辑结论或有效结论，记作(A1∧A2∧…∧Ak) B。

判断下列推理是否正确

例5a: 如果天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所以小王没去游泳。

b: 如果我上街，我一定去新华书店。我没上街，所以我没去新华书店。

解：这两个问题用高中知识判断可知：都正确，但实质上a正确，b错误。

具体求解过程为a: p:天气凉快；q：小王去游泳，写成推理的形式结构为：((p →﹁q)∧p)→﹁q通过等值演算法得到真值为1；b: p:我上街，q：我去新华书店，写成推理形式为((p →q)∧﹁p)→﹁q，通过主析取范式法得推理错误。

新课标中强调了由p通过推理可以得出q，即条件p一定是真命题，而离散数学中特别强调了当p是假命题时都有pq，所以在离散数学的教学时应在高中的基础上针对这种情况重点讲解，但是在以往的教学中发现这种情况学生很难理解。离散数学在高中充分条件与必要条件的基础上讲解的推理理论包含知识更加广泛，内容更有深度。

2.3 全称量词，存在量词与一阶逻辑

新课标定义

11） 短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。例如每个对数函数都是单调函数。

12） 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题。例如有些函数不是单调函数。

13）全称命题：“对个体域中M的任意一个x，有p(x)成立”符号化为x∈M, p(x)。

14）特称命题：“存在个体域M中的一个x0，使p(x0)成立”符号化x0∈M, p(x0).

新课标讲的比较简单可是离散数学是在对简单命题进行更加详细的符号化时引进了个体词，个体域，谓词，量词。

离散数学定义

全称量词 对应日常语言中的“一切”，“所有的”，“任意的”等词，用符号“”表示。

x表示对个体域里所有个体。xF(x)表示个体域里所有个体都有性质F。

存在量词 对应日常语言中的“存在着”，“有一个”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。x表示对个体域里所有个体。xF(x)表示个体域里所有个体都有性质F。

离散数学还特别强调了全总个体域（宇宙间一切事物构成的个体域），新课标没有强调。

例6将“所有的人都长着黑头发”符号化

解：M :人的集合，p(x)长着黑头发，x∈M, p(x)。

离散数学中，若考虑个体域为人类集合应符号化为xp(x)，p(x): x长着黑头发，若考虑个体域为全总个体域，则引进特性谓词M(x) ：x是人，这时符号化为x(M(x)→p(x))。

新课标

例7将“有的文山人没去过文笔塔”。

从这两个例子我们发现新课标中的个体域实际上就是离散数学的全总个体域。

通过以上三方面的比较使我们更好的了解了中学简单逻辑的内容，也就掌握了学生的中学基础，离散数学教学时就能根据这些相同点和不同点更好的做教学设计从而让学生更加透彻的掌握所学内容。

［1］ 人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.新课标、高中数学选修1-1[M].北京：人民教育出版社，2013：1-60.

［2］ 耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2010：1-41.

Research on the Link between Discrete Mathematics and the Common Logic Language in New Mathematics Standard for High Schools

LI Yan-yan, HUANG Wei-hua
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

The paper studies the differences and similarities among propositions and their relations, simple logical connectives, sufficient condition, necessary condition, universal quantifier, existential quantifier and the symbolization of proposition and connectives in discrete mathematics, reasoning theory, the first-order logic knowledge, for providing better guidance for college discrete mathematics teaching, based on the analysis of new mathematics standard for high schools.

Discrete mathematics; new curriculum standard; proposition; symbolization

O158

A

1674-9200（2014）06-0040-03

（责任编辑 刘常福）

2014-03-14

文山学院重点学科“数学”建设项目（12WSK01）。

李艳艳（1982-），女，甘肃庆阳人，文山学院数学学院讲师，硕士，主要从事矩阵理论及其应用研究。