含反射中子的快脉冲堆中子动力学方程研究

李 兵，鲁 艺，卢 伟，李 勐，梁文峰，谢奇林，范晓强

（中国工程物理研究院 核物理与化学研究所，四川 绵阳 621900）

快脉冲堆是一种在超瞬发临界状态下产生高强度脉冲中子场的研究堆，主要使用高浓缩铀金属做核燃料。由于无反射层或只有很薄的铜、贫化铀等反射层，它对堆外反射体的反射中子很敏感。即使距堆芯较远的堆厅墙壁、地面和天花板产生的反射中子，对快脉冲堆的影响也很大——实验上观察到反射中子使脉冲波形明显展宽变得不对称、脉冲裂变产额显著增加［1-2］。当堆体外布置较多辐照物时，反射中子有可能对脉冲堆的安全运行造成不利影响。因此研究反射中子对快脉冲堆的影响很有必要。Wimett等［2］曾在快脉冲堆中子动力学方程中增加两组虚构的缓发中子，模拟反射中子的作用，解释了脉冲波形后沿变宽的实验结果。但这一方法存在如下不足：1）采用虚构的缓发中子模拟反射中子值得商榷；2）只能解释实验现象，不能预测堆外反射体对脉冲波形和裂变产额的影响，对脉冲堆的安全运行无实际意义。

Spriggs等［3］和Aboanber［4］对带反射层反应堆的中子动力学方程进行了研究，提出了带反射层反应堆的中子动力学理论。但他们的理论只适用于反射体距离快脉冲堆堆芯较近的情形，对于距离堆芯较远的反射体，如辐照物、堆厅墙壁等并不适用。

本文在分析反射中子物理成因的基础上提出描述反射中子的新模型，建立与文献［2-4］均不同的反应堆中子动力学方程，并应用于数值模拟计算快脉冲堆在瞬发超临界状态下运行产生的脉冲波形，初步分析反射中子对快脉冲堆动力学的影响。

1 含反射中子的快脉冲堆中子动力学方程

当中子在快脉冲堆内产生后，一部分在堆内被吸收发生裂变反应或俘获反应，另一部分则泄漏至堆外。由于堆外总是有其他物体，如堆外的探测器、堆厅墙壁、地板、天花板以及辐照物等，泄漏至堆外的中子有一定的概率再回到堆内，通常称这部分中子为反射中子。显然，与在堆内产生时相比，反射中子总是延迟了一段时间再回到堆内。

令堆内中子泄漏出堆外的概率为L，假设在t-τj时刻泄漏出来的中子在延迟了τj时间后在t时刻被反射回堆内的概率为ξj，则得到t时刻单位时间内反射回堆内的中子数为Lξjn（t-τj）／Λ，由此 得 到 在 点 反 应 堆 近 似［5-7］下，含反射中子的快脉冲堆中子动力学方程为：

其中：n 为堆内的中子总数；β、βi 为缓发中子总有效份额和第i组缓发中子有效份额；ρ为以β为单位的反应性；Λ 为瞬发中子每代时间；λi为第i组缓发中子先驱核的衰变常量；Ci为t 时刻堆内第i 组缓发中子先驱核总数；τj为第j组反射中子的时间常数，表示第j 组反射中子的延迟时间。

在超瞬发临界状态下，缓发中子对脉冲堆内中子总数的贡献可忽略，将Lξj／β 合并记为ηj，则式（1）简化为：

其中，ηj 为第j 组反射中子的有效份额，表示第j组反射中子占堆内总中子数的份额（经中子价值修正）。

当τj很小时（如带反射层快脉冲堆的反射层产生的反射中子），可将式（2）中的n（t-τj）用泰勒级数展开并取一阶近似，得：

式（4）说明，当反射中子的时间常数很小时，带反射层快脉冲堆的动力学行为近似于一无反射中子影响的“裸堆”，只不过其瞬发中子寿命增加了，反应性增加了，这与Spriggs等［3］的结果类似。

快脉冲堆在浅超瞬发临界状态下运行时堆功率将迅速增长，堆芯温度迅速上升，导致反应性减少。而反应性的减少量与堆内此前累计发生的裂变数呈正比［5-7］，即有：

其中：ρ0 为以β为单位的超瞬发临界反应性，即ρ0=ρ-1；γ为堆内发生一次裂变引起的反应性减少量，称为快脉冲堆的关闭系数。

将式（5）代入式（2），得：

式（6）即为快脉冲堆在浅超瞬发临界状态下运行时，考虑了辐照物或堆厅反射中子影响的中子动力学方程。

2 脉冲波形数值模拟计算分析

采用有限差分方法和矩形数值积分对式（4）进行数值求解，模拟快脉冲堆在浅超瞬发临界状态下运行时产生的脉冲。为了简明地反映反射中子的作用，只取一组反射中子。取时间步长为T，令αR=β／Λ、ε=τ／T，并用一阶向前差分近似时间微分，得：

整理式（7）得：

不含反射中子时，显然有：

根据式（8）、（9）编写数值计算程序，计算了快脉冲堆在超瞬发临界状态下运行时产生的脉冲波形及其特征参数——中子初始增长周期Te和脉冲的裂变产额。为了凸显反射中子的作用，在式（8）中只取一组反射中子，并记其有效份额为η、时间常数为τ。计算发现，反射中子不仅使超瞬发反应性和脉冲裂变产额有所增加，而且使脉冲波形不再对称（脉冲后沿明显展宽）。计算结果表明，反射中子使实际的超瞬发反应性ρ由ρ0 增大为ρ0+Δρ，其中ρ0 为控制棒加入的反应性，Δρ为反射中子对反应性的贡献。反射中子使实际的脉冲裂变产额由2ρ0／γ增大为2ρ0／γ+ΔF，其中2ρ0／γ 为控制棒加入的反应性ρ0 对脉冲裂变产额的贡献，ΔF 为反射中子对脉冲裂变产额的贡献。表1～3列出了ρ0 和η 取不同值时，随τ 的增大，Te、ρ、Δρ、ΔF 和脉冲不对称性的变化情况。从表1～3可见，随η的增大，反应性和脉冲裂变产额的增量也增大。而随τ 的增大，反应性的增量明显减小，脉冲波形的不对称性也越明显，但脉冲裂变产额的增量减少得不多。

计算表明，反射中子使脉冲的后沿展宽是脉冲波形变得不对称的原因，并且这种影响与τ／Te密切相关。当τ／Te较小时，脉冲波形基本上是对称的。而随着τ／Te增大，脉冲波形的不对称性越来越明显，当τ／Te≈3时，脉冲波形的不对称性达到最大（图1～2）。

归纳起来，反射中子对脉冲波形和脉冲裂变产额的影响体现出以下规律：

表1 ρ0＝0.04β、η＝0.004β时的脉冲波形参数计算结果Table 1 Calculation result of pulse wave parameter atρ0＝0.04βandη＝0.004β

表2 ρ0＝0.04β、η＝0.02β时的脉冲波形参数计算结果Table 2 Calculation result of pulse wave parameter atρ0＝0.04βandη＝0.02β

表3 ρ0＝0.004β、η＝0.002β时的脉冲波形参数计算结果Table 3 Calculation result of pulse wave parameter atρ0＝0.004βandη＝0.002β

图1 η／ρ0=0.1时不同τ／Te 的脉冲波形Fig.1 Pulse wave of differentτ／Teatη／ρ0=0.1

图2 η／ρ0=0.5时不同τ／Te 的脉冲波形Fig.2 Pulse wave of differentτ／Teatη／ρ0=0.5

1）反射中子对脉冲波形和脉冲裂变产额的影响明显地体现在3个方面，即导致了实际的超瞬发反应性增加、脉冲裂变产额增加、脉冲波形明显展宽，脉冲波形不再对称。

2）反射中子对脉冲波形对称性的改变主要通过τ起作用，并与τ／Te有关。当τ远小于Te时，脉冲波形仍是对称的。随τ／Te的增大，脉冲波形逐渐变得不对称。当τ≈3Te时，脉冲波形展宽最多。

3）反射中子的存在总是使脉冲裂变产额增加，增量主要与η 有关。η 越大增加的裂变产额越多，反之亦然。而增加的途径则与τ 有关，更确切地说与τ／Te有关，即当τ／Te较小时，反射中子主要通过增加反应性使裂变产额增加，而当τ／Te较大时，则主要通过使脉冲波形展宽增加裂变产额。

3 结论

在点反应堆假设基础上建立了含反射中子的快脉冲堆中子动力学方程，并进行数值计算研究了反射中子对脉冲波形的影响。计算结果反映出反射中子对快脉冲堆中子动力学的行为影响很大，不仅增加了实际的反应性和裂变产额，而且使脉冲波形展宽。这与脉冲堆的实验结果是一致的。

［1］ 李兵，范晓强，邓门才.快中子脉冲堆动力学特性研究［J］.核电子学与探测技术，2001，21（4）：277-280.LI Bing，FAN Xiaoqiang，DENG Mencai.Dynamic character of fast neutron burst reactor［J］.Nuclear Electronics ＆ Detection Technology，2001，21（4）：277-280（in Chinese）.

［2］ WIMETT T F，WHITE R H，STRATTON W R，et al.Godiva-Ⅱ：An unmoderated pulse-irradiation reactor［J］.Nucl Sci Eng，1960，8：691-708.

［3］ SPRIGGS G D，BUSH R D.The shift of prompt critical in reflected reactors and the limitations of the mean prompt-neutron lifetime model，LAUR-94-2250［R］. US：Los Alamos Scientific Laboratory，1994.

［4］ ABOANBER A E.Spectral effects induced by the presence of a reflector for two-energy group two-point kinetic model of reflected reactors［J］.Progress in Nuclear Energy，2010，52：197-205.

［5］ 黄祖洽.核反应堆动力学基础［M］.北京：北京大学出版社，2011.

［6］ 赵福宇.核反应堆动力学［M］.西安：西安交通大学出版社，2011.

［7］ 贺仁辅，邓门才.快中子临界装置和脉冲堆实验物理［M］.北京：国防工业出版社，2012.