商品包装大小的优化策略研究

谭雨 李春明 王金凤

作者简介：谭雨、李春明、王金凤，玉溪师范学院理学院，数学与应用数学专业。

摘要：本文主要针对几种商品的价格与包装大小之间的关系进行研究，首先对影响商品包装大小与价格的因素进行分析，然后对商品质量的大小与价格之间的关系给出具体的数学模型，但由于商品包装样式不同，数据之间缺乏联系。因此，我们以一组商品数据为基准，对模型合理性假设，最终用MATLAB软件进行线性拟合和通过已建立的模型来解决相关问题，从而就能找到最佳的包装方法，明确地划分商品的包装档次，制定利益最大化的营销策略。同时解决消费者对大包装商品实惠还是小包装商品便宜的困惑，使消费者认清事实，理性消费。

关键词：商品包装大小；价格；模型

1.问题的陈述

1.1背景资料

在实际生活中，我们所用的同种商品总会碰到有包装类似但价格不同的情况，比如，在超市中的“黑人牙膏”有90g、175g、225g三种规格，它们的价格分别为6.8元、10.9元和13.2元。三者单位重量的价格比是22：18：16；食用油有0.9L、1.8L、2.5L、5L四种规格，它们的单位重量的价格比为10：8：7：6。那么，这些商品的包装大小与价格之间到底有什么样的关系？

1.2问题提出

问题1.在平时，我们会遇到包装大小的问题，同种商品的包装大小与价格之间有什么关系？对于同一类的不同品牌的商品，它们之间是否也能找到一种关系？

问题2.对于一些不规则商品的包装是否也类似于规则商品的包装模型，能否针对不同类型的包装做出合理假设，并对最优模型加于阐述？

问题3.商店中的物品，是不是大包装就一定比小包装更便宜呢？

1.3需要解决的问题

1.3.1调查包装类似但质量不同的几种同一商品各几组，建立模型描述包装大小和价格的关系。

1.3.2验证所建立模型的合理性和准确性。

1.3.3对模型做出相应的预测分析，以及提出相应的对策和建议。

2.模型的假设

2.1定价一般是和以下几个方面是密切联系的：生产成本、包装成本、其他成本。

2.2一般地说，生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含着与w和s成正比的部分，上述三种成本中也有与w，s均无关的成分。

2.3不考虑商品的生产效率和包装效率，包装材料、形状不因包装大小而有较大区别。商品是一样的产品，不包含不同成分。

2.4商品的价格与商品的重量呈线性关系，不考虑个别商品微小的影响。

3.问题分析

3.1问题1的分析

首先根据客观规律，初步确定了影响商品价格的因素。通过分析了解到商品自身的成本是由生产该商品的单位成本和所装数量多少决定的，商品包装成本是由包材料的单位成本和包装材料的用量决定的。然后建立了商品包装面积和产品重量的关系，并将各个因素有机的结合。通过分析产品重量成本因子和包装材料成本因子关系，从而初步地建立了商品包装大小与价格关系的模型。下面我们选取与我们生活息息相关的生活用品，牙膏作为问题1的研究对象。

其次，我们通过查阅资料和分析后得知，当所装袋的产品越多时，所需的包装袋越大，得到他们之间的关系

s=kw2/3（3.1）

鉴于商品间存在空隙等因素，k在针对不同的商品时为不同的常量。为了验证这里的材料面积是否与质量的三分之二次方成正比。我们对牙膏的包装面积与质量的关系做出了以下猜想

s=kw（3.2）

其中，k和为它们之间的相关系数。通过MATLAB软件拟合后确实接近2/3，本文就取2/3为标准。

基于对问题1的分析和相关资料，商品的价格是由商品自身的成本，包装成本和其他成本决定的。而商品自身的成本是由生产该商品的单位成本和所装数量多少决定的，商品包装成本是由包材料的单位成本和包装材料的用量决定的，因此我们建立了以下模型

C（w）=aw+βw2/3+γ（3.3）

3.2问题2的分析

针对问题，我们对一些不规则包装的商品（食用油桶装和瓜子纸质包装）进行了有关调查，同时进行了合理性猜想。对于这类商品我们可以把它们规范化，当作一般的模型来研究，观察它的系数误差，如果不理想再采用特殊的模型来分析。

3.3问题3的分析

这个结果不一定，虽然说相对大的包装相对便宜，但是买东西根据我们的需求而定，不是每次都要买大包装的商品。

4.符号说明

C：商品售价（元）w：商品重量（g）

γ：其他因素引起的成本cp：包装材料的成本因子

s：商品的面积（m2）：λ重量的成本因子

α：与质量有关的因数β：与质量的三分之二次方有关的因数

5.模型的建立与求解

5.1问题1模型的建立：

C（w）=αw+βw2/3+γ（3.3）

2014-2015年黑人、佳洁士、高露洁牙膏的商品调查数据：

双重薄荷黑人牙膏：90g，175g，225g价格分别为6.8元，10.9元，13.2元；

茉莉茶爽佳洁士牙膏：100g，120g，240g的价格分别为8.8元，9.8元，16.8元；

炭黑高露洁牙膏：140g，180g，200g的价格分别为12.3元，15.9元，17.7元

资料来源：2014年8月玉溪市红塔大道沃尔玛超市

首先，将表5-1的数据进行逐步回归：只选取其中的一种作为基准，其余类似可以求出。我们以黑人牙膏为基准，带入模型

C=aw+βw2/3+γ（5.1）

把它转化为线性的模型，令w=w1，w2/3=w2，从而有线性模型

C=aw1+βw2+γ（5.2）

用MATLAB中进行线性拟合，就得到了黑人牙膏的质量与价格的拟合函数模型：

C=1.4193+0.0316w+0.1265（W）23（5.3）

再对模型进行检验，结果显示拟合的结果的价格和实际的价格基本一致，说明拟合函数符合要求。

对上述模型进一步探索，能否找出一个可以把所有不同种牙膏的价格与质量拟合在一起的模型，于是我们做出了以下假设：

（1）当质量相同时，它们三种商品的β，γ近似相等。

（2）高露洁、佳洁士也适合上述模型，现在以黑人牙膏为其他牙膏的度量单位。

我们就可以把其他不同类型的牙膏转化为黑人牙膏，以模型（3.3）

作为参考，把相同质量的不同类型的牙膏进行如下转化。令黑人牙膏的模型为：

C1（w）=a1w+β2/3+γ（5.4）

佳洁士模型：

C2（w）=a2w+β2/3+γ（5.5）

高露洁模型：

C3（w）=a3w+β2/3+γ（5.6）

上面的三个模型联立，就得到了以黑人牙膏为度量的相同质量之间的系数差。

a2-a1=C2（w）-C1（w）w（5.7）

a3-a1=C3（w）-C1（w）w（5.8）

其中a2-a1，a3-a1分别为相同质量的黑人牙膏与佳洁士牙膏的修正系数，相同质量的黑人牙膏与高露洁牙膏的修正系数。由于黑人牙膏采集的数据有限，所以我们用它的拟合函数模型：

C=1.4193+0.0316w+0.1265（W）23（5.3）

去解决相关的问题。根据其他牙膏的质量，可以得到不同质量的黑人牙膏的价格，并用Excel进行修正得出结果，修正公式为：

C（w）=C（w）-（a2-a1）w（5.9）

其中，C（w）表示修正后的价格、C（w）为原来的价格、a2-a1、a3-a1为修正系数，然后进行回归分析最后得到相应模型。用数学软件MATLAB对有关数据进行拟合分析，得到下图（其中“○”表示生产成本与价格的关系，“*”表示包装成本与价格的关系

图5-2：MATLAB画出的图像图5-3：残差分析图

从图5-2可以看出商品价格与包装大小之间确实存在着线性关系，从除质量因素有关外的其他因素也有影响，比如包装材料等。为了进一步讨论影响因素，对模型做出了以下分析。（添加的部分）在MATLAB中进行求解，得到了a=0.0466，β=-0.0148，γ=2.8985；概p0.05率，符合要求，对残差进行分析，作残差图。从残差图5-3可以看出，除最后一个数据外，其余数据的残差均离0点较近，并且残差的置信区间均包含0点，这说明得到的模型能较好地符合原始数据，最后一个数据没过0点，视为异常。其它的数据与零点较接近，把视为异常的数据舍去。用Excel进行检验，可以看出我们建立的模型是符合要求。所以，以黑人牙膏为度量单位的黑人牙膏，佳洁士牙膏，高露洁牙膏的模型为。

C=2.8985+0.0466w-（w）23（5.10）

5.2问题2的解决，其它不规则的商品的也可以建立模型（3.3），类似解决问题1的相关方法，根据以下调查数据见（附表）用MATLAB进行拟合，得到以下模型（添加的部分）

（1）以香瓜子为度量单位的凉茶瓜子和原香瓜子的模型：C=2.8434+0.0706（w）23（5.11）

（2）以香满园为度量单位的鲁花和金龙鱼食用油的模型为：C=11.8474+11.8474w-1.7557（w）23（5.12）

5.3问题3的解决

针对包装大小不同的商品，我们基于上述研究和日常生活经验的积累，容易发现很多消费者都喜欢买大包装的商品，主要原因是图它们便宜，再者是商家的“多销多赢”策略所带来的诸多好处。但作为我们消费者买东西时首先要根据生活的需要，其次要有一双慧眼，了解什么样的商品如何包装是最划算。

我们应该看同一产品不同质量与价格间的关系，就是单位质量的价格。同一产品，单位质量（单位体积）的价格越低，购买该种质量产品越划算；单位质量（单位体积）的价格的越高，购买该种质量产品越不划算。大家不要忘记，其它因数对购买商品还是有影响的，比如大包装的产品过多，会造成浪费，还有些时候，由于商店打折，小包装的可能还要划算一些。这里由于水平有限，试为一家之言吧。

6.模型的分析与评价

6.1模型的分析

（1）单位商品价格：

C=cw=a+βw-1/3+rw（6.1）

（2）对（6.1）求一阶导数：

C=-13βw-4/3-rw2（6.2）

从单位商品价格的一阶导数可以看出，C<0恒成立。这表明以质量为变量的函数是减函数，当w不断增大时，单位质量的价格随之减小。说明了在控制好其他因素的情况下，商品的单价是随着包装质量的增大而减小的。

6.2模型的评价

（1）本模型简单、易懂，而且数据准度高；

（2）本模型适用于大多的数据预测；

（3）本模型能较好反应出各因变量与自变量的关系。

（4）所收集到的数据过少，导致拟合上存在问题。

（5）模型不能运用在一些复杂的预测问题上。

7.模型的应用与推广

7.1模型应用

这个模型具有很大的实用价值。超市购物是日常生活中必不可少的一个环节，花最少的钱买最实惠的东西是大家都想做到的事。这有一个持家的小窍门，那就是在商品用得完的情况下尽量选择较大的包装买东西，这样可以比较好地省下包装的费用。但是也要注意不能盲目追求大包装，还要考虑过大包装是否会有其他方面的损耗，譬如用不掉的情况，这样就损失了。总的来说，在超市购物还是要从实际出发，尽量做到货比三家。

7.2模型推广

本模型可以运用在经济学领域里，作为一些简单数据的预测和分析。还可以运用在一些商品定价方面。可以为消费者，商家提供相应的生产与购物观念。作为商家，能更好地划分包装的档次，可以根据上述建立的模型，求出需要的价格，从而根据质量来划定包装档次，避免盲目追求利润，把利润建立在合理的理论分析上，从而实现利益最大化。（作者单位：玉溪师范学院理学院）

指导老师：刘云

参考文献：

[1]赵静.但琦.数学建模与数学实验（第3版），高等教育出版社，2008—1.

[2]蒲俊.张朝伦.张军.李顺初，数学建模方法与训练，2013—2

[3]王殿卿.曲立.吕晓岚.我国成品油价格变动因素分析，1006—5024（2006）04—0168—03

[4]陈涛.赵凌.最优组合预测模型在成都私家车数量预测中的应用1673—808X（2010）06—0605—04