一类非完整系统的有限时间镇定控制

张宇

摘 要 本文研究一类三维非完整链式系统的有限时间控制问题。为了使此类非完整系统各状态能够更快收敛至平衡状态，本文利用state-scaling和增加幂积分技术，提出了一种基于切换控制策略的有限时间镇定控制器，使得非完整链式系统在所设计的有限时间镇定控制器的作用下，通过有限次切换，系统各状态能在有限时间内从任意的非平衡位置收敛至平衡点。

关键词 非完整系统 有限时间控制 state-scaling 增加幂积分技术

中图分类号：TP13 文献标识码：A

Finite Time Stabilization Control of Nonholonomic Systems

ZHANG Yu

（School of Mathematics， Liaoning University， Shenyang， Liaoning 110036）

Abstract This paper studies a class of finite time three-dimensional nonholonomic chained system control problem. In order to make a complete system to such non-state faster convergence to equilibrium， we use state-scaling and increasing the power of integration technology， we propose a switching control strategy based on the finite time stabilization controller makes nonholonomic chained systems the limited time the role of stabilizing controller design， finite switching times， each state of the system can converge to the equilibrium point from any non-equilibrium position for a limited time.

Key words nonholonomic systems； limited time control； state-scaling； increase the power of integrating technology

0 引言

近几年来，由于非完整系统运用在许多力学系统的描述中，因此对于非完整系统的控制与镇定问题的研究受到了广泛关注。由Brockett定理可知非完整系统不存在光滑的时不变状态反馈控制律。因此，对于非完整系统的控制问题研究的主要困难之一就是不存在光滑甚至连续的反馈使系统镇定。所以，寻求新的设计方法成为备受关注而又十分困难的课题。

本文针对一类三维非完整链式系统，利用state-scaling和增加幂积分技术，提出了一种基于切换控制策略的有限时间镇定控制器，并证明了非完整链式系统在所设计的有限时间镇定控制器的作用下，系统各状态能在有限时间内从任意的非平衡位置收敛至平衡点。与文献【2】中提出的控制器相比，本文提出的有限时间切换控制器能够更快、更准地将系统各状态镇定至平衡位置。

1 问题描述

本文下面一类非完整链式系统：

（1）

其中：，，为状态变量，，为控制输入。

针对此类系统，设计切换的状态反馈控制器使得系统的状态能够在有限时间内收敛至平衡位置。

注1：在实际中有很多机器控制的非完整系统可以通过适当的坐标变换转化成本文研究的这种系统，例如，独轮自动小车、滚动的圆盘系统、双轮驱动的移动机器人、自动双轮启动机器。

定义1[1]：非线性自治系统

= （）， （2）

是有限时间稳定的，是指系统（2）的平衡点 = 0是有限时间收敛的，即存在一个原点的开区域和一个函数： | {0}→（0，），使得所有系统（2）从初始值出发的解（，）在[0，（）]内是确定唯一的并且（，） = 0。这里（）称为关于的停息时间。而系统（2）的平衡点是有限时间稳定的是指它是Lyapunov稳定和有限时间收敛。

引理1：对于系统（2），如果存在一个Lyapunov函数：→和实数>0，>0且（0，1）与一个关于原点的开区域 使得（）≤- （）， （3）

那么，系统（2）的平衡点是有限时间稳定的。

（）≤

定理1：在如下切换控制器作用下：

（1）当|| + || + || = 0 时，

（2）当|| ≠0， || + || ≠ 0时，

三维非完整链式系统（1）的状态在有限时间收敛。

证明：情形一：（0）≠0。令。由系统，得

。

当（） = -时，。

定义，， = 。系统（1）可表示为如下形式： （4）

定义（） = ， = = 。对于系统（4），有

（5）

令

并带入（5），得。选取参数 = 1， = ， = 。令

，则有：

取，

则

令， = ，

则。

根据引理1，可知系统（4）是有限时间稳定的，

且

令（） = ，系统（4）在控制器 = = [1 + （1 + ） + ]的作用下，状态，可在有限时间[0，]内从非平衡点到达平衡点。将变量关系代入上式可以得到：

由（0）≠0， = - 在时间内≠0而使得 = 0， = 0，即 = 0， = 0。此时系统在控制器的作用下，

状态在[0，]时间内由（0）≠0，（0）≠0，（0）≠0到达， = 0， = 0，其中（）≠0，[0，]。当>时，对于（1），同样应用上面的方法。令，由引理1可得闭环系统（1）是有限时间稳定的，且停息时间为

。

令。当[， ]时，取

那么，在[0， ]时，闭环系统（1）在上述设计的切换控制器作用下是有限时间稳定的。

情形二：（0） = 0 。令 = ， = ， >0， >0。当>0时，有（） = ≠0，（） = ≠0。此时应用情形一所设计的切换控制器可得闭环系统（1）是有限时间稳定的。

2 结论

本文通过切换的控制器使得一类三维非完整链式系统的有限时间稳定。在应用本文中的控制器下能够令三维非完整链式系统的稳定时间更短。使得系统的解更快地达到平衡点。

参考文献

[1] Bhat，S.，Beernstein，D.（2000），“Finite-time Stability of Continuous Autonomous Systems”，SIAM Journal of Control and Optimization，38，751-766.

[2] 王轶卿，李胜，陈庆伟，侯保林.基于无扰切换的非完整系统有限时间镇定控制器，南京理工大学学报，2012（1）.