基于C环境下的Schim idt正交化方法实现

董晓萌,李 乐

（渭南师范学院 数学与信息科学学院，陕西 渭南714000）

用正交基的好处在于数值计算上，不用正交基计算不稳定，会随着计算过程逐步积累误差，可能会使得误差过大计算结果根本不可用，而正交基不会发生这种问题。由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论正交化过程。化便可得到V的一组标准正交基要得到这个结果很麻烦,如果有很多个向量计算量相当大，所以想得到一组单位正交的向量组花费时间多，计算容易出错，所以编写了正交化过程的C程序，该程序对矩阵进一步进行Schimidt正交化节省了时间，减少了工作量，且提高了效率。

1 Schim idt正交化原理

把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为 Schimidt（施密特）正交化过程[1]。

欧氏空间V中任一组线性无关的元素α1,α2,…,αs都可以通过施密特正交化过程化为两两正交的元素 β1,β2,…,βs，且 α1,α2,…,αs与 β1,β2,…,βs等价，施密特正交化过程如下[2]：

令 β1=α1

βs=进而单位

2 向量正交化的C语言实现

C语言实现如下[3]。

printf("请输入需正交化的向量组个数相当于矩阵的行数： ");

scanf("%d",&n);

3 实例分析

例：把 α1=（0,1，-1,1,1）α2=（-1,2，-1,1,2），α3=（-1,1,1,0，-1）,α4=（-1,1,0,1,2）,α5=（1,2,0,0,3）,α6=（-2,1,0,0,0），α7=（-1,0,1,2,0），α8=（0，-1，2,1,1），α9=（2，-1,1，-1,-1），α10=（2,2，-1，-1,1)化为标准正交向量组[4]。

在 C 程序中，输入向量 α1，α2,α3,α4，α5，α6，α7，α8，α9，α10原始数据值，再运行相关程序，就可直接得到施密特Schimidt正交化的向量 γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6,γ7,γ8,γ9,γ10，并且和笔算进行检验通过计算机计算可得到相关结果如图1所示。

图1 标准化正交向量组结果Fig.1 The result of standardized orthogonal vectors

4 结论

文中通过比较两种正交化的计算方法人工计算和语言执行[5-6]。很明显,使用语言编写其函数包，便于应用工作者使用，丰富了语言的知识和扩充了语言中的函数包，计算简单，简化了计算量，提高了工作效率。计算不容易出错，并且计算精度调至计算稳定，随着计算过程逐步积累,误差[7-8]较小，是可用的计算结果。

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