基于双延迟变形系统的图像加密方法

蒲 鑫，王灵敏，范晓丹，白 烨，姜 威，郭丹伟

(1.吉林大学电子科学与工程学院，长春 130012;2.长春理工大学光电信息学院，长春 130012)

0 引言

近年来，基于混沌的图像加密方法已有很多研究［1-4］，同时图像解密方法也日新月异，面对被破解的图像加密技术，需要构造拓扑结构更为复杂的系统，用以抵抗攻击，于是构造复杂混沌信号的方法逐渐引起人们的兴趣。周欣等［5］通过对三维二次广义洛伦兹系统的改造，提出了网格多翅膀混沌系统;黄露等［6］在三阶蔡氏电路的基础上，提出了两个异结构五阶蔡氏电路。这些结构都属于复杂混沌信号，但系统的最大李雅普诺夫指数较小，伪随机性较差，应用在图像加密方面不太合适。笔者提出了一种基于单环掺铒光纤激光器双延迟变形系统的图像加密方法，此变形系统通过增加延迟项增加系统的维数，由二维系统变为高维系统，比一般的混沌系统更为复杂，并且其最大李雅普诺夫指数更大，伪随机性更好。系统的伪随机性越好，其用于加密系统时被破解的可能性越小［7］。这种方法能有效地抵抗攻击，是基于超混沌的图像加密方法的新选择，笔者将这种超混沌映射产生的序列应用于图像加密，经证明产生了较好的加密效果。

1 单环掺铒光纤激光器双延迟变形系统超混沌序列的产生

Fan等［8］在2007年对单环掺铒光纤激光器进行了研究，证明了带光延迟反馈回路的单环掺铒光纤激光器在一定条件下可以产生混沌，可表示为

其中E表示输出激光场强，˙E(τ)表示E对τ的微分，D表示反转粒子数，D·(τ)表示D对τ的微分，k表示损耗系数，g表示增益系数，Ip表示泵浦光强，ε表示延迟反馈光路的延迟率，τ0表示延迟的归一化时间。对方程(1)进行修改，将D也附加一个延迟项，其延迟时间和E的延迟时间相同，变为双延迟系统，表示为

在方程(2)中，所有参数表示的含义与方程(1)相同，延迟的时间τ0与E的延迟时间也相同。文献［9］详细推导了改进的双延迟系统从倍周期分岔到混沌的过程，这里不再赘述。根据文献［9］给出的系统初值:k=1 000，g=4 800，Ip=5，τ0=0.01，D(0)=0.2，E(0)=0.2，ε=48，得到系统的吸引子图，如图1所示。

图1 改进系统的吸引子图Fig.1 Diagram of attractors of the improved system

从图1中可见，系统呈现混沌状态，但究竟是工作在混沌还是超混沌区域，还需要计算系统的李雅普诺夫指数进行判断。当系统增加了延迟项，就由一个二维系统变为高维系统，而只要此高维系统有两个或两个以上的李雅普诺夫指数大于零，就可以断定系统工作在超混沌区域。采用文献［10］的方法，计算此时系统的前两个Lyapunov指数L1=11.038，L2=1.513，由此可见系统工作在超混沌区域。比较典型的超混沌系统，网格多翅膀混沌系统［1］在参数a=1时，最大李氏指数为0.16;Rosslor超混沌系统［11］在参数k=0.02时，最大李氏指数为0.075;新的Lorenz超混沌系统［12］在参数r=-6时，最大李氏指数为1;LÜ系统添加状态反馈控制器产生新的超混沌系统［13］在参数k=5时，最大李氏指数为1.5;三维的Rabinovich混沌系统扩展成四维从而产生新的超混沌系统［14］，在参数k=0时，最大李氏指数为0.45。可见双延迟变形系统的最大李氏指数为11.038，远远超过典型的超混沌系统，由此可见，此系统的伪随机性最好。

根据方程(2)，产生两个序列E(t)和D(t)，图2为两个序列的直方图。从图2中可以看到，两个序列并不服从均匀分布。根据Golomb对伪随机序列提出的3个公设可知，伪随机序列应具备:自相关为delta函数，均值为零，互相关为零。

图2 修改前序列直方图Fig.2 The histogram of sequences before modification

笔者对原序列进行修改，使之符合均匀分布的统计特性。根据文献［15］可知，调整洛伦兹序列的方法为

其中X为输入序列，round(·)为取整函数。

将改进系统的序列应用此方法，得到如图3所示的序列直方图。从图3中可以看到，两个序列都满足均匀分布。求得的两个序列的自相关和互相关特性，由图4可以看到，自相关函数为delta函数，互相关为零，均满足要求。此时E序列的均值为-0.004 049 8，D序列的均值为0.010 959，与均值为零的要求非常接近。

图3 修改后序列直方图Fig.3 The histogram of sequences after modification

图4 序列的统计特性Fig.4 Statistical property of sequence

2 加解密算法

图像加密的过程分为:置乱和扩散。置乱的作用是改变原图像像素的位置，扩散的作用是改变图像像素的灰度值，以改变原图像统计结构，使图像分析者不能从统计结构入手解密图像。在笔者方法中，置乱过程用Arnold映射［16］，扩散过程使用改进的单环掺铒激光器双超混沌序列。

2.1 加密算法

由于对图像进行加密操作要求序列具有很好的伪随机特性，在以往方法中，许多典型的混沌序列因为伪随机特性较差，需要添加其他的序列进行补充［17］，或将许多混沌系统混合在一起使用［18，19］，还有一些方法是增加置乱与扩散步骤，以增加被破解的难度［20］。笔者的基于单环掺铒光纤激光器方法所产生的超混沌序列具有极强的伪随机特性，所以使加密工作变得非常简化，既不用添加其他的伪随机序列作为补充，也不用将几个混沌序列联合在一起使用，直接使用双延迟方法所产生的混沌序列对置乱后的图像进行扩散，即可达到预期的效果。加密步骤如下。

1)输入原始图像，并显示原始图像的直方图(见图5)。

图5 原图和统计直方图Fig.5 Original image and its histogram

2)用Arnold映射对原图像进行置乱操作，并求得置乱后图像的直方图(见图6)。从图6可以看到，置乱后的图像并没有改变其统计结构。

图6 置乱后图像和统计直方图Fig.6 Scrambled image and its histogram

3)通过改进的单环掺铒光纤激光器混沌化产生两个序列E(t)和D(t)(t=0，1，2，…，n)。将这两个序列通过式(3)修改成E'(t)和D'(t)(t=0，1，2，…，n)。E'(t)和D'(t)这两个序列就是符合Golomb 3个公设的序列。

4)将E'(t)序列与置乱后图像做异或操作，得到一幅加密图像e，再将D'(t)与加密图像e做异或操作，得到图像ee(见图7)。图7a为ee图像，图7b为ee图像的直方图。从图7中可以看出，图像的统计结构已经改变，达到了加密效果。

图7 扩散后图像和统计直方图Fig.7 Diffused image and its histogram

从操作步骤可以看出，图像加密过程非常简单，程序的编写也更加容易，没有使用混合序列，节省计算空间，减少计算时间。

解密算法为加密算法的逆，在这里不再赘述。

2.2 算法安全性分析

笔者采用的超混沌系统为二维系统，将初值E(0)和D(0)作为密钥，当计算精度为10-16时，产生的密钥空间为1032，足以抵御穷举攻击。对密钥稍加改动，并对图像解密，也未产生正确的解密效果，实验证明加密方案对初值敏感，安全性较好。

3 结语

笔者提出了一种基于单环掺铒光纤激光器双延迟变形系统超混沌序列的图像加密方法。该方法的伪随机性较好，不用联合使用其他混沌序列，就能完成加密，从而简化了处理步骤和过程。经过对算法的安全性分析，证明该算法有较大的密钥空间，能抵御穷举攻击，并且对密钥敏感，其统计特征符合要求，加密算法简单可行，所用存储空间小，计算时间短，加密效果理想、可靠。

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