基于子阵划分的二维穿墙MIMO阵列设计

(国防科技大学电子科学与工程学院,湖南长沙410073)

0 引言

近些年来,伴随着新的需求以及新的概念的引入,雷达成像技术有了长足的发展。应对于城市反恐、巷战以及火灾、地震等灾难废墟中被掩埋受灾人员的搜救等需求[1-3],超宽带穿墙成像技术得到广泛研究。

目前,大部分研究主要针对于二维穿墙成像,利用宽带信号得到距离向分辨率,利用天线的空间展布得到方位向分辨率。然而,由于二维成像是对真实三维空间二维投影的结果,成像结果不可避免地会出现阴影效应以及空间模糊等现象。对于一些复杂场景来说,投影几乎意味着混叠不可辨,因此,通过天线的二维空间展布获取目标场景的三维信息就成为了迫切需要。

为了解决穿墙三维成像中合成孔径成像时的实时性问题以及实孔径成像时大量实际阵元带来高成本问题,MIMO技术[4-5]通过虚拟阵元技术,在保持实际阵元数目不变的情况下可获得更大的成像孔径,得到广泛应用。考虑到二维平面阵列中,收发阵元位置的可选择性过大,若是直接设计分析二维MIMO阵列,难度会较大,结果也可能并不尽人意。协同阵、虚拟阵等等效阵列[3,6-9]可将收发异置的MIMO阵列形式等效为收发同置形式,这种等效分析为MIMO阵列的分析设计提供了重要工具。

在文献[10]中Lockwood通过选择不同的收发阵元间距提出一种稀疏二维阵列设计框架,Smith在文献[11]中利用快速傅里叶变换方法得到几种远场典型二维阵列,Zhuge在文献[12]中利用分离孔径函数的方法将一维线阵的设计方法推广至二维均匀面阵。考虑到利用等效阵列分析MIMO阵列性能时,其等效条件仅在某一较小角度内是有效的,因此,利用等效阵列设计MIMO阵列时,希望所设计的MIMO阵列与等效阵列具有相同的视角,其收发阵列的尺寸尽可能小,从而保证近乎一致的成像几何。参考陆必应等人在文献[3]中给出的一维STVA阵列,本文在具体分析一维STVA阵列具有最短物理尺寸的原理上,提出基于子阵划分的去卷积方法,利用子阵划分后的部分信息衡量评价去卷积后得到多种MIMO阵列,从而选择出具有最小物理尺寸的MIMO阵列,并最终将这种方法推广至二维面阵情况,设计出适于穿墙三维成像的二维MIMO阵列,并利用仿真实验进行了验证。

1 协同阵与虚拟阵

协同阵的概念是由Kassam等人[7]提出,主要基于将双程收发异置天线对等效为单程单个等效阵元的思想,利用波束形成技术得到阵列波束方向图,从而表征原始阵列性能。考虑二维平面MIMO阵列,设该MIMO阵列包含M个发射阵元和N个接收阵元,各阵元均位于xz平面上,如图1所示。分别记第m个发射阵元的坐标位置为rt,m=(xt,m,0,zt,m),m=0,1,2,…,M-1,第n个接收阵元的坐标位置为rr,n=(xr,n,0,zr,n),n=0,1,2,…,N-1。则协同阵等效阵元的位置向量可由收发阵元位置向量的和向量来表示：

式中,i=(m+1)(n+1)-1,m=0,1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,N-1。

图1 二维平面MIMO阵列示意

假设发射阵元rt,m和接收阵元rr,n的加权系数分别为wt,m与wr,n,则协同阵等效阵元的加权系数可表示为

若多个协同阵等效阵元位置相同,则该位置处加权系数为多个加权系数之和。

对于窄带远场条件下,MIMO阵列波束方向图可通过阵列加权系数的傅里叶变换得到：

式中,θ,φ表示目标到阵列中心的入射高度角和方位角;k=2π/λ表示波数,λ表示波长。

将式(1)、(2)代入式(3)可得

式(4)中第一个和式为发射阵列的波束方向图,可记为Pt(θ,φ),第二个和式为接收阵列的波束方向图,可记为Pr(θ,φ),因此,对于窄带远场MIMO的波束方向图可表示为收发阵列波束方向图的乘积形式。

而对于宽带远场情况,由于信号持续时间较短,信号能量随时间变化起伏较大。因此,宽带信号下波束方向图为空间角度和时间的多维函数,可表示为

式中,k=2π/λ表示中心频率对应的波数;c表示光速;A(t)表示发射的宽带脉冲包络,在理想单频情况下,A(t)为一常量。

与协同阵稍有差别,虚拟阵[3,8-9]基于相位中心近似原理,将原始双程收发异置MIMO阵列等效为双程收发同置等效阵列,对于上文中给出的MIMO阵列,等效虚拟阵可表示为

式中,i=(m+1)(n+1)-1,m=0,1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,N-1。而虚拟阵的加权系数则与协同阵的加权系数一致,即wv,i=wc,i,i=0,1,2,…,MN-1。

对于收发同置的虚拟阵,由于发射与接收信号传播途径完全一致,因此,对于双程成像过程可等价为单程波束形成过程,此时,信号传播速度为实际传播速度的一半,因此宽带远场虚拟阵的波束方向图可表示为

式中,kv=2π/λ=4πfc/c表示中心频率对应的波数,fc为中心频率。

2 点扩展函数

前文中波束方向图是基于远场假设得到的,对于近场成像误差较大,而点扩展函数(PSF)为成像系统对理想点目标的响应,近远场都适用,因此对于穿墙成像一般选取点扩展函数的部分指标作为衡量阵列性能的标准。

仍考虑图1所示二维平面MIMO阵列,假设理想点目标位于坐标ro=(xo,yo,zo),发射宽带信号为步进频信号：

式中,f p=f0+pΔf,p=0,1,…,P-1为步进频率,Δf为频率间隔,P为步进频数。为计算简便,取所有频点信号幅值均为1,即S(f p)=1,p=0,1,2,…,P-1。在自由空间传播条件下,第m个发射阵元与第n个接收阵元关于第p个频点的双程格林函数可表示为

式中,k p=2πf p/c表示频点f p所对应的波数。因此,对于成像区域r=(x,y,z),该二维平面MIMO阵列的点扩展函数可以表示为

由式(10)可知,MIMO阵列的点扩展函数是关于目标位置r o、成像位置r为空变函数。

而对于等效虚拟阵,其点扩展函数可表示为

式中,rv,i为第i个虚拟阵元的位置,ro为目标位置,r为成像位置。

在评价成像质量时,一般取PSF主瓣的3 dB宽度为分辨率,并以PSF的峰值旁瓣比(PSLR)以及积分旁瓣比(ISLR)表征对弱目标的辨别能力,可分别定义如下：

式中,Ps,max为最高旁瓣功率,Pmain为主瓣功率,Ptotal为总功率。

3 二维MIMO阵列设计

由文献[5]可知,根据分辨率以及旁瓣要求可设计出一维均匀等效线阵,且在等效阵列一定的情况,一维STVA阵列具有最小物理尺寸的特性,这种特性对于便携性要求以及受限环境下的成像具有巨大优势。

仍考虑文献[5]中的等效虚拟阵,比较图2中待选的五种MIMO线阵可以发现,当接收阵列尺寸较大时,发射阵列尺寸会较小,符合等效阵列不变的原则。

由于等效阵列可以看作MIMO收发阵列之间的空间卷积,即

式中,De(r)为等效阵元的分布函数;Dt(r),Dr(r)分别为发射阵元和接收阵元的分布函数;“∗”表示空间卷积运算。由卷积的性质可知,当发射阵元确定时,等效阵列是由多个发射阵元处接收阵列的副本组成。因此,在部分情况下,由等效阵列去卷积得到收发阵列的过程,可以简化为将等效阵列划分为多个相同结构子阵的过程。对于同一等效阵列,不同的子阵划分形式会导致去卷积得到不同的MIMO阵列,如图2所示等效线阵,确定发射阵元个数为2时,该线阵具有多种不同的子阵划分形式,从而得到不同的收发结构MIMO阵列形式。

图2 多个具有相同等效虚拟阵的线性MIMO阵列

为了考察不同子阵划分形式对最终MIMO阵列物理尺寸的影响,下面引入综合尺寸的概念,其可定义如下：

式中,Le表示最终MIMO阵列的综合尺寸;Lr,Lt分别表示等效阵列去卷积得到的收发阵列的物理尺寸。结合等效阵列的定义以及卷积的性质可知：

式中,Lr0表示通过子阵划分得到的接收阵列的副本的尺寸,da表示各子阵中心之间的距离,Nt表示发射阵元数目。将式(15)代入式(14)中,可得

对于图2中所示5种不同子阵划分,其综合尺寸如表1所示。

表1 图2中5种子阵划分的综合尺寸 (单位：等效阵元间距)

由表1可知,STVA阵列(阵列2)所对应子阵划分其综合尺寸最小,因此STVA阵列具有最小物理尺寸。

将一维STVA阵列的原理推广至二维面阵情况,考虑等效阵列为二维均匀方阵,假设该等效二维均匀面阵包含N×N的等效阵元,阵元间距分别为d x,d z,其分布函数可表示为

等效阵列的中心位置为

假设发射阵元数为T,T为二维等效方阵行数或列数N的一个因数,则可确定接收阵元数为R=N×N/T,对R进行因式分解,设R可分解为N R组因式乘积,记其中第a组因式分解为R=R ax×R az,若R ax和R az均为N的非自身因数,则再对R ax,R az分别进行因式分解,设其分别可分解为N ax,N az组因式乘积,分别记其中第p,q组因式分解为R ax=R apr×R aps,R az=R aqr×R aqs;若R ax或R az等于N,则记N ax或N az为1;若R ax或R az不为N的因数,则记N ax或N az为0,因此,整个等效阵列可分解为N E种不同子阵划分形式,N E满足下式：

取N E中任意一子阵划分形式,得到一种子阵结构,即接收阵列的副本可表示如下：

该接收阵列副本的中心位置可表示为

因此,接收阵列的分布函数可表示为

根据式(17)、(22)以及式(6)给出的等效虚拟阵元的位置关系可得,发射阵列的分布函数为

将式(17)、(22)、(23)代入式(13)中,式(13)成立,因此,式(22)、(23)中的收发阵列位置满足等效阵列设计要求。

与一维线阵稍有差别,二维面阵需要同时考虑方位向和高度向的物理尺寸,因此,引入适用于二维面阵的综合尺寸概念,可表示为

式中,“∪”表示取并集覆盖面积;Sr0表示子阵尺寸;Ntx,Ntz表示沿x,z方向的子阵个数;dtx,dtz分别表示沿x,z方向子阵之间的间距。

由切片投影原理[13]可知,二维面阵在某个方向的性能是由该阵列在此方向的阵元投影决定的,因此当仅关心方位向和高度向两个基本方向阵列性能时,可先分别设计满足方位向、高度向的性能要求的一维均匀线阵,再将两个基本线阵组合成二维均匀面阵。

因此,整个二维MIMO阵列的设计过程可遵循以下几个步骤：

(1)根据阵列性能要求设计方位向、高度向一维均匀线阵[3,6],分别得到

(2)将两个一维线阵组合为二维均匀面阵,如式(17)所示;

(3)对于给定发射阵元数目,按照式(19)划分二维均匀面阵,得到接收阵列副本如式(20)所示,根据式(24)选取最小综合尺寸对应的子阵划分形式以及接收阵列副本;

(4)根据式(22)从接收阵列副本确定接收阵元位置;

(5)根据卷积特性,由等效阵列位置以及接收阵列位置确定发射阵元位置如式(23)所示。

4 设计实例及仿真结果

阵列要求：设计UWB二维MIMO阵列,要求该阵列在距离5 m处,天线中心对应处方位向、高度向可达到0.3m分辨率,旁瓣水平低于-25 dB,发射阵元数为18,整个阵列物理尺寸尽可能小。

为适于UWB成像要求,采用步进频信号体制,中心频率为1 GHz,带宽为1 GHz,频率步进为4 MHz,按照前文中所述设计步骤,结合文献[6]可知,一维均匀线阵孔径长度L以及阵元数目N分别满足下式：

通过式(27)、(28)可得到,L=2.28 m,N=18,因此经一维线阵组合成的二维均匀面阵为一18×18(2.28 m×2.28 m)的均匀方阵,阵元间距d=0.1341 m,由于发射阵元数为18,由式(19)可知,该方阵可按照图3所示15种方式划分为18个相同结构的子阵。

图3 二维面阵15种18个阵元的子阵结构

根据式(24),可以计算得到这五种子阵结构的综合尺寸如表2所示。

表2 图3中15种子阵划分的综合尺寸 (单位：等效阵元间距的平方)

由表2可知,阵列4子阵结构对应的综合尺寸最小,相应的MIMO阵列物理尺寸最小,按照相应步骤可得到MIMO收发阵列形式如图4所示。

图4 等效二维均匀面阵和MIMO收发阵列

利用仿真软件对所设计二维等效均匀面阵以及MIMO阵列性能进行仿真验证,其PSF如图5所示。通过对比可以发现,二维等效均匀面阵与MIMO阵列性能均满足设计要求,且两者PSF具有较好的一致性,从而验证了利用等效阵列设计二维MIMO阵列的正确性以及利用划分子阵结构来去卷积得到MIMO阵列的有效性。

为验证所设计MIMO阵列在穿墙三维成像中应用,利用仿真软件对穿墙三维成像进行仿真实验,假设MIMO阵列距墙3 m,墙体厚度为0.2 m,介电常数为4.2,在墙后2 m处沿高度向设置两个点目标,目标间距为0.4 m,成像场景示意以及成像结果如图6所示。通过仿真实验可以发现,示例中所设计的MIMO在穿墙三维成像方面具有较优性能。

5 结束语

本文利用等效阵列的概念来分析设计MIMO阵列,分析了一维STVA阵列具有最短物理尺寸的原理,并将其原理推广至二维面阵,提出利用子阵划分的方法解决等效阵列到MIMO阵列的去卷积问题,最后举例设计了适于要求UWB-MIMO阵列,并将其用于穿墙三维成像仿真实验,取得较好的成像结果。

图5 等效阵列与MIMO阵列方位向、高度向PSF对比图

图6 三维穿墙成像场景示意及成像结果

[1]AHMAD F,AMIN M G.Through-the-Wall Human Motion Indication Using Sparsity-Driven Change Detection[J].IEEE Trans on Geoscience and Remote Sensing,2013,51(2)：881-890.

[2]赵中兴,孔令讲,贾勇,等.一种有效的穿墙雷达成像杂波抑制算法[J].雷达科学与技术,2014,12(1)：51-57.

[3]LU Biying,ZHAO Yang,SUN Xin,et al.Design and Analysis of Ultra-Wideband Split Transmit Virtual Aperture Array for Trough-the-Wall Imaging[J].International Journal of Antennas and Propagation,2013,2013(1)：1-9.

[4]SPRENG T,PRECHTEL U,SCHONLINNER B,et al.UWB Near-Field MIMO Radar：Calibration,Measurements and Image Reconstruction[C]//2013 European Radar Conference,Nuremberg：IEEE,2013：33-36.

[5]ZHUGE X,YAROVOY A G.Three-Dimensional Near-Field MIMO Array Imaging Using Range Migration Techniques[J].IEEE Trans Image Processing,2012,21(6)：3026-3033.

[6]LI Z,JIN T,CHEN B,et al.A Coarray Based MIMO Array Design Method for UWB Imaging[C]//IET International Conference on Radar Conference,Glasgow,UK：IET,2012：1-5.

[7]AHMAD F,KASSAM S A.Coarray Analysis of the Wide-Band Point Spread Function for Active Array Imaging[J].Signal Processing,2001,81(1)：99-115.

[8]WANG W Q.Virtual Antenna Array Analysis for MIMO Synthetic Aperture Radars[J].International Journal of Antennas and Propagation,2012,2012(1)：1-10.

[9]BRADLEY C,COLLINS P,FALCONER D,et al.Evaluation of a Near-Field Monostatic-to-Bistatic Equivalence Theorem[J].IEEE Trans on Geoscience and Remote Sensing,2008,46(2)：449-457.

[10]LOCKWOOD G R,FOSTER F S.Optimizing the Radiation Pattern of Sparse Periodic Two-Dimensional Arrays[J].IEEE Trans on Ultrasonics,Ferroelectrics and Frequency Control,1996,43(1)：15-19.

[11]SMITH S W,PAVY H G,VAN RAMM O T.High-Speed Ultrasound Volumetric Imaging System-Part I：Transducer Design and Beam Steering[J].IEEE Trans on Ultrasonics,Ferroelectrics and Frequency Control,1991,38(2)：100-108.

[12]ZHUGE X,YAROVOY A G.Near-Field Ultra-Wideband Imaging with Two-Dimensional Sparse MIMO Array[C]//2010 Proceedings of the Fourth European Conference on Antennas and Propagation,Barcelona,Spain：IEEE,2010：1-4.

[13]STEINBERG B D,SUBBARAM H M.Microwave Imaging Technique[M].New York：Wiley,1991.