基于变增益LQR的三维吊车防摆控制

张永立，苗志宏，姚青梅，刘丽英

（1.天津职业技术师范大学自动化学院，天津 300222；2.天津市信息传感与智能控制重点实验室，天津 300222；3.中国人民武装警察部队学院，河北廊坊 065000）

参数时变的线性、非线性结构动力学问题一直是科学研究的前沿问题，吊车系统是一种典型的非线性、强耦合，欠驱动系统，是动力学、数学和控制理论三大基础学科的有机结合体，在现代工业发展过程中起到了举足轻重的作用。作为一种应用广泛的起重、吊装、运输机械设备，吊车种类繁多，包括各种起重机械，如工业用的天车、电动葫芦、龙门吊车，建筑业用的塔吊以及龙门式机械手等等。吊车系统存在变负荷、变绳长等时变参数，其负载的防摆问题也一直是人们关注的关键控制问题，长期以来得到了广泛的重视并成为非线性控制领域的研究热点之一。解决好吊车的防摆等关键控制问题，对当前的工业发展和保证安全生产具有重要的意义。

针对特色作物病虫治理示范和稻水象甲疫情防控，集中技术力量和物资，通过建设防控技术核心示范点，并在核心示范区设立低毒主推农药防治展示，强化技术培训，提高防治技术的普及率、到位率、入户率。在病虫防治的重要适期，各地通过电视专题节目、培训会、现场会、宣传资料、标语、墙报、宣传车等各种有效形式，做好对基层农技干部、农民技术员、广大农户的技术培训、宣传和防治动员工作。

对于固定绳长的情况，吊车的数学模型为非线性时不变系统，这种情况的抗摆控制比较容易，相关的控制方法也有很多。文献［1］采用输入整形（Input Shaping）的控制方法来进行防摆控制；文献［2］讨论了模糊滑模控制在吊车防摆控制中的应用。此外，涉及到的控制方法还有反馈控制［3-4］，增益调度［5］，模糊控制［6］等等。马博军等提出一种基于能量分析的控制方法和一种基于台车运动规划的自适应控制策略，并对紧急情况下的制动控制器设计进行了深入研究［7-9］。焦辰辉采用基于变论域自适应模糊控制理论针对当前研究中存在的问题，结合模糊滑模控制与变论域自适应模糊控制理论设计了一种新的自适应模糊滑模控制器［10］，变论域自适应模糊控制的引入使得控制器结构简单、起重机的定位与防摆更加快速、准确且无超调，保证了控制系统对系统参数变化和外界干扰的强鲁棒性，并在仿真和实物实验上得到了验证。近来，人们对三维吊车的研究中新技术与高级算法的融合非常明显。比如文献［11］研究了基于传感空间三维定位技术的塔吊防撞监控系统的设计与实现；文献［12］提出了一种基于视觉的反馈控制方法；文献［13］提出了一种虚拟仿真器来训练塔吊司机，等等。此外，文献［14］中介绍控制器设计方法与文献［15］提出的仿真方法对三维吊车的控制器设计与仿真也具有一定的帮助和指导意义。

实际上，吊车系统本质上是一个强非线性的系统，固定绳长只是人们为了简化算法而采取的一种假设，很多情况要求吊车在绳长快速变化的情况下完成各种起重、运输动作。当绳长快速变化时，绳长和摆角具有较强的耦合性，这种情况下用假设绳长不变的算法来进行防摆控制效果不佳。目前，对将绳长作为可变参数的吊车防摆控制方法的讨论很少。吊车系统在运动过程中由于负载、绳长、状态等参数的变化，会引起模型参数的实时变化，这对防摆控制造成了困难。本文针对这一难题，首先，采用坐标变换的方法建立了三维吊车的数学模型［16］。其次，采用分离变量的方法将吊车系统分成防摆控制系统和绳长控制系统。其中防摆控制系统为平衡控制，绳长控制系统可以根据实际情况来设定绳长、绳长变化速度、绳长变化加速度的变化规律。因为绳长、绳长变化速度、绳长变化加速度是随时间变化的参数，因此可以将吊车防摆控制系统的数学模型简化成时变非线性系统，进一步将该系统在平衡点处进行线性化，就会得到三维吊车的时变线性系统；然后，根据这个时变线性模型，设计了变增益LQR控制器来进行防摆控制，该方法在倒立摆控制系统中得到成功应用［17-20］。变增益LQR控制的关键是实时计算线性系数矩阵，并求解代数黎卡提方程，进而得到实时变化的最优反馈增益。该系统的时变系数矩阵是由绳长的变化而引起的，因此，反馈增益也是随绳长的变化而变化，从而实现了变绳长防摆控制。仿真实验结果证明：变增益LQR控制方法具有较强的自适应性，当绳长快速缩短（提升负载）时防摆效果尤其明显，有效地提高了控制性能。

1 动力学建模

1.1 工程中常用的欧拉角定义方法

如图1所示，固定坐标系为oxyz，以ox为固定轴将oyz旋转ψ角生成固连于刚体的动坐标系ox′y′z′，然后再以oy′为固定轴将ox′z′旋转θ角生成固连于刚体的动坐标系ox″y″z″，最后以o-z″为固定轴将ox″y″旋转φ角生成固连于刚体的动坐标系ox‴y‴z‴，这里角ψ称为进动角，角θ称为章动角，角φ称为自转角。这种欧拉角的取法易于理解，在结构上便于实现，因此在工程上经常如此来定义空间角度。此外，角速度是矢量，角速度的方向是根据右手螺旋定则确定的，即：从上往下看旋转面，将右手4指围成圈，拇指伸直，4指方向与旋转方向相同，拇指方向即为角速度方向，也就是顺时针旋转，角速度向下；逆时针旋转，角速度向上。

1.2 三维吊车建模

绿色、健康生产理念已深入人心，为满足人们的健康饮食要求，需要针对常见蔬菜病虫害问题，加强监管，采取科学的防治措施，减少病虫害的影响，以为社会供应更加健康、营养的蔬菜。

图1 一种欧拉角定义示意图Fig.1 Schematic diagram for a kind of Euler angles

图2 三维吊车系统的结构示意图Fig.2 Simplified structure of the three dimensions crane

根据坐标变换原理，将台车、吊绳和负载所在的固连坐标系o′x′y′z′变换到固定坐标系ox0y0z0。设台车在固定坐标系ox0y0z0中的坐标为 （x，y，0），负载质心在固连坐标系o′x′y′z′中的坐标为（0，0，-l），那么，负载质心在固定坐标系ox0y0z0中的坐标（x c，y c，zc）为

即：

其中x为n维状态向量，u为m维无约束控制输入，设该系统的平衡点为x=0，u=0。

其次，设oxy平面为零势能面，系统的总势能为V=-mglcosψcosθ。

在平衡点ψ=0，θ=0作近似，sinψ≈ψ，sinθ≈θ，cosψ≈1，cosθ≈1，可以得到

1.3 三维吊车的分离变量模型

其中，

式（3）-式（7）为三维吊车的数学模型，其中式（3）和式（5）分别为吊车x，y方向上的输入动态方程，式（4）和式（6）为摆角ψ，θ的动态方程，式（7）为绳长动态方程。如果将绳长、绳长变化速度、绳长变化加速度作为设定参数，可以由绳长控制系统来设定，那么，根据式（3）-式（6），取q=［x，ψ，y，θ］T就可以得到吊车的防摆控制系统的动态方程

如图2所示，三维吊车主要由桥架、台车、吊绳和负载组成。台车可以在oxy平面上自由平移。负载通过柔性吊绳与台车相连。建立如图2所示的坐标系，l表示吊绳长度，即从起摆动点到负载质心的距离，由于工程实际中负载的质量远远大于吊绳的质量，因此，这里不考虑吊绳的质量，并假设吊绳没有柔性弯曲，负载没有自转；m表示负载的质量；M x，M y分别表示x，y方向上运动的等效质量。由于台车沿x方向运动时，台车与桥架一起运动，所以M x主要是台车与桥架的质量和，而M y主要为台车的质量；ψ表示吊绳在oxz平面上的投影与z轴负方向所成的角，θ表示吊绳与oxz平面的夹角；若在如图2所示的右手坐标系中，约定由y轴正端看，顺时针旋转的进动角为正，由x轴正端看，逆时针旋转的章动角（即进动角）为正，那么，此三维吊车系统的进动角为ψ，章动角为-θ，这里自旋角为0；f x，f y和f l分别表示沿x，y和l方向上的拖动力；这里忽略轨道摩擦力和空气阻力。（x c，yc，zc）表示负载质心坐标。

基准低碳混凝土配比为m(水泥)∶m(矿粉)∶m(粉煤灰)∶m(砂)∶m(石子)=165∶149∶16∶760∶1120，用水量以达到混凝土初始坍落度为(80±10)mm时为准.其中煅烧高岭土粉以基准样矿粉总质量的10%，20%，30%和40%取代矿粉，详见表5.

这里Sψ，Cψ，Sθ，Cθ分别表示sinψ，cosψ，sinθ，cosθ。

根据线性系统理论，如果（A（t），B（t））可控，那么系统（12）的平衡状态是渐近稳定的。通常针对线性定常系统，采用LQR控制器，即线性二次调节器可以达到较好的控制效果。但是如果控制对象为时变系统，如果只用某平衡点处的线性化模型来构建LQR控制器，势必会产生很大的误差，因此本文设计了一种变增益LQR控制来实现对时变系统的控制。众所周知，计算机控制过程是一种采样、运算、控制输出的过程，整个控制过程可以看成是若干个控制周期（或者称为采样周期）组成的，在每个采样周期内都会得到一个系数矩阵对（A（ti），B（ti）），由此，来逐点设计LQR控制器，就会得到一个时变的反馈增益矩阵

由此可得Lagrange数L=T-V，在广义坐标x，y，l上所受的外力分别为f x，f y，f l。在广义坐标ψ，θ上所受的外力为零。得到

传统的家校共育一般有以下几种方式：家长会、家访、家长到访。这些家校共育形式虽然有利于学校与家长的沟通，但是也存在着一些弊端。比如，家长会针对的是普遍的问题，家访虽然针对的是学生的个体问题，但是实施起来难度较大，因为学生居住分散，教师时间有限，精力有限，无法满足所有家长的需求。此外，家长忙于工作，无法随时来校交流，无法及时了解学生在校情况，无法开展具有针对性的家庭教育。而在互联网背景下，家校共育在形式与内容上都有了一定的改进。

其中，

式（11）就是三维吊车系统的分离变量模型，这里没有考虑负载质量的时变性，如果忽略绳长的变化，那么式（11）就是典型的线性定常系统。

楚心晴看这情形，极像当今朝堂形势，心中不由得想起皇后的话来：“妹子，那大将军若是还有忠君爱国之心，你就拔了他们君臣之间的那根刺。若是没有，那姐姐求你，为百姓的太平日子，拔了危害朝堂的那根刺！”

2 变增益LQR控制方法

考虑系统

保险管理的三个阶段是一个前后联系紧密，环环相扣的系统。投保策划决定了出险后事件的定责情况、理赔范围、免赔金额等。保险合同的履行是进行保险理赔的前提。保险理赔阶段将损失定量化，以获得赔付达到转移损失的目的。但是目前很多业主和承包商并没有将三个阶段很好的结合起来，投保时风险分析不全面，合同履行时不够重视，理赔时因承保范围不足，部分或全部损失不能进行理赔等，最终导致理赔效果不佳，经济损失弥补未能达到最大化。

利用Lagrange方法建模，首先，根据柯尼西定理计算系统的总动能，即台车与负载的动能之和

站在2018年的岁尾回望一路走来的历程，我相信，自豪感会充斥在每一个人的心中。而面对未来，我们的任务将更加艰巨，工业互联网、人工智能和智慧工厂等全新的词汇出现在大众视野中，学习创新是必不可少的，这一代人肩负着由大到强的光荣使命，站在新的转折点上，很多企业都积极进行技术改革创新，抓住时代机遇。

其中R为正定对称矩阵，P（ti）为Riccati方程（14）的解

因为该方法相当于在每一个控制操作点上将时变系统定常化，然后采用线性二次调节器（LQR）理论进行控制器设计，所以称之为变增益LQR控制器。

变增益LQR控制器最终归结为在线求解代数黎卡提方程（14），这样就可以求得随采样时间变化的反馈增益矩阵K，实现逐采样点变增益反馈控制。由于K随系统状态的变化而变化，所以该控制器的自适应性和鲁棒性有了明显提高。广泛用于求解代数黎卡提方程的数值算法有舒尔方法和Kleinman迭代法等，大规模实时计算和数据存储是将这些算法应用于实时变增益控制的主要障碍。鉴于此，本文设计了一个快速Schur算法，用C语言代码编制程序，并在实物实验平台中应用成功。

3 仿真实验

选取吊车实验参数M x=6.5 kg，Mv=2.5 kg，m=1 kg，l∈［0.2 m，10.2 m］，线性二次调节器的权矩阵为Q=diag［1，10，1，10，0，0，0，0］，R=diag［0.05，0.05］。根据线性系统可控性判据，容易验证变绳长系统（11）在绳长l∈［0.2 m，10.2 m］内变化时，系统是可控的。因此，针对负载快速提升和快速下降（即绳长快速收缩和快速伸长）的情况，本文采用变增益LQR控制器做了仿真实验，并和固定绳长的LQR控制器做了对比。本文在提升和下降实验中，固定绳长的LQR控制器的绳长参数为

假设负载从静止状态迅速提升到一定高度，并移动到指定位置。在提升过程实验中，假设吊车的初始状态为=0 rad，吊车的最终状态为x d=0，=0 rad，为了研究绳长变化时的防摆特性，按照梯形模式来设计绳长变化的加速度，这里假设绳长的变化规律如下：

仿真时间为30 s，仿真结果如图3所示。从仿真结果可以看出，当吊车在快速提升重物时变增益LQR控制器的防摆效果明显提高，本文重点讨论变增益在时变线性系统中的应用。通过在吊车系统中仿真实验和仿真结果发现变增益LQR控制器是可行的，且有一定的实用性。在吊车系统中，还可以考虑其他的可变参数（如负载质量也是可变的）来进行变增益LQR控制器的设计，这样会使该控制器的自适应性进一步提高。

产品经理在管理产品过程中都会用到一个工具——产品生命周期，传统商品的成长轨迹遵循导入期、成长期、成熟期、衰退期而发展，但爆品的成长是非线性的、爆发式的增长，导入期之后出现显著拐点效应，从而实现超常规增长。这就需要爆品必须有足够当量的“TNT”、足够大的势能！

图3 负载提升仿真结果Fig.3 Load lifting simulation results

4 结 论

本文建立了三维吊车的动力学模型，并采用变量分离的方法，将三维吊车的模型转化为以绳长为变参数的时变线性化模型，进而采用变增益LQR控制方法设计防摆控制器，并进行了仿真实验。仿真结果证明，变增益LQR控制方法能有效地实现变绳长三维吊车系统的防摆控制，控制性能较以固定绳长吊车系统模型而设计的LQR控制器明显提高。然而，吊车系统的防摆控制还受其他因素的影响，比如负载的质量、外界风力的干扰等等，因此，针对不同系统参数，研究变增益LQR控制方法在吊车系统防摆控制中具有一定的工程应用前景。此外，针对工业过程中类似的多变量欠驱动非线性系统，构建具有普适性的变增益LQR控制器及其控制性能分析是一个有待继续研究的问题；以工业应用为主旨，研究变增益LQR控制方法在三维吊车系统中的工程实现也是进一步研究的内容之一。

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