裂项法的常见应用类型

苏立标

裂项相消法是数列求和中一种常用的方法，它能把一个庞大繁杂的求和式子变成简单易求的问题.下面我们就来谈谈裂项相消法的几个常见应用类型.

自然型

自然型是跟自然数有关的一类分式求和的问题，是裂项相消法涉及的最基本的类型，我们要加以熟练掌握.

常见的裂项形式有（n∈N*）：

=-；

=-，k≠0；

=-；

=-.

例1 正项数列{an}的前n项和Sn满足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn. 证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.

解析： （1） 由-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0得： [Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0.因为{an}是正项数列，所以Sn>0，所以Sn=n2+n，a1=S1=2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 又a1=2也符合an=2n，所以数列{an}的通项公式为an=2n.

（2） 由an=2n，bn=可得bn=.又-=，所以bn==-.

Tn=1-+-+-+…+-+-+-=1+--<1+=.

无理型

该类型的特征是分母为两个根式的和，且这两个根式的平方差为常数，通过分母有理化可以达到裂项的目的.

常见的裂项形式有（n∈N*）：

=（-）；

=（-），k≠0.

例2 数列{an}的通项公式为an=，n∈N*，设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析： bn===-，所以Sn=（-）+（-）+…+（-）+（-）=-=-1.

指数型

因为（a-1）an=an+1-an，所以裂项法在指数数列的求和运算中也可以得到应用.

常见的裂项形式有（n∈N*）：=-.

例3 已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=2an-n，n∈N*.

（1） 证明： 数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 记bn=，求数列{bn{的前n项和Tn.

解析： （1） 令n=1，得a1=2a1-1，a1=1.

由Sn=2an-n可知Sn+1=2an+1-（n+1），Sn+1-Sn=an+1=2an+1-（n+1）-2an+n，得an+1=2an+1.所以an+1+1=2an+1+1=2（an+1），=2.由此可得数列{an+1}是公比q=2、首项为a1+1=2的等比数列，其通项公式为an+1=2·2n-1=2n. 所以数列{an}的通项公式是an=2n-1.

（2） 由（1）得bn====-，所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=-+-+…+-+-=-=1-.

三角函数型

三角函数两角和与差的公式，在经过构造后也能达到裂项的效果.

常见的裂项形式有： tan（α-β）（1+tanαtanβ）=tanα-tanβ.

例4 [2011年高考数学安徽卷（理科）第18题] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n∈N*.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=tanan·tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析： （1） 设这n+2个实数构成的等比数列为c1，c2，…，cn+1，cn+2，其中c1=1，cn+2=100. 因为Tn=c1·c2·…·cn+1·cn+2 （①），又Tn=cn+2·cn+1·…·c2·c1 （②），①×②得=（c1cn+2）·（c2cn+1）·…·（cn+1c2）·（cn+2c1）.

由c1，c2，…，cn+1，cn+2是等比数列可得c1·cn+2=c2·cn+1=c3·cn=…=ci·cn+3-i=100（1≤i≤n+2），所以=100n+2=（10n+2）2，Tn=10n+2，所以an=lgTn=lg10n+2=n+2，n∈N*.

（2） 由（1）可得bn=tanan·tanan+1=tan（n+2）·tan（n+3）.

因为tan（n+3）-tan（n+2）=tan1·[1+tan（n+2）·tan（n+3）]，所以tan（n+2）·tan（n+3）=-1.

所以Sn=tan（1+2）·tan（1+3）+tan（2+2）·tan（2+3）+…+tan（n+1）·tan（n+2）+tan（n+2）·tan（n+3）=-n=-n.

裂项相消法是数列求和中一种常用的方法，它能把一个庞大繁杂的求和式子变成简单易求的问题.下面我们就来谈谈裂项相消法的几个常见应用类型.

自然型

自然型是跟自然数有关的一类分式求和的问题，是裂项相消法涉及的最基本的类型，我们要加以熟练掌握.

常见的裂项形式有（n∈N*）：

=-；

=-，k≠0；

=-；

=-.

例1 正项数列{an}的前n项和Sn满足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn. 证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.

解析： （1） 由-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0得： [Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0.因为{an}是正项数列，所以Sn>0，所以Sn=n2+n，a1=S1=2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 又a1=2也符合an=2n，所以数列{an}的通项公式为an=2n.

（2） 由an=2n，bn=可得bn=.又-=，所以bn==-.

Tn=1-+-+-+…+-+-+-=1+--<1+=.

无理型

该类型的特征是分母为两个根式的和，且这两个根式的平方差为常数，通过分母有理化可以达到裂项的目的.

常见的裂项形式有（n∈N*）：

=（-）；

=（-），k≠0.

例2 数列{an}的通项公式为an=，n∈N*，设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析： bn===-，所以Sn=（-）+（-）+…+（-）+（-）=-=-1.

指数型

因为（a-1）an=an+1-an，所以裂项法在指数数列的求和运算中也可以得到应用.

常见的裂项形式有（n∈N*）：=-.

例3 已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=2an-n，n∈N*.

（1） 证明： 数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 记bn=，求数列{bn{的前n项和Tn.

解析： （1） 令n=1，得a1=2a1-1，a1=1.

由Sn=2an-n可知Sn+1=2an+1-（n+1），Sn+1-Sn=an+1=2an+1-（n+1）-2an+n，得an+1=2an+1.所以an+1+1=2an+1+1=2（an+1），=2.由此可得数列{an+1}是公比q=2、首项为a1+1=2的等比数列，其通项公式为an+1=2·2n-1=2n. 所以数列{an}的通项公式是an=2n-1.

（2） 由（1）得bn====-，所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=-+-+…+-+-=-=1-.

三角函数型

三角函数两角和与差的公式，在经过构造后也能达到裂项的效果.

常见的裂项形式有： tan（α-β）（1+tanαtanβ）=tanα-tanβ.

例4 [2011年高考数学安徽卷（理科）第18题] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n∈N*.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=tanan·tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析： （1） 设这n+2个实数构成的等比数列为c1，c2，…，cn+1，cn+2，其中c1=1，cn+2=100. 因为Tn=c1·c2·…·cn+1·cn+2 （①），又Tn=cn+2·cn+1·…·c2·c1 （②），①×②得=（c1cn+2）·（c2cn+1）·…·（cn+1c2）·（cn+2c1）.

由c1，c2，…，cn+1，cn+2是等比数列可得c1·cn+2=c2·cn+1=c3·cn=…=ci·cn+3-i=100（1≤i≤n+2），所以=100n+2=（10n+2）2，Tn=10n+2，所以an=lgTn=lg10n+2=n+2，n∈N*.

（2） 由（1）可得bn=tanan·tanan+1=tan（n+2）·tan（n+3）.

因为tan（n+3）-tan（n+2）=tan1·[1+tan（n+2）·tan（n+3）]，所以tan（n+2）·tan（n+3）=-1.

所以Sn=tan（1+2）·tan（1+3）+tan（2+2）·tan（2+3）+…+tan（n+1）·tan（n+2）+tan（n+2）·tan（n+3）=-n=-n.

裂项相消法是数列求和中一种常用的方法，它能把一个庞大繁杂的求和式子变成简单易求的问题.下面我们就来谈谈裂项相消法的几个常见应用类型.

自然型

自然型是跟自然数有关的一类分式求和的问题，是裂项相消法涉及的最基本的类型，我们要加以熟练掌握.

常见的裂项形式有（n∈N*）：

=-；

=-，k≠0；

=-；

=-.

例1 正项数列{an}的前n项和Sn满足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn. 证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.

解析： （1） 由-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0得： [Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0.因为{an}是正项数列，所以Sn>0，所以Sn=n2+n，a1=S1=2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 又a1=2也符合an=2n，所以数列{an}的通项公式为an=2n.

（2） 由an=2n，bn=可得bn=.又-=，所以bn==-.

Tn=1-+-+-+…+-+-+-=1+--<1+=.

无理型

该类型的特征是分母为两个根式的和，且这两个根式的平方差为常数，通过分母有理化可以达到裂项的目的.

常见的裂项形式有（n∈N*）：

=（-）；

=（-），k≠0.

例2 数列{an}的通项公式为an=，n∈N*，设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析： bn===-，所以Sn=（-）+（-）+…+（-）+（-）=-=-1.

指数型

因为（a-1）an=an+1-an，所以裂项法在指数数列的求和运算中也可以得到应用.

常见的裂项形式有（n∈N*）：=-.

例3 已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=2an-n，n∈N*.

（1） 证明： 数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 记bn=，求数列{bn{的前n项和Tn.

解析： （1） 令n=1，得a1=2a1-1，a1=1.

由Sn=2an-n可知Sn+1=2an+1-（n+1），Sn+1-Sn=an+1=2an+1-（n+1）-2an+n，得an+1=2an+1.所以an+1+1=2an+1+1=2（an+1），=2.由此可得数列{an+1}是公比q=2、首项为a1+1=2的等比数列，其通项公式为an+1=2·2n-1=2n. 所以数列{an}的通项公式是an=2n-1.

（2） 由（1）得bn====-，所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=-+-+…+-+-=-=1-.

三角函数型

三角函数两角和与差的公式，在经过构造后也能达到裂项的效果.

常见的裂项形式有： tan（α-β）（1+tanαtanβ）=tanα-tanβ.

例4 [2011年高考数学安徽卷（理科）第18题] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n∈N*.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=tanan·tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析： （1） 设这n+2个实数构成的等比数列为c1，c2，…，cn+1，cn+2，其中c1=1，cn+2=100. 因为Tn=c1·c2·…·cn+1·cn+2 （①），又Tn=cn+2·cn+1·…·c2·c1 （②），①×②得=（c1cn+2）·（c2cn+1）·…·（cn+1c2）·（cn+2c1）.

由c1，c2，…，cn+1，cn+2是等比数列可得c1·cn+2=c2·cn+1=c3·cn=…=ci·cn+3-i=100（1≤i≤n+2），所以=100n+2=（10n+2）2，Tn=10n+2，所以an=lgTn=lg10n+2=n+2，n∈N*.

（2） 由（1）可得bn=tanan·tanan+1=tan（n+2）·tan（n+3）.

因为tan（n+3）-tan（n+2）=tan1·[1+tan（n+2）·tan（n+3）]，所以tan（n+2）·tan（n+3）=-1.

所以Sn=tan（1+2）·tan（1+3）+tan（2+2）·tan（2+3）+…+tan（n+1）·tan（n+2）+tan（n+2）·tan（n+3）=-n=-n.