得韦达定理者得天下

王芳

从高中最核心的数学知识和方法出发，探讨数学智慧.

解析几何创始人勒奈·笛卡尔曾经在其传世名著《思想的指导法则》中提出了一个解决一切问题的方法：“把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程问题.”虽然这个大胆的设想最终未能实现，但是却在解析几何问题中有了重大的突破.

“率土之滨，莫非韦达”

直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的命题热点，而对于韦达定理运用的考查也主要集中在解析几何的这一部分知识.

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线.它们的方程都是关于x，y的二次方程，因为与一元二次方程一样具有“二次”的特征而备受关注.把直线方程Ax+By+C=0与圆锥曲线方程联立并消去其中一个“元”（例如y），可以得到关于另一个“元”（例如x）的二次方程，问题立即转化为与一元二次方程有关的问题.

我们知道，一元二次方程中有三个“式”：判别式、求根公式、根与系数的关系式. 根与系数的关系式即“韦达定理”，其内容是：

若一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有两个实根x1，x2，则这两个实根满足x1+x2=-，x1·x2=.判别式Δ=b2-4ac≥0是运用韦达定理的前提.把用求根公式解得的两根x1，2=分别相加与相乘即可得到韦达定理的结论.

虽然韦达定理脱胎于求根公式，但在结构上更简洁，能使解题更为便利.

例1 如图1所示，过点P0，-且斜率为k的动直线l交椭圆O：+y2=1于A，B两点，在y轴上是否存在定点T，使·=0？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

解析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），由l过点P0，-可设直线l的方程为y=kx-.联立x2+2y2=2，y=kx-，消去y得：9（2k2+1）x2-12kx-16=0. 根据韦达定理有：x1+x2=，x1·x2=-.

设定点T（0，t），则·=x1x2+（y1-t）（y2-t）=x1x2+kx1--tkx2--t=（k2+1）x1x2-k+t（x1+x2）+t2+t+=.

要使·=0，则需18（t2-1）k2+（9t2+6t-15）=0对任意k∈R恒成立，故应有18（t2-1）=0 （①），9t2+6t-15=0 （②）.由①得t=±1，代入②得t=1. 因此存在满足题意的定点T（0，1）.

对于例1，如果不用韦达定理而用求根公式求解，可以得到x1，2=（这个式子有点复杂），再求出y1与y2（这两个式子相当复杂），接下来等待我们的是冗长烦琐到令人抓狂的计算……

由此说明，当“几何问题”转化为“代数问题”并继续向“方程问题”挺进之后，韦达定理的优势就得到了充分体现：通过“不求根而用根”，谋求“无为而治之”（见图2）.联想中国古典名著《三国演义》所描述的一则精彩的治国之道：“贤者居上，能者居中，工者居下”，看来，韦达定理也同样具有王者风范！它使我们更深切地领悟到笛卡尔所提设想的数学内涵.

探秘“王者之道”

在初步领略到韦达定理的优势后，我们不禁产生疑问：如何为运用韦达定理做准备？其实例1的求解已经对此作了回答.我们不妨提取求解步骤的几个关键词：

Step1： 设——设直线的方程与交点的坐标；

Step2： 联——联立方程组.这是几何问题转化为代数问题的重要标志；

Step3： 消——消元.一般消去y，有时也可以根据具体问题消去x；

Step4： 韦——用韦达定理.这指明了不求根但用根的解题方向；

Step5： 判——判断判别式Δ的取值范围.

需要注意的是，例1中过椭圆内一点P的直线必与椭圆相交且有两个交点，判别式Δ的取值范围无需再判断.如果从题目中无法直接得出直线与圆锥曲线的位置关系（是否有交点及有几个交点），则需判断判别式Δ的取值范围.

一言以蔽之，我们可以用“设→联→消→韦→判”五步骤清晰地得出利用韦达定理解题的过程.在圆锥曲线相关问题的解答中，只要用到韦达定理，几乎都可以用这个“五字诀”来操作.

走出“量”的迷阵

在韦达定理的实际运用中，如何走出“量”的迷阵是必须面对的问题，也是一大难点.在例1中总共出现了六个“量”：x1，x2，y1，y2，k，t，理清“量”的关系，正是成功运用韦达定理解题的关键所在.

（1） 对“量”进行科学分析和分类.

虽然例1中的这些“字母”没有确切的值，但这并不代表它们都是“未知量”.不同的k决定了相应的x1，x2，不同的x1，x2决定了相应的y1，y2 . x1，x2，y1，y2，k这五个量看似都在变，但地位不同：变的主因在k，若将其称为“主变量”，那么x1，x2，y1，y2就是相对于k的“应变量”.那么t又是什么“量”呢？从题目来看，t便是最终要求的量.

（2） 坚定目标，明确“要求的量”.

经过分类，例1中各个“量”的性质逐渐明晰.明确了“要求的量”，该消去的“量”也就一目了然了.

（3） 根据题目所给条件，建立“量”之间的数量关系.

例1的条件·=0是解题的突破口. 显然，·同时含有x1，x2，y1，y2，k，t六个量，由于可以通过直线方程用x1，x2来表示y1，y2，而韦达定理又提供了k与x1，x2的关系，这样一来，我们便通过·=0这个条件，建立了“主变量”k与“要求的量”t之间的关系（参见图3），从而能够进行求解.

解题中的运用

下面我们再用两道例题对运用韦达定理的关键点进行巩固.

例2 如图4所示，直线l过点P0，-且与椭圆O：+y2=1交于A，B两点，若2=3，求直线l的方程.

解析： 若直线l斜率不存在，则点A为（0，1），B（0，-1）或点A（0，-1），B（0，1），此时不满足条件2=3.所以直线l的斜率存在.

设l：y=kx-，按照“设→联→消→韦→判”得到x1+x2= （①），x1·x2=- （②）.韦达定理提供了x1，x2与k的关系，此时x1，x2是相对于k的“应变量”.

因为2=3，所以2（x1-0）=3（0-x2），-2x1=3x2. 把x1=

-x2代入①②两式，问题立即转化为只含有两个“量”——x2与k——的方程组：x2=-，=.

题目要求的量是k，消去x2可得k=±，故所求直线方程为3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

点评： 运用韦达定理的重要原则是“不求根而用根”.在“量”的迷阵中，只有坚定目标，始终明确要求的是哪个“量”，才能清楚地判断解题时要消去的是哪些“量”.

例3 如图5所示，F为椭圆O：+y2=1的右焦点，C（m，0）是线段OF上的动点（不含端点O，F），试问是否存在过点F且不与x轴垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，使MC=NC？并说明理由.

解析： 设直线l：x=ty+1（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.按照“设→联→消→韦→判”五步骤，可得：y1+y2=-，y1·y2=

-.

由点M，N 坐标可得MN的中点E的坐标，xE===，yE==-.

要使MC=NC，则必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1，化简得mt2+2m-1=0，m=.

仔细读题可以发现，问题的实质是探讨点C从O点出发向F点运动的过程中处于不同的位置时，满足条件的直线l是否存在. 从代数角度看，即对应m的不同取值，t是否有解.由m=可得t=±.由已知C（m，0）是线段OF上的动点（不含端点O，F）可得0

点评：只有根据题目条件MC=NC找到突破口，建立t，m之间的数量关系，才能最终顺利求解.

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们得到了大量关于圆锥曲线的性质.17世纪初期坐标系的出现，掀起了几何问题研究“代数化”的浪潮，高中数学课程中的“圆锥曲线”问题的探讨正是在这一历史背景下展开的.韦达定理在圆锥曲线中的运用，完美诠释了用代数方法研究几何问题的数学思想，当之无愧位居二次曲线解题方法之首.“设→联→消→韦→判”五步规范操作，如王者之像，仪态端庄；“不求根而用根”，整体驾驭各种“量”的结构，超然于计算之上，决胜千里之外. 这正是：

二次曲线用韦达，纠缠常因字母卡；

科学分类定目标，巧建关系终求解.

【练一练】

如图6所示，过直线l：x-2y-4=0上的一动点P作抛物线O：x2=4y的两条切线，切抛物线于A，B两点，求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标.

【参考答案】

存在定点Q（1，2）.

【提示】 此题有多种解法，通用方法是韦达定理.此处有l与AB两条直线，而解题目标在直线AB，故设AB：y=kx+m，问题转化为探究k与m两个量的关系.

设Ax1，，Bx2，，按照“设→联→消→韦→判”易得： x1+x2=4k，x1·x2=-4m.

设P（xp，yp），由y=y′=可得切线PA的斜率为，所以yp-=（xp-x1），化简得yp=xp- （①）.同理可得切线PB的斜率为，yp=xp- （②）.联立①②，解得xp==2k，yp=-==-m，P点坐标为（2k，-m）.

因为点P在直线l上，故2k+2m-4=0，即m=2-k.代入y=kx+m，可得直线AB方程y=k（x-1）+2，因此直线AB过定点Q（1，2）.

从变量分析的角度看，此题的四个量x1，x2，k，m均为未知量，但x1，x2是相对于k，m的“应变量”，而k与m这两个“变量”的地位相当.因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m，这样直线AB就只取决于一个变量，最终都可得到直线过定点（1，2）.

解析： 若直线l斜率不存在，则点A为（0，1），B（0，-1）或点A（0，-1），B（0，1），此时不满足条件2=3.所以直线l的斜率存在.

设l：y=kx-，按照“设→联→消→韦→判”得到x1+x2= （①），x1·x2=- （②）.韦达定理提供了x1，x2与k的关系，此时x1，x2是相对于k的“应变量”.

因为2=3，所以2（x1-0）=3（0-x2），-2x1=3x2. 把x1=

-x2代入①②两式，问题立即转化为只含有两个“量”——x2与k——的方程组：x2=-，=.

题目要求的量是k，消去x2可得k=±，故所求直线方程为3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

点评： 运用韦达定理的重要原则是“不求根而用根”.在“量”的迷阵中，只有坚定目标，始终明确要求的是哪个“量”，才能清楚地判断解题时要消去的是哪些“量”.

例3 如图5所示，F为椭圆O：+y2=1的右焦点，C（m，0）是线段OF上的动点（不含端点O，F），试问是否存在过点F且不与x轴垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，使MC=NC？并说明理由.

解析： 设直线l：x=ty+1（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.按照“设→联→消→韦→判”五步骤，可得：y1+y2=-，y1·y2=

-.

由点M，N 坐标可得MN的中点E的坐标，xE===，yE==-.

要使MC=NC，则必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1，化简得mt2+2m-1=0，m=.

仔细读题可以发现，问题的实质是探讨点C从O点出发向F点运动的过程中处于不同的位置时，满足条件的直线l是否存在. 从代数角度看，即对应m的不同取值，t是否有解.由m=可得t=±.由已知C（m，0）是线段OF上的动点（不含端点O，F）可得0

点评：只有根据题目条件MC=NC找到突破口，建立t，m之间的数量关系，才能最终顺利求解.

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们得到了大量关于圆锥曲线的性质.17世纪初期坐标系的出现，掀起了几何问题研究“代数化”的浪潮，高中数学课程中的“圆锥曲线”问题的探讨正是在这一历史背景下展开的.韦达定理在圆锥曲线中的运用，完美诠释了用代数方法研究几何问题的数学思想，当之无愧位居二次曲线解题方法之首.“设→联→消→韦→判”五步规范操作，如王者之像，仪态端庄；“不求根而用根”，整体驾驭各种“量”的结构，超然于计算之上，决胜千里之外. 这正是：

二次曲线用韦达，纠缠常因字母卡；

科学分类定目标，巧建关系终求解.

【练一练】

如图6所示，过直线l：x-2y-4=0上的一动点P作抛物线O：x2=4y的两条切线，切抛物线于A，B两点，求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标.

【参考答案】

存在定点Q（1，2）.

【提示】 此题有多种解法，通用方法是韦达定理.此处有l与AB两条直线，而解题目标在直线AB，故设AB：y=kx+m，问题转化为探究k与m两个量的关系.

设Ax1，，Bx2，，按照“设→联→消→韦→判”易得： x1+x2=4k，x1·x2=-4m.

设P（xp，yp），由y=y′=可得切线PA的斜率为，所以yp-=（xp-x1），化简得yp=xp- （①）.同理可得切线PB的斜率为，yp=xp- （②）.联立①②，解得xp==2k，yp=-==-m，P点坐标为（2k，-m）.

因为点P在直线l上，故2k+2m-4=0，即m=2-k.代入y=kx+m，可得直线AB方程y=k（x-1）+2，因此直线AB过定点Q（1，2）.

从变量分析的角度看，此题的四个量x1，x2，k，m均为未知量，但x1，x2是相对于k，m的“应变量”，而k与m这两个“变量”的地位相当.因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m，这样直线AB就只取决于一个变量，最终都可得到直线过定点（1，2）.

解析： 若直线l斜率不存在，则点A为（0，1），B（0，-1）或点A（0，-1），B（0，1），此时不满足条件2=3.所以直线l的斜率存在.

设l：y=kx-，按照“设→联→消→韦→判”得到x1+x2= （①），x1·x2=- （②）.韦达定理提供了x1，x2与k的关系，此时x1，x2是相对于k的“应变量”.

因为2=3，所以2（x1-0）=3（0-x2），-2x1=3x2. 把x1=

-x2代入①②两式，问题立即转化为只含有两个“量”——x2与k——的方程组：x2=-，=.

题目要求的量是k，消去x2可得k=±，故所求直线方程为3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

点评： 运用韦达定理的重要原则是“不求根而用根”.在“量”的迷阵中，只有坚定目标，始终明确要求的是哪个“量”，才能清楚地判断解题时要消去的是哪些“量”.

例3 如图5所示，F为椭圆O：+y2=1的右焦点，C（m，0）是线段OF上的动点（不含端点O，F），试问是否存在过点F且不与x轴垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，使MC=NC？并说明理由.

解析： 设直线l：x=ty+1（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.按照“设→联→消→韦→判”五步骤，可得：y1+y2=-，y1·y2=

-.

由点M，N 坐标可得MN的中点E的坐标，xE===，yE==-.

要使MC=NC，则必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1，化简得mt2+2m-1=0，m=.

仔细读题可以发现，问题的实质是探讨点C从O点出发向F点运动的过程中处于不同的位置时，满足条件的直线l是否存在. 从代数角度看，即对应m的不同取值，t是否有解.由m=可得t=±.由已知C（m，0）是线段OF上的动点（不含端点O，F）可得0

点评：只有根据题目条件MC=NC找到突破口，建立t，m之间的数量关系，才能最终顺利求解.

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们得到了大量关于圆锥曲线的性质.17世纪初期坐标系的出现，掀起了几何问题研究“代数化”的浪潮，高中数学课程中的“圆锥曲线”问题的探讨正是在这一历史背景下展开的.韦达定理在圆锥曲线中的运用，完美诠释了用代数方法研究几何问题的数学思想，当之无愧位居二次曲线解题方法之首.“设→联→消→韦→判”五步规范操作，如王者之像，仪态端庄；“不求根而用根”，整体驾驭各种“量”的结构，超然于计算之上，决胜千里之外. 这正是：

二次曲线用韦达，纠缠常因字母卡；

科学分类定目标，巧建关系终求解.

【练一练】

如图6所示，过直线l：x-2y-4=0上的一动点P作抛物线O：x2=4y的两条切线，切抛物线于A，B两点，求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标.

【参考答案】

存在定点Q（1，2）.

【提示】 此题有多种解法，通用方法是韦达定理.此处有l与AB两条直线，而解题目标在直线AB，故设AB：y=kx+m，问题转化为探究k与m两个量的关系.

设Ax1，，Bx2，，按照“设→联→消→韦→判”易得： x1+x2=4k，x1·x2=-4m.

设P（xp，yp），由y=y′=可得切线PA的斜率为，所以yp-=（xp-x1），化简得yp=xp- （①）.同理可得切线PB的斜率为，yp=xp- （②）.联立①②，解得xp==2k，yp=-==-m，P点坐标为（2k，-m）.

因为点P在直线l上，故2k+2m-4=0，即m=2-k.代入y=kx+m，可得直线AB方程y=k（x-1）+2，因此直线AB过定点Q（1，2）.

从变量分析的角度看，此题的四个量x1，x2，k，m均为未知量，但x1，x2是相对于k，m的“应变量”，而k与m这两个“变量”的地位相当.因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m，这样直线AB就只取决于一个变量，最终都可得到直线过定点（1，2）.