弱－可补子群对有限群构造的影响

高百俊，缪利云，梁 倞

（1．伊犁师范学院数学与统计学院，新疆 伊宁835000；2．扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002）

群论研究的主要任务是探究各种群的结构和性质，其中准素子群在分析群结构时有着重要作用．与此同时，子群的可补性也对群的结构有着重要的影响．近年来，许多学者对此进行了研究．例如：何鸣等［1］研究了π－可补子群的一些性质，利用群的Sylowp－子群的极大和极小子群的π－可补性给出一个群是p－幂零群的一些条件．Skiba［2］取定非循环Sylowp－子群P 的真子群D 使得1＜D＜P，在P 的任意阶为｜D｜的子群在G 中弱s－置换的条件下研究了群G 的结构．郭秀云等［3］利用Sylow子群的极大子群半覆盖远离性与半正规性给出一个群为超可解群的一些充分条件．缪龙和Lempken［4］取定非循环Sylowp－子群P 的真子群D 使得1＜D＜P，在P 的任意阶为｜D｜的子群在G 中－可补的条件下研究了群G 的结构．Asaad［5］取定非循环Sylowp－子群P 的真子群D 使得1＜D＜P，在P 的任意阶为｜D｜或者2｜D｜的子群在G 中可补的条件下研究了群G 的结构．汤菊萍等［6］将子群的p－幂零补应用到群的Sylow 子群的正规化子中，得到一些关于群的幂零和超可解的新结果．在上述工作的基础上，本文主要探究给定阶子群的弱－可补性对群结构的影响，以得到群的有关p－幂零和p－超可解的相关结果．本文涉及到的群皆为有限群，所用术语和符号都是标准的．

1 预备知识

定义1［4］271如果存在群G 的子群B 满足G＝HB，并且TB＜G，其中T 是H 的任意极大子群，那么子群H 称为在G 中－可补．

定义2［7］681如果存在群G 的子群B 满足G＝HB，并且TB＜G，其中T 是H 的满足｜H∶T｜＝pα的任意极大子群，那么子群H 称为在G 中p－可补．

定义3［8］489如果存在群G 的子群B 满足G＝HB，并且TB＜G，其中T 是H 中包含HG的任意极大子群，HG是H 中G 的最大正规子群，那么子群H 称为在G 中弱－可补．

引理1［8］490设H 是群G 的子群．

3）设π是某些素数的集合，K 是G 的正规π′－子群，H 是G 的π－子群，如果H 在G 中弱－可补，那么HK／K 在G／K 中弱－可补；

引理2［7］682设H 是群G 的子群，p 是｜G｜的素因子，如果H 在G 中p－可补，且

3）K 是G 的正规p′－子群，那么HK／K 在G／K 中p－可补．

引理3［9］75设p 是｜G｜的极小素因子，P∈Sylp（G），且P 循环，则G 有正规p－补．

引理4［9］67设G 是有限群，p 是｜G｜的极小素因子，如果H≤G 且｜G∶H｜＝p，那么HG．

引理5［9］173设N 是群G 的可解正规子群，如果N∩Φ（G）＝1，则N 的Fitting子群F（N）是G的所有包含在N 中的极小正规子群的直积．

引理6［10］设G 是p－可解群，H 是G 的p－幂零子群并且包含G 的一个Sylowp－子群，H 存在子群D，满足Dp≠1且｜H∶D｜＝pα，如果H 的每一个阶为｜D｜的子群T 在G 中p－可补，那么G 是p－超可解的．

引理7［7］684设G 是群，p 是｜G｜的极小素因子，H 是G 的p－幂零子群并且包含G 的一个Sylow p－子群，如果H 在G 中p－可补，则G 是p－幂零的．

2 主要结果

定理1设G 是群，H 是G 的p－幂零子群，并且包含G 的一个Sylowp－子群，其中p 为｜G｜的极小素因子．G 是p－幂零的当且仅当H 的任意指数为p 的极大子群在G 中弱－可补．

证明 先证充分性．假设定理不真，选取G 为极小阶反例．

设P 是G 的一个Sylowp－子群，H 是G 中包含P 的p－幂零子群，又令P1，P2，…，Pn是P 的所有极大子群，那么Hi＝PiHp′（i＝1，2，…，n）是H 的所有满足｜H∶Hi｜＝p 的极大子群，其中Hp′是H 的正规Hall p′－子群．

如果｜P｜＝p，那么由引理3可知G 是p－幂零的，矛盾，所以有｜P｜＞p．

如果对任意i（i＝1，2，…，n），（Hi）G＝1，那么由Hi在G 中弱－可补得Hi在G 中－可补，于是Hi也在G 中p－可补，即存在G 的子群K≤G，使得G＝HiK，且TK＜G，其中T 是Hi的任一指数为p 的极大子群．由引理4可知TKG．设L＝P∩TK，易知L 为TK 的Sylowp－子群且为P 的极大子群，从而LHp′是H ＝PHp′的极大子群，因此LHp′在G 中p－可补．由引理2之1）可知LHp′在TK 中p－可补，又由引理7可知TK 是p－幂零的，从而G 是p－幂零的，矛盾；因此，存在某一个（Hi）G≠1，不妨设i＝1．

假设S＝（（H1）G）p′≠1，由于Schar（H1）GG，所以SG 并且G／S 满足定理条件，则G／S 是p－幂零的，于是G 也是p－幂零的，矛盾，因此（H1）G是p－群，显然Op（G）≠1．若Op（G）∩Φ（G）≠1，则存在G 的极小正规子群L，满足L≤Op（G）∩Φ（G）．若｜L｜＝｜P｜，则G／L 为p′－群，于是G／L 是p－幂零的，从而G 是p－幂零的，矛盾．若｜L｜＝｜（H1）p｜，则G／L 的Sylow p－子群是素数阶循环群，由引理3可知G／L 是p－幂零的．若｜L｜＜｜（H1）p｜，则G／L 满足定理条件，由G 的极小性可知G／L 是p－幂零的．由于p－幂零群系是饱和群系，且L≤Φ（G），所以G 是p－幂零的，矛盾．

若Op（G）∩Φ（G）＝1，则由引理5可知Op（G）＝F（Op（G））＝L1×L2×…×Lt，其中Li（i＝1，2，…，t）是G 包含在Op（G）中的极小正规子群．事实上，G 包含在Op（G）中的极小正规子群是唯一的．否则，设L2是G 的另一个异于L1的包含在Op（G）中的极小正规子群，则G／（L1∩L2）同构于（G／L1）×（G／L2）的一个子群，由于G／Li满足定理条件，故G／Li是p－幂零的，从而G／（L1∩L2）是p－幂零的；又L1∩L2＝1，故得G 是p－幂零的，矛盾．令L＝Op（G），则LΦ（G），于是存在G 的极大子群M，使得G＝LM，并且L∩M＝1．令P∩M＝Pi′≤Pi＜·P，其中Pi′是M 的Sylow p－子群，则LPi′为G 的Sylowp－子群，显然LPiHp′，因此（PiHp′）G＝1．令H2＝PiHp′，可知H2在G 中－可补，从而在G 中p－可补，即存在G 的子群B，使得G＝H2B，且T2B＜G，其中T2满足｜H2∶T2｜＝p．不妨假设Pi′≤T2，否则Pi′＝Pi，于是｜L｜＝p，因此由G／L 是p－幂零的可知G 是p－幂零的，矛盾．由引理1之4）可得｜G∶T2B｜＝p，所以G＝LT2B 且L∩T2BG，于是L∩T2B＝1或L≤T2B．若L∩T2B＝1，则｜L｜＝｜G∶T2B｜＝p，于是G 是p－幂零的，矛盾．若L≤T2B，而Pi′≤T2，则LPi′≤T2B，与｜G∶T2B｜＝p 矛盾．

取G＝H，则必要性显然成立．

定理2设G 是一个p－可解群，H 为G 的p－幂零子群，并且包含G 的Sylowp－子群．如果H 的任意指数为p 的极大子群在G 中弱－可补，那么G 是p－超可解的．

证明 假设定理不真，选取G 为极小阶反例．

设P 是G 的一个Sylowp－子群，H 是G 中包含P 的p－幂零子群，又令P1，P2，…，Pn是P 的所有极大子群，那么Di＝PiHp′（i＝1，2，…，n）是所有满足｜H∶Di｜＝p 的极大子群，且满足｜H∶Di｜＝p，其中Hp′是H 的正规Hall p′－子群．

如果｜P｜＝p，那么G 是p－超可解的，矛盾，所以有｜P｜＞p．

如果对任意i（i＝1，2，…，n），（Di）G＝1，则由Di在G 中弱－可 补 得Di在G 中－可补，从而Di也 在G 中p－可补．由引理6 可知G 是p－超可解的，矛盾，所以存在某一个（Di）G≠1，不妨设i＝1．

若S＝（（D1）G）p′≠1，因为Schar（D1）GG，所以SG 并且G／S 满足定理条件，则G／S 是p－超可解的，于是G 也是p－超可解的，矛盾，因此可知（D1）G是p－群．令N1是G 的包含在（D1）G中的极小正规子群，那么G／N1满足定理条件，于是G／N1是p－超可解的．事实上，G 的包含在（D1）G中的极小正规子群是唯一的．否则，设N2是G 的另一个包含在（D1）G中的极小正规子群，则G／（N1∩N2）同构于（G／N1）×（G／N2）的一个子群，从而G／（N1∩N2）是p－超可解的；又N1∩N2＝1，故得G是p－超可解的，矛盾．因为p－超可解群系是饱和群系，所以N1Φ（G），于是存在G 的极大子群L，使得G＝N1L，并且N1∩L＝1．令P∩L＝Pi′≤Pi＜·P，其中Pi′是L 的Sylowp－子群，那么N1Pi′为G 的Sylowp－子群．显然N1PiHp′，因此（PiHp′）G＝1．令D2＝PiHp′，可知D2在G 中－可补，于是D2在G 中p－可补，即存在G 的子群C，使得G＝D2C，且K2C＜G，其中K2满足｜D2∶K2｜＝p．不妨假设Pi′≤K2，否则Pi′＝Pi，于是｜N1｜＝p，因此由G／N1是p－超可解的可知G 是p－超可解的，矛盾．由引理1之4）可得｜G∶K2C｜＝p，所以G＝N1K2C 且N1∩K2CG，于是N1∩K2C＝1或N1≤K2C．若N1∩K2C＝1，则｜N1｜＝｜G∶K2C｜＝p，于是G 是p－超可解的，矛盾．若N1≤K2C，而Pi≤K2，则N1Pi′≤K2C，与｜G∶K2C｜＝p 矛盾．

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