基于马尔可夫小概率事件统计模型的继电保护隐藏故障分析

姜 臻

（广东电网有限责任公司珠海供电局，广东 珠海519000）

0 引言

隐藏故障是指保护装置中存在的一种永久缺陷，这种缺陷只有在系统发生故障等不正常运行情况时才会表现出来，其直接后果是导致被保护元件错误断开。近年来，电力系统灾难性联锁故障时有发生，如1996年7月美国西部电网（WSCC）、1998年6月美国中部大陆电网（MAPP）解列事故，2003年8月美加大停电事故等，造成这些大规模停电事故的罪魁祸首正是继电保护系统的隐藏故障［1］。

联锁故障产生的原因多种多样，距离保护、过电流保护及基于负荷控制的保护等继电保护隐藏故障都是导致联锁故障的可能原因。比如在大系统与某节点（即母线）相连的一条线路上发生了闪络，则与此节点相连的其他线路的保护由于自身存在的隐藏故障就可能发生误动作（低电压或是由于低电压造成的无功不足）。

迄今，对继电保护系统隐藏故障的研究主要集中在由隐藏故障引起的联锁故障的仿真和评估方面。在这些研究中，隐藏故障的发生概率主要是通过概率统计方法和现有概率模型来确定，但保护含隐藏故障的概率是极小的，所以这种小概率事件模拟就变得非常困难。而传统的基于大数定理的模拟方法计算量和计算时间非常可观，因此这种模拟仿真方法没有实践性。

本文介绍了一种基于马尔可夫模型的小概率事件统计模型的重要采样理论，利用这种模型可以增大小概率事件的发生几率，从而大大降低计算量，提高仿真模拟算法的准确率和可行性。

1 隐藏故障的概率模型

图1 线路距离保护和过电流保护的隐藏故障特性线路距离保护隐藏故障概率PHF与保护装置的测量阻抗Z

现有概率模型用来描述线路保护隐藏故障的有距离保护隐藏故障概率模型和过电流保护隐藏故障概率模型［2－3］，如图1所示。有关。当测量阻抗Z小于3倍距离保护第Ⅲ段的整定值Z3时，隐藏故障概率为常数PL，而测量阻抗Z大于3倍距离保护第Ⅲ段的整定值Z3时，隐藏故障概率按指数规律迅速减小。隐藏故障的概率模型如下：

过电流保护隐藏故障概率PHF与线路电流的大小有关。线路电流I大于过电流保护第Ⅲ段的整定值I3时隐藏故障概率为常数PI，而线路电流I在0.1I3和I3范围内时隐藏故障概率按直线规律迅速减小至0，在线路电流I小于0.1I3时隐藏故障概率为0。概率模型如下：

现有的用来描述母线和发电机保护隐藏故障的概率模型如图2所示。

图2 母线和发电机保护的隐藏故障特性

图2 显示了发电机或母线保护的隐藏故障特性。当电压（或无功）维持在一个正常的范围内时，保护误动作的概率可以忽略不计。然而电压（或无功）一旦越界，误动作就极可能发生。为了模拟仿真计算，我们以无功量的范围来评估保护的误动率。

2 马尔可夫小概率事件统计模型

马尔可夫模型是统计模型，它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数，然后利用这些参数来做进一步的分析，例如模式识别。在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的，这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中，状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布，因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。

马尔可夫链，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于猜测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：（1）t＋l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；（2）从t时刻到t＋l时刻的状态转移与t的值无关。马尔可夫链模型如图3所示。

图3 马尔可夫链模型

我们定义的离散时间小增益如下［4］：

假设A是一个可以看作马尔可夫链模型的小概率事件，所以这是不太可能根据P（A）来直接进仿真模拟的，因为其需要花费大量的计算时间和资源。例如，假设P（A）是一个n采样值（X1，…，Xn）的伯努力分布变量（Xi是通过马尔可夫链轨迹计算得出）：

所以这里我们要引进重要采样的概念和定义：如果P和P＊是相互独立连续的2个概率，就可以得出P（A）＝因此，我们就可以利用一个n采样值（ω1，…，ωn）的分布P＊使得P＊（A）P（A），然后得出：

根据马尔可夫链性质，对于所有指数变化（概率变化）的线性变换P→是渐进线性最佳的，它可以使取最小值。

3 重要采样原理

假设（X1，…，Xn）是伯努力分布随机变量，则P｛Xi＝1｝＝P（A）＝P｛Xi＝0｝，由此我们估计P（A）值为：

可以看出这种方法计算量是极大的。

重要采样原理就是用一个较大的概率pp代替原来较小的概率p，从而使小概率事件在模拟仿真中出现的次数大大增加。下面以图4中简单的4节点模型来说明重要采样的基本原理。

图4 简单的%节点模型

当线路1跳开（2、3和5没有跳），这时的线路2、5和6存在误动作的可能，如果此时2、5跳开（6没有），这样母线2就被孤立了，这就是一次简单的仿真过程（因为母线一旦孤立，意味着大面积的停电），计数为1。但是我们并非由式（7）那样去计算相应概率，而是采用基于马尔可夫小概率事件统计模型的重要采样模型。我们可以得到：

p3（1－p）4表示联锁故障发生的实际概率，pp3（1－pp）4表示仿真模拟中设定的联锁故障发生的概率，由此我们可以得到故障概率的计算公式（由前一部分的结论得到）：

4 算法

我们的计算方法是基于马尔可夫小概率事件统计模型的重要采样模型，那么根据第3部分的介绍，关于参考概率即pp的选择是非常重要的。如果我们定义每条线路的pp值均相同，那么每次得到的计算结果将会不同（由性质决定）。所以我们定义pp值如下：

式中，pj是线路实际误动作的概率；μj是0～1之间的随机数。

开始仿真之前我们需要得到网络中基本的负荷流动情况，然后选择一条线路作为触发线路，重复算法N次（前面已经介绍）。

（1）查看所有与触发线路所在母线相连的线路，它们都是潜在的误动线路。

（2）查看所有节点无功越限情况，并得出发电机保护的误动率（图2）。

（3）如果发电机保护误动作，则将所有与之母线相连的线路加入潜在的误动线路名单。

（4）计算功率流动情况（牛顿法），并查看区域功率是否平衡及频率是否稳定。

（5）计算线路阻抗，查看误动作概率（图1）。

（7）记录动作线路号。

（8）当由线路动作导致母线孤立或系统失去负荷过多时，停止仿真，这表示系统将瓦解。

5 参考算例

下面以一个39节点的系统（图5）为例，给出相关的参考算例，在概率链及概率距的层面上说明此算法的意义和相关的结论。

图5 $’母线系统

表1条件下仿真结果概率P＝0.001 1，表2条件下仿真结果概率P＝0.000 362 9。仿真结果表明：对于线路6而言，0.001 1／0.000 362 9＝3.03＞0.05／0.025＝2，所以很明显线路6是一条非常敏感的线路，而且此线路极易造成误动作。

6 结语

本文先分析了继电保护隐藏故障的概率特性，然后通过对继电保护装置隐藏故障的动作机理的讨论，并利用保护装置隐藏故障概率模型及基于马尔可夫模型的小概率事件统计模型，给出了一种重要采样的仿真方法，建立了输电线路联锁跳闸的概率模型。最后，利用实际数据分析了算例，验证了模型的合理性，且对电力系统线路保护的可靠性做出了分析，分析结果对联锁故障风险评估具有参考价值。

表1 定义 (()!.!&且以线路*为触发线路的仿真结果

表2 定义 (()!.!#&且以线路*为触发线路的仿真结果

［1］J.S.Thorp，A.G.Phadke，S.H.Horowitz，et al.Anatomy of power system disturbances：importance sampling［J］.International Journal of Electrical Power ＆ Energy Systems，1998，20（2）：147～152

［2］ M.Cottrell，J.Fort，G.Malgouyres.Large deviations and rare events in the study of stochastic alg orithms［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1983，28（9）：907～920

［3］熊小伏，蔡伟贤，周家启，等.继电保护隐藏故障造成输电线路连锁跳闸的概率模型［J］.电力系统自动化，2008，32（13）：6～10

［4］K.Bae，J.S.Thorp.A stochastic study of hidden failures in power system protection［J］.Decision Support Systems，1999，24（3）：259～268