Laplace变换求解成层土中污染物一维扩散问题

余 闯，温灿灿，陈樟龙，蔡晓庆，刘俊峰

（温州大学a.建筑与土木工程学院；b.数学与信息科学学院，浙江 温州 325035）

Laplace变换求解成层土中污染物一维扩散问题

余 闯a，b，温灿灿b，陈樟龙a，蔡晓庆a，刘俊峰b

（温州大学a.建筑与土木工程学院；b.数学与信息科学学院，浙江 温州 325035）

成层土中污染物的迁移规律较为复杂，将其简化为一维扩散模型。运用Laplace变换和Laplace数值逆变换方法进行了求解，编制了计算程序。计算结果可以退化到单层土的情况，结论与经典的理论解完全一致。通过与现有用数值软件计算结果的对比，检验了解答的正确性；采用的计算方法对一室内试验结果进行了模拟，计算结果和实测数据较为吻合，证明所提方法的可靠性。求解方法可用于求解更为复杂的边界条件下的污染物迁移问题。

污染物扩散；成层土；Laplace变换；一维扩散模型

污染物在土层中的扩散问题一直是学术界研究的热点问题。近年来，国外学者对垃圾填埋场中污染物的迁移模型做了大量的研究工作，但在中国，关于这方面的研究还不多［1－4］。

污染物在土介质中的迁移规律受很多因素的影响［5－6］，主要有：对流、弥散、分子扩散、蜕变及吸附等。一般认为同时考虑对流、弥散和蜕变项的迁移模型［7－9］能较好地反映实际情况，但是模型的求解难度也随考虑因素的增加而加大。Rowe等［10－11］用数值变换的方法求解了成层土中自由上边界条件和底部有潜水层的下边界条件下污染物的迁移问题。杨文参等［12］利用分离变量法求解成层土中的污染物扩散问题，但由于分离变量法所要求齐次边界条件的限制，很难处理边界条件复杂的问题。然而，实际边界条件往往较为复杂［11］，这就需要有处理更加复杂边界条件的数学工具。本文运用Laplace变换和Laplace数值逆变换求解成层土中污染物一维扩散模型，模型边界条件相对简单，目的是对该问题进行初步研究，检验所提方法的可靠性，以便进一步深入分析研究。

1 污染物扩散模型

求解成层土中污染物一维扩散模型主要基于以下假设：1）成层土为均质、饱和的；2）第i层土介质中阻滞因子和有效扩散系数是常数，不随时间、空间变化；3）污染物的扩散是一维的，并且污染物源在土层上部，不考虑其他的外部污染源；4）污染物的扩散仅有污染物的溶度梯度引起，忽略水力传导的作用，同时考虑土颗粒对污染物的线性吸附作用。

在上述基本假设的前提下，简化污染物在土壤中的迁移方程［2］，得到了成层土中污染物的一维扩散模型，如图1所示。对于成层土中第i层，污染物的扩散方程为

式中：Ci为第i层土中的污染物浓度；Ri为第i层土对污染物的阻滞因子；Di为第i层土中污染物扩散的扩散系数。

图1 污染物一维扩散剖面图

2 模型求解

由于式（1）类似于Terzaghi一维固结方程，故参考文献［13］的求解方法，对式（1）进行Laplace变换：

由于式（18）很难通过Laplace逆变换得到时域解析解，故采用数值Laplace逆变换方法［14］求解。

3 模型验证分析

3.1 退化为单层解的情况

当上述解退化为单层土层时，式（17）可简化为：

方程（26）即为文献［9］中退化为单层土的解答。

3.2 与已有成层解答对比

基于上述Laplace逆变换解答，笔者编制了相应的计算程序。对于层状土中污染物的一维扩散解析解，文献［12］假设了两层介质的物理化学性质如表1所示，边界条件为顶部浓度为1.0（常浓度），底部为0。同时采用著名的污染物分析软件GAEA Pollute V7进行了计算，如图2所示，两者所获得的结果基本保持一致，从而说明本文解答及所编写程序的可靠性。

表1 土层的物理化学性质参数

图2 理论计算与数值分析结果对比

3.3 实验数据计算分析

Roehl等［15］设计了室内一维扩散模型，分析了常浓度条件下Cd2＋在粘土中的迁移规律。粘土层厚度5 cm，比重1.68 g／cm3，含水量17.5%，试验温度控制在20±8℃，分别测试了43 d到520 d中5个时间段、不同深度处的Cd2＋浓度。粘土扩散系数D为6.5×10－8cm2／s，阻滞因子R 为35，计算结果和模型试验结果对比如图3所示。由此可见，计算结果和实测数据比较一致。

图3 理论计算与模型试验结果对比

4 结论

成层土中污染物的迁移规律较为复杂，将其简化为一维扩散模型，运用Laplace变换和Laplace数值逆变换方法进行了求解，编制了计算程序。计算结果可以退化到单层土的情况，所得结论与经典的理论解完全一致。通过与现有用数值软件GAEA Pollute V7计算结果的对比，两者计算结果保持一致，检验了解答的正确性；采用计算方法对一室内Cd2＋在粘土中扩散试验进行了模拟，计算结果和实测数据较为吻合，证明所提方法的可靠性。

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（编辑 胡 玲）

Solution for One-Dimensional Contaminant Diffusion in Layered Clayey Soils Using Laplace Transforms

Yu Chuanga，b，Wen Cancanb，Chen Zhanglonga，Cai Xiaoqinga，Liu Junfengb

（a.College of Architecture and Civil Engineering；b.College of Mathematics ＆Information Science，Wenzhou University，Wenzhou 325035，Zhejiang，P.R.China）

Contaminant diffusion in layered soil is very complex.The diffusion process is simplified as a onedimensional diffusion mode.The Laplace transformation and Laplace numerical inverse transformation are adopted.The proposed solution can be degraded to a single layer case.The obtained results are well consistent with those obtained by the classic theory.The correctness of the presented solution is verified by comparing the calculation results with the results generated by existing numerical software.One case study is conducted and the calculation results have a good agreement with measured data，which prove the reliability of the proposed method.The presented method can be used to solve more complex boundary conditions of contaminant migration.

contaminant migration；layered soil；laplace transformation；one-dimensional diffusion model

TU820.6

A

1674-4764（2014）02-0115-04

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.018

2013-10-15

国家自然科学基金（41002091、41372264）；浙江省自然科学基金（LY13E080013）；中国博士后科学基金面上项目（2012M521851）。

余 闯（1977-），男，博士，教授，主要从事环境岩土、地基处理等研究，（E-mail）3945735＠qq.com。