考虑损伤累积效应的单层球面网壳动力稳定＊

李永梅，胡 琨，张微敬

（1.北京工业大学 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124；2.北京工业大学 城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室，北京 100124）

考虑损伤累积效应的单层球面网壳动力稳定＊

李永梅1，2†，胡 琨1，张微敬1

（1.北京工业大学 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124；
2.北京工业大学 城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室，北京 100124）

为了揭示强震下单层网壳结构的动力失效机理，从考虑材料损伤累积效应的角度出发，基于塑性应变和能量损耗理论建立应变-损伤弹塑性本构关系，提出将B-R运动准则和杆件塑性应变能密度曲线结合起来，作为结构动力失稳的判断标准.应用动态增量（IDA）法，对一Kiewitt-8型单层球面网壳结构进行地震作用下动力稳定分析，得出考虑材料损伤累积效应将显著降低结构的动力稳定临界荷载等结论，为该类结构震后修复和抗震性能的评估提供依据.

单层网壳；损伤累积效应；稳定性；判断标准；地震效应

单层网壳结构因其自重轻、刚度大、受力性能合理、造型美观等优点被广泛应用于体育场馆、影剧院、会展中心、车站等公共建筑中，其稳定分析一直是国内外学者在结构设计、研究中所关注的关键问题.文献［1－3］基于理想弹塑性本构关系对其静力、动力稳定性做了大量研究.但是结构在强地震作用下构件的刚度、强度和弹性模量等力学性能随之降低，传统的理想弹塑性模型不能准确反映材料实际性能.如何确定结构在一次或多次地震作用后的力学性能，考虑杆件累积损伤效应对结构极限承载力、失效模式的影响是结构在多次地震作用下动力分析的重要内容.

为了揭示强震下单层网壳结构的动力失效机理，基于损伤力学的塑性应变和能量损耗理论，建立钢材考虑损伤累积效应的应变－损伤本构模型，提出以B-R（Budiansky-Roth）运动准则、结合杆件塑性应变能密度曲线作为结构动力失稳破坏的判断标准，应用动态增量（Incremental Dynamic Analysis，简称IDA）法，对一Kiewitt-8型单层球面网壳结构进行不同地震加速度幅值下的杆系结构弹塑性全过程动力时程分析，考察结构最大位移、塑性杆件数、杆件塑性应变能密度等多个物理量，研究材料损伤累积效应对结构抗震性能和失效特征的影响，为震后结构的修复和抗震能力的评估提供分析基础.

1 理论基础

1.1 损伤累积本构模型

根据损伤力学理论［4］，材料一旦产生损伤，就会对构件的应力应变关系产生影响.在理想弹塑性本构模型基础上，引入损伤变量D，建立应变－损伤弹塑性本构模型，如图1所示.D是以一系列结构响应（特别是对应结构损伤发展的响应指标）为变量的无量纲函数.

图1 两种材料本构模型Fig.1 Two material constitutive

损伤后构件的力学状态会发生改变.地震滞回损伤累积将导致材料的屈服强度、弹性模量等随之降低.根据应变等价原理［5］，得到式（1）和式（2）：

式中：E，σs，ED，σD分别为材料无损伤和具有损伤变量D时的弹性模量和屈服强度；ξ1，ξ2为与钢种、截面形式等因素有关的系数.一般认为，钢材在反复荷载作用下的损伤变量D与材料所经历的塑性应变以及荷载在反复循环中所消耗的能量有关［5］；从变形和滞回能耗散角度，引入结构构件损伤变量D的计算公式，如式（3）所示［6］：

式中：Dj表示构件（或单元）j的损伤变量，当Dj＝0时，对应于构件无损状态；Dj＝1时，即认为构件失效；Dj在0～1范围内的其他数值，表征着结构构件不同的损伤程度.εpu为钢材拉伸试验的极限塑性应变值；εpmj和εpij分别为构件j在本次循环中所经历的最大塑性应变和在第i次受力过程中所产生的塑性应变.β为权重系数.n为本次循环荷载总数.一般地，对于 Q235钢、圆管截面，建议按β＝0.026 8，ξ1＝0.404，ξ2＝0.063取值［6］.

由式（3）可知，通过塑性应变与损伤变量D的关系定量描述构件的损伤程度，能够准确描述构件所处的损伤状态.当计算出构件j的损伤变量Dj后，代入式（1）（2）修改构件j的弹性模量与屈服应力，从而达到构件考虑损伤累积的目的.如图1所示，E，σs分别为构件无损伤的弹性模量与屈服应力；EiD，σiD，Ei＋1D，σi＋1D分别为第i次和第i＋1次受力过程中构件损伤累积的弹性模量与屈服应力.

1.2 动力失稳判定准则

目前，对单层网壳结构，多采用B-R运动准则来判定结构是否发生动力失稳［1，3］.根据 B-R 准则［7］，选定合适的地震波，应用动态增量法，逐级增大地震动强度，对结构进行每一级地震加速度幅值下的时程反应分析；当微小地震动的强度增量导致结构动力响应迅速增大时，就认为结构发生动力失稳.但是当应用B-R准则时，如何定义结构响应的巨大变化，很难有一个统一的标准.

材料塑性应变能密度是指疲劳过程中材料每一循环单位体积所吸收的应变能，其表达式如下［8］：

式中：ΔWp为杆件塑性应变能密度，J／m3或kJ／m3；Δεp和Δσ分别为材料的循环塑性应变幅和循环应力幅；n′为材料的循环硬化指数.

由式（4）可知，杆件塑性应变能密度是从能量角度来判断结构动力失效，综合反映了循环应力和循环应变两方面的影响，其能直观地显示结构某区域塑性发展程度及结构振荡程度，从而得到结构薄弱部位.

综上，本文提出将B-R准则与杆件塑性应变能密度曲线相结合，作为结构动力失稳破坏的判断标准.即对单层球面网壳结构，当微小地震动的强度增量导致当结构最大节点位移发生突变，同时结构杆件最大塑性应变能密度发生突变时，说明此时结构发生动力失效.

1.3 编制地震作用下动力失效分析程序

依据上述理论，编制考虑结构损伤累积效应的有限元动力弹塑性时程分析程序，计算框图如图2所示.程序较好地运用了结构化、模块化、层次化等软件设计思想.具体分析步骤如下.

图2 程序运行框图Fig.2 Flow chart for calculation

利用IDA方法［9］，输入特定幅值的某一时刻地震波加速度序列，进行双重非线性动力反应时程计算.进入后处理，逐一判断结构每个杆件单元是否进入塑性状态，如果杆件单元j产生塑性应变，则按照式（3）求得单元j的损伤值Dj，将Dj代入式（1）（2），修正单元j的屈服应力与弹性模量，以此模拟构件损伤，实现构件一次损伤积累.同时，判断Dj损伤程度，若Dj≥1，表明单元j发生破坏，删除该单元.保存数据，接着进行下一时刻地震波数据点的计算，依次循环，直到地震波记录输入完毕.程序通过对构件弹性模量和屈服强度的不断修正，建立考虑损伤累积效应的实时本构关系模型，并且实现破坏构件的实时删除，进行动力时程计算，获得结构考虑损伤累积效应的动力响应，提取结构节点最大位移、内力、应变和应变能等响应参数.将B-R准则与塑性应变能密度曲线相结合，判断在该特定地震加速度幅值下结构是否发生动力失稳.若不失稳，增加地震加速度幅值进行下一轮时程计算，依次循环，直到结构发生动力失效为止.

2 数值模拟

一K8型单层球面网壳结构，跨度L为40m，矢跨比f／L为1／5，如图3所示.屋面恒、活载分别为0.8kN／m2和0.4kN／m2.截面尺寸为环向梁单元为φ121×3.5，径向梁单元为φ114×3.钢材屈服强度为235MPa，弹性模量为206GPa，泊松比为0.3.节点为刚性连接，支座均为三向固定铰支座.计算中考虑几何非线性和材料非线性，杆件截面满足常规静力设计要求.

图3 网壳计算模型Fig.3 Analysis model of latticed domes

采用通用有限元软件ANSYS 14，用PIPE288单元模拟网壳杆件.PIPE288单元是根据铁木辛柯梁理论建立的具有拉压、弯曲和扭转性能的两节点空间3-D管单元，适用于线性、大转角和大应变非线性分析.MASS 21单元模拟集中作用在节点上的等效屋面质量，并将重力荷载代表值下的位移和内力作为结构时间历程开始时的初始状态.依据《建筑抗震设计规范》（GB 50011－2010），地震波三向分量峰值比例取1∶0.85∶0.65.地震波选用EL-CENTRO波，时长12s，时间间隔0.02s，加速度峰值出现在2.14s时刻.采用瑞利阻尼，阻尼比为0.02.

2.1 地震作用下结构动力失效分析

利用编制的地震作用下考虑损伤累积效应的动力失效分析程序，分别对单层网壳结构进行考虑构件损伤累积作用与不考虑构件损伤累积效应2种本构模型的动力弹塑性时程分析.不同地震加速度峰值下，结构最大位移节点位移曲线如图4所示，最大塑性杆件应变能密度曲线如图5所示.

由图4（a）可见，对于考虑损伤累积效应的单层网壳模型，当地震加速度幅值从1 000gal增大到1 050gal时，结构节点最大位移发生明显突变.由图5（a）可知，当地震加速度幅值从1 000gal增大到1 050gal时，结构杆件最大塑性应变能密度亦发生显著突变.将图4（a）和图5（a）二者结合起来，当地震加速度幅值从1 000gal增大到1 050gal时，结构发生动力失效，故考虑损伤积累效应时，该结构动力稳定临界荷载为1 000gal.

图4 地震加速度幅值-节点最大位移曲线Fig.4 Curve of acceleration peak value-maximum displacement on nodes

同理，由图4（b）可知，对于未考虑损伤积累效应的单层网壳模型，当地震加速度幅值从1 650gal增加到1 700gal时，节点最大位移增长率发生变化，但是结构总体位移不大.由图5（b）可知，此时结构杆件最大塑性应变能密度有明显突变.将二者结合起来，当地震加速度幅值从1 650gal增加到1 700 gal时，结构将发生动力失效，故不考虑损伤积累效应时，该结构动力稳定临界荷载为1 650gal.

图5 地震加速度幅值-最大塑性应变能密度曲线Fig.5 Curve of acceleration peak value-maximum strain energy density on plastic members

综上，考虑损伤累积效应时，结构的动力稳定临界荷载由未考虑损伤累积效应的1 650gal降低到1 000gal，降低幅度达到39.39%，可见损伤累积效应对结构动力失效影响显著，不容忽视.

进一步，考察上述两个结构模型塑性杆件根数、破坏杆件根数及所占比例随地震加速度幅值的变化情况，如表1所示.

表1 塑性杆件计算结果Tab.1 The result of plastic members

由表1可知，地震加速度幅值从1 000gal增加到1 050gal时，考虑损伤累积效应时，结构塑性杆件发展迅速且明显增多；结构最后破坏时塑性杆件数目占结构杆件比例达到24.12%，塑性过程发展充分.而对于未考虑损伤积累作用的结构在塑性杆件出现后，当地震加速度幅值从1 000gal增加到1 700gal时，结构塑性杆件逐渐增多，但是仍然少于前者.

通过以上地震作用下两种单层网壳本构模型对比分析可知，考虑结构损伤累积效应时，损伤使材料性能降低、刚度变小，经过内力重新分布，结构受力过程发生改变，加快了结构构件塑性发展与破坏，结构塑性过程发展充分，最终导致结构的动力稳定临界荷载明显降低，破坏时最大位移显著增大.

2.2 损伤累积效应对结构的影响分析

针对上文中的2种单层网壳本构模型分别进行动力稳定临界荷载和动力失稳荷载下的动力弹塑性时程分析，即对不考虑损伤累积效应模型分别输入地震加速度幅值1 650gal，1 700gal，对考虑损伤累积效应模型分别输入地震加速度幅值1 000gal和1050gal，结构最大节点位移时程曲线如图6（a）（b）所示.

图6 最大节点位移时程曲线Fig.6 Time history curve of the maximum displacement on nodes

由图6（a）可见，对于不考虑损伤累积模型，当结构发生动力失稳时，其节点最大位移出现在时刻2.14s，该时刻亦正是地震加速度峰值1 700gal时刻，说明结构发生动力破坏的时刻也就是地震加速度最大的时刻.

由图6（b）可见，对于考虑损伤累积效应模型，当结构发生动力失稳时，其节点最大位移出现在时刻11.00s，尽管时刻11.00s时输入的地震加速度值为189gal，仅是时刻2.14s时地震加速度峰值1 050gal的18%，但时刻2.14s时的结构最大节点位移4.564cm，明显小于时刻11.00s时的结构最大节点位移76.7cm.对比地震加速度幅值为1 000 gal和1 050gal时节点最大位移时程曲线，明显可见幅值为1 050gal时，结构在11.00s后最大节点位移明显突增.由此可见，考虑损伤累积效应后结构输入地震幅值为1050gal时在11.00s后发生动力失稳；结构损伤累积效应改变了结构最大节点位移出现的时间，结构发生动力失稳破坏的时刻并不是地震加速度最大的时刻.

进一步，针对单层网壳应变－损伤本构模型，考察动力失稳荷载1 050gal时2.14s和11.00s时刻的杆件破坏位置图和结构变形图，分别如图7和图8所示；对应时刻的结构的最大节点位移、塑性杆件根数、塑性最大杆件应变能密度如表2所示.

图7 结构动力失稳时塑性杆件、破坏杆件位置Fig.7 The damage location of plastic members and failure members as dynamic instability occur

图8 结构动力失稳时的变形图Fig.8 The structural deformation as dynamic instability occur

表2 结构动力失稳时的数据记录Tab.2 The structural data as dynamic instability occur

由图7，表2及图8均可看出，结构输入地震加速度幅值1 050gal时，即结构发生动力失稳时刻2.14s和时刻11s的动力响应，后者明显较前者加剧；由于材料损伤累积效应，导致结构变形、最大杆件塑性应变能密度、塑性杆件和破坏杆件的根数，后者较前者明显严重，最后失稳破坏杆件主要集中于结构最外环的径向杆件.究其原因，虽然时刻11.00 s时地震加速度数值仅是失稳地震加速度峰值的18%，但却由于结构的损伤累积效应作用的影响，引起剩余结构的刚度以及强度明显降低，从而使得更多杆件发生急剧塑性变形而破坏，最终无法抵抗该时刻似乎并不大的地震加速度，而发生了薄弱部位节点位移的巨大突变，导致结构动力失稳现象发生.由此说明，材料损伤积累效应引起的这种累加的不可逆损伤，将导致构件破坏，对结构动力稳定性影响严重.

综上可知，当结构遭受到一次强烈地震作用时，尽管该次地震作用下结构可能未发生动力破坏，但是由于地震作用产生了不可逆的损伤累积效应，将会使得结构若再次遭受地震（包括余震）作用，即便是小震，都有可能导致结构发生动力破坏、甚至倒塌.这与实际中震害表征现象基本一致.故考虑构件损伤积累效应对多次地震作用的结构极限承载力、失效模式的影响至关重要.

3 结 论

从考虑材料损伤累积效应的角度出发，基于塑性应变和能量损耗理论，建立应变－损伤本构模型，应用动态增量分析方法，对一Kiewitt-8型单层球面网壳结构进行地震作用下动力稳定分析，数值分析计算结果表明：

1）以B-R准则、结合最大杆件塑性应变能密度曲线作为结构动力失稳破坏的判断标准，能较准确地判断单层网壳动力稳定临界荷载.

2）考虑材料损伤累积效应时，结构的动力稳定临界荷载值降低39.39%；结构构件整个受力过程发生改变、塑性杆件数目明显增多、最大杆件塑性应变能密度显著增大，塑性过程发展充分，破坏时最大位移显著增大；故损伤积累效应对结构动力稳定性影响显著，不容忽视.建议工程设计中单层网壳动力稳定临界荷载值应考虑构件损伤累积效应.

3）构件损伤累积效应引起的累加的不可逆损伤，将使经受强震作用后的结构强度和刚度降低，使结构遭受较小地震作用时可能发生动力失效；故考虑构件损伤累积效应对多次地震作用的结构极限承载力、失效模式的影响至关重要.

4）应用应变－损伤弹塑性本构模型，以及以B－R准则、结合应变能密度曲线作为结构动力失稳破坏的判断标准，不仅能应用于单层网壳结构地震作用下动力失效研究，而且能为实际工程地震作用后的结构的修复和抗震能力的评估提供计算机仿真分析的理论基础.

［1］ 何放龙，马自克.强震作用下双层球面网壳结构非线性动力响应分析［J］.湖南大学学报：自然科学版，2007，34（10）：1－5.

HE Fang-long，MA Zi-ke.Nonlinear analysis of double-layer reticulated spherical dome under strong earthquake motions［J］.Journal of Hunan University：Natural Sciences，2007，34（10）：1－5.（In Chinese）

［2］ LOPEZ A，PUENTE I，SERNA M A.Direct evaluation of the buckling loads of semi-rigidly jointed single-layer latticed domes under symmetric loading［J］.Engineering Structures，2007（29）：101－109.

［3］ 于志伟，支旭东，范峰.单层球面网壳与支承结构整体强震失效特征［J］.哈尔滨工业大学学报，2010，42（10）：1519－1524.

YU Zhi-wei，ZHI Xu-dong，FAN Feng.Failure behavior of reticulated domes with substructures subjected to the severe earthquake［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2010，42（10）：1519－1524.（In Chinese）

［4］ 刘新东，郝际平.连续介质损伤力学［M］.北京：国防工业出版社，2011：195－240

LIU Xin-dong，HAO Ji-ping.Continuum damage mechanics［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2011：195－240.（In Chinese）

［5］ SHEN Zu-yan，DONG Bao.An experiment-based cumulative damage mechanics model of steel under cyclic loading［J］.Advances in Structural Engineering，1997，1（1）：39－46.

［6］ 范峰，聂桂波，支旭东.三向荷载作用下圆钢管材料本构模型研究［J］.建筑结构学报，2011，32（8）：59－68.

FAN Feng，NIE Gui-bo，ZHI Xu-dong.Constitutive model of circular steel tubes under complicated cyclic load［J］.Journal of Building Structures，2011，32（8）：59－68.（In Chinese）

［7］ BUDIANSKY B，HUTCHINSON J W.Dynamic buckling of imperfection sensitive structures［C］／／Proceedings of the E-leventh International Congress of Applied Mechanics.Berlin：Springer Verlag，1964：120－128.

［8］ 徐楠，王胜春，王秀叶.一种改进的当量应变能密度方法［J］.山东大学学报：工学版，2008，38（6）：118－120.

XU Nan，WANG Sheng-chun，WANG Xiu-ye.A modified equivalent strain energy density method［J］.Journal of Shandong University：Engineering Science，2008，38（6）：118－120.（In Chinese）

［9］ 李永梅，郭磊，杨博颜.地震作用下小开口Kiewitt型弦支穹顶结构的动力稳定［J］.空间结构，2011，17（4）：16－22.

LI Yong-mei，GUO Lei，YANG Bo-yan.Dynamic stability of Kiewitt suspen dome with a hole under earthquakes［J］.Spatial Structures，2011，17（4）：16－22.（In Chinese）

Dynamic Stability of Single-layer Latticed Shells Considering Damage Accumulation Effect

LI Yong-mei1，2†，HU Kun1，ZHANG Wei-jing1
（1.Beijing Key Lab of Earthquake Engineering and Structural Retrofit，Beijing Univ of Technology，Beijing 100124，China；2.Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering，Ministry of Education，Beijing Univ of Technology，Beijing 100124，China）

To address the dynamical instability of single-layer latticed shells under earthquake excitation，proceeding from the damage accumulative effect of steel material，the constructive relationship between strain and damage was first set up on the basis of the theory of both plastic strain and energy dissipation.Then，the criterion for dynamic stability by means of B-R kinetic criterion in combination with plastic strain energy density was put forward.The method of incremental dynamic analysis was used to study the dynamic stability of a Kiewitt-8type single-layer latticed shell under earthquake excitation when considering the damage accumulation effect.Finally，some conclusions are obtained that strain-damage constitutive mode can reflect the features of structural failure and greatly affect the structure，which may be helpful in engineering repair and the estimation of seismic capacity.

single-layer latticed shells；damage accumulation effect；stability；judgment criterion；earthquake effects

P315.95，TU393.3

A

1674-2974（2014）06-0016-06

2013-09-04

国家自然科学基金资助项目（51178009）；北京市教委科技重点项目（KZ201310005008）

李永梅（1971－），女，河北邢台人，北京工业大学副教授，博士后，一级注册结构工程师

†通讯联系人，E-mail：liym＠bjut.edu.cn