水平井开采延长油田底水油藏可行性分析

王卫刚 （陕西延长石油 （集团）有限责任公司研究院，陕西 西安 710075）

潘祥 （延长油田股份有限公司西区采油厂，陕西 延安 717500）

赵亚杰，姚军，刘通，高庆华 （陕西延长石油 （集团）有限责任公司研究院，陕西 西安 710075）

延长油田区域构造位置属鄂尔多斯盆地陕北斜坡中部，属陕北黄土塬区，地面海拔900～1660m，由西向东地面高程逐渐降低。其主力油层为延长组长2、长4＋5、长6油层组。长2油层组的特点是油层物性相对较好，油层含水分带性和规律性较强。构造低部位底水活跃，油层压裂改造时容易造成水窜。水平井在底水油藏的开发过程中具有生产压差小、泄油面积大的特点，能够减缓底水脊进，控制含水上升速度，增加产液量，改善开发效果［1］。预测水平井产能及变化规律的方法较多，其中比较典型的有：Joshi［2］、Giger［3］等提出的产能公式；国内李璗［4］、窦宏恩［5］、刘想平［6］等也提出了各自的稳态产能公式。这些公式在推导过程中都有一个共同的假设，即都是将水平井的三维流动简化为2个二维流动，所以得出的产能公式都是拟三维的。笔者在研究前人文献的基础上，综合采用渗流力学、油藏工程、现代数学等多学科交叉的方法进行研究，推导了底水油藏水平井的三维产能公式。在此基础上以已投产底水油藏水平井的数据为基础，验证了所推导的产能公式；并且与不完善直井对比进行了对比分析，结果表明水平井开采底水油藏是是可行的。

1 底水油藏水平井三维产能研究

水平井周围流体的流动是呈三维流动的，二维产能公式主要是将三维流动简化为2个二维流动的形式来推导的［4～6］，不能真实反映地下流体的流动规律，所以有必要进行流体三维流动规律的研究［7，8］。利用傅里叶变换及拉普拉斯变换求解水平井三维渗流控制方程组，再根据贝塞尔函数的性质对压力分布公式进行渐进分析，得到水平井的三维产能公式。

物理模型为圆柱形油藏 （如图1），径向边界圆形定压，垂向上边界封闭，下边界定压 （底水油藏），水平井位于油藏的中心，水平井距底水界面的距离为zw，水平井的长度为2L，油层厚度为h［9］。

下面求解上边界为定压边界、下边界为封闭边界油藏 （气顶油藏）的产能公式，底水油藏情形可以通过坐标变换得到。

图1 圆柱型油藏中一口水平井

1.1 假设条件

1）水平方向圆形封闭，上下界面为2个封闭的界面。

2）油藏为非均质油藏，流体单向流动，设X、Y方向的渗透率等于水平方向渗透率，Z方向渗透率等于垂直方向渗透率，即Kx＝Ky＝Kh，Kz＝Kv，…

3）水平井为均匀流线汇。4）流体微可压缩。

5）忽略重力的影响。

6）水平井产量恒定为Qh。

1.2 数学模型

根据该问题的特点，利用柱坐标系描述该类渗流问题求解比较方便。因此，给出如下不稳定渗流偏微分控制方程：

式中：Kv、Kh分别为垂直方向和水平方向的渗透率，D；p为压力，MPa；t为时间，h；φ为地层孔隙度，%；μ为黏度，mPa·s；ct为系统压缩系数，MPa－1。

将渗流方程用柱坐标形式表示［10］，式（1）变为：

将式（2）无量纲化，则变为：

式中：D为下标，无量纲。

内边界条件［10］：

式中：εD为无量纲垂向高度；zwD为水平井无量纲垂向高度。

垂向边界条件：

径向外边界条件（定压）：

采用SI单位制，定义如下无量纲量群：

无量纲压力：

无量纲坐标：

无量纲井筒半长：

式（1）～（6）构成了水平井在上边界为定压、下边界为封闭边界的圆柱体地层中的不稳定渗流控制方程组。采用积分变换进行求解，并将水平井抽象为线汇，根据叠加原理点汇积分将能够得到线汇的结果。

1.3 模型求解

采用傅里叶有限余弦变换［11］解得方程（3）的解为：

式中：I0（x）为0阶第一类修正Bessel函数；K0（x）为0阶第二类修正Bessel函数。βm为特征值，它所满足的方程为sinβm＝0，解得βm＝mπ，m＝0，1，2，…。

对式（7）进行傅里叶逆变换可得点汇解：

根据叠加原理［11］可得到无量纲线汇井壁压力分布公式：

若在［－1，1］上对式（10）进行算术平均，可得到均匀流量线汇井壁压力分布公式如下：

式中：pwD为无量纲井壁压力。

计算式（11）中的二重积分可得：

式中：Ii1（x）为关于Bessel函数I0（x）的一次重复积分；Ki2（x）为关于Bessel函数K2（x）的一次重复积分。

当水平井的长度大于一定值时（一般的水平井长度都满足），为了得到更加实用的公式，式（14）中的无穷级数的和可以忽略，则式（14）变为：

水平井的井筒半径rwD相对于水平井的长度很小，所以式（15）可近似为：

将无量纲量代入式（16）有：

式（17）即为上边界为气顶、下边界为封闭油藏水平井的压力分布公式。

如果油藏的纵向边界上边界为封闭、下边界为恒压，即底水油藏，则可通过坐标变换（z′w＝h－zw），将式（17）变换为底水油藏水平井的压力分布，即

将无量纲井壁压力pwD量纲化，又因为水平井长度L＝2a，代入式（18）可得底水油藏水平井的产量公式：

式中：Qh为水平井产量，m3/d；L为水平井长度，m；rw为水平井井筒半径，m；h为地层厚度，m；pwf为井底流压，MPa；pi为地层压力，MPa；Bo为体积因数，1；μo为油的黏度，mPa·s。

2 三维产能公式的验证

验证底水油藏三维公式，所需的油藏及水平井的参数如表1所示。

表1 油藏及油井参数

运用式 （19）进行计算，并将计算结果与Joshi公式及刘想平三维产能公式的计算结果进行比较，列于表2中。

表2 不同产量公式的计算结果

由表2可以看出：当生产压差为4.57MPa和5.90MPa时，公式 （19）计算结果的相对误差分别为－3%和3%，误差合理，精度较高，因此可以用公式 （19）来预测水平井的产能。

3 水平井开采底水油藏的可行性

在底水油藏水平井产能研究的基础上，通过对比水平井与直井开采底水油藏的产能、临界产量、底水突破时间，来说明水平井相比不完善直井在抑制底水锥进方面的优势。

3.1 水平井抑制底水脊进研究

针对直井开采底水油藏带来的困难，为了抑制底水锥进，改善底水油藏的开发效果，利用水平井技术抑制底水锥进，开采底水油藏。

3.1.1 水平井的临界产量

根据前面所推导的底水油藏水平井产能公式 （19），参考刘良跃等［12］、范子菲等［13］提出的水平井临界产量计算方法，可得到底水油藏水平井的临界产量公式：

式中：Qhoc为水 平 井 临 界 产 量，m3/d；rw为 水 平 井 井 筒 半 径，m；ρw为 水 的 密 度，g/cm3；ρo为 油 的 密度，g/cm3。

3.1.2 水平井的底水突破时间

对于底水油藏水平井的突破时间，很多人进行了研究。Ozkan等［14］提出了在无限大各向异性底水油藏中水平井的底水突破时间计算公式：

式中：tBT为水平井底水突破时间，d；tDBT为无量纲水平井底水突破时间。

3.2 水平井与直井产量的比较

用公式计算了水平井的产能，并与完善直井的产能进行了比较，如图1所示。

表3 油藏及油井参数

由图2可见：当水平井长度大于50m左右时，水平井的产能都高于完善直井的产能。可见水平井与完善直井相比，满足一定的条件，其增产效果是无疑的。

图2 水平井与直井的产能比随水平井长度的变化

图3 水平井与直井底水突破时间比较

结合非完善直井—水平井的产能比较，对于底水油藏，在同样的压差下，与非完善直井相比，水平井能获得更高的产量，也就是说，在相同的产量下，与非完善直井相比，水平井需要的较小的压差，引起的底水脊进较弱。

3.3 水平井与直井底水突破时间的比较

为了说明底水油藏开发过程中，在抑制底水锥进方面，水平井优于不完善直井，计算对比了水平井与直井的底水突破时间，如图3所示。由图3可知：不完善直井的底水见水时间，明显比水平井的见水时间短，这进一步说明水平井在抑制底水脊进方面优于不完善直井。

3.4 可行性分析

综合产能、临界产量、底水突破时间三方面的对比研究，结果显示水平井在抑制底水锥进方面优于不完善直井，所以应用水平井来开采底水油藏、挖潜底水油藏的剩余油具有不完善直井不可比拟的优势，是完全可行的。

4 结论与认识

1）根据延长油田长2底水油藏的特点，在分析前人产能公式的基础上，利用傅里叶变换及拉普拉斯变换求解了水平井三维渗流模型，得到了新的底水油藏水平井三维产能公式。

2）通过实例验证了新的三维产能公式，结果表明：三维产能公式有较高的精度，可以应用于水平井的产能预测。

3）通过与不完善直井进行对比分析，结果表明：水平井底水突破时间远远长于不完善直井的突破时间，应用水平井开采底水油藏具有直井不可比拟的优势。

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［编辑］ 黄鹂