二阶线性系非振动的充要条件

陈敏，王晶海

（1.福建工程学院 数理系，福建 福州350118；

2.福州大学 数学与计算机科学学院，福建 福州350116）

1 预备知识

关于系统振动与非振动的研究很多［1-5］，其中绝大部分是研究振动的，结论一般是振动的充分条件.本文给出非振动的充要条件及一个充分条件.考虑如下二阶周期系数线性系

定理A 或者式（2）的所有非零解都只有有限个零点，或者式（2）的所有解都有无穷多个零点［6］.

定义1 若式（1）的所有非零解都只有有限个零点，那么称式（1）是非振动的.若式（1）的所有解都有无穷多个零点，那么称式（1）是振动的.

由于式（1）的非振动行可归结为式（2）的非振动性，所以文中只讨论式（2）的非振动性.

2 结论及其证明

定理B［6］式（2）非振动的充分且必要条件是对一切连续可微的π周期函数W（t）恒有

定理1 式（2）非振动的充分且必要条件是存在一个连续可微的π周期函数φ（t），使

证明 充分性 .设Q（t）≤φ′（t）-φ2（t），于是对任意连续可微的π周期函数W（t）有

必要性 .设式（2）非振动.由文献［6］可知式（2）存在一个非零解实解X（t）及一个正数ρ，使

式（4）中：ρ实为式（2）的特征乘数 .

可以肯定，对任意t∈R，X（t）≠0，若不然，可设X（t0）＝0，那么，对任意自然数n有，X（t0＋nπ）＝ρn·X（t）＝0，这与式（2）非振动矛盾.所以X（t）没有零点.

注1 若取ψ（t）＝φ（t）＋c，c＞0常数且使2φ（t）-c＜0，则易证Q（t）＜ψ′（t）-ψ2（t）.

3 实例验证

引理1 若式（3）非振动，且f（t）不恒等于0，则必有λ＜0.

证明 由引理1可知，存在连续可微π周期函数φ（t），使

Mathieu方程x″＋（λ-cos 2t）·x＝0的最小特征值是λ0≈-0.122［7］，由文献［6］可推断式（8）是振动的.由此可见定理1与定理2并非是粗糙结论.

例3 考虑二阶线性系

［1］ PHILOS C G.Oscillation theorems for linear differential equations of second order［J］.Arch Math，1989，53（1）：482-492.

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［3］ YU Jian-she，WANG Zhi-cheng.Some further results on oscillation of neutral differential equations［J］.Bull Austral Math Soc，1992，46（1）：49-157.

［4］ GUORI I.On the oscillatory behavior of solutions of certain nonlinear and linear delay differential equations［J］.Nonlinear Analysis，1984，8（1）：429-439.

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［6］ MAGNUS W，WINKLER S.Hill′s equation［M］.New York：Interscience Publishers，1966：23-28.

［7］ National Bureau of Standards.Table relating to mathieu function［J］.New York：Columbia University Press，1951：86-97.

［8］ 史金麟.周期系数二阶线性微分方程的稳定性［J］.数学物理学报，2000，20（1）：130-139.

［9］ 张俊祖，葛键.关于二阶线性齐次微分方程解的非振动性研究［J］.西安联合大学学报，2001，4（2）：40-43.

［10］ 孔淑霞.二阶线性微分方程解的振动性［J］.衡水学院学报，2010，12（1）：1-4.