一类p-Laplacian方程周期解的存在唯一性

严树林，李志艳，葛渭高

(1.常州工程职业技术学院基础部，江苏常州213164)(2.河海大学常州校区数理部，江苏常州213022)(3.北京理工大学数学学院，北京100081)

近年来，二阶微分方程周期解的存在性得到了广泛研究［1-10］。最近，有学者研究了带 p-Laplacian算子的微分方程周期解的存在性及唯一性.例如，文献［4］中研究了方程 (φp(x′))′+f(t，x′)+g(t，x)=e(t)，得到了一些好的结果.受文献［4］的启发，文中进一步研究一类更广泛的二阶p-Laplacian方程的周期解，其中φp(u)=|u|p-2u，p ＞ 1，f(t，·，·)关于t是周期为T的连续函数，e是周期为T的连续函数，显然文献［3］是本文的特例.文中推广和改进了已有文献的结果.

1 主要引理

对于周期边值问题

式中:f∈ C(R3，R).为方便起见，记.下面的引理1是文中的重要依据.

引理1［7］假设 Ω 是中的有界开集且下列条件满足

(A1)对于 ∀λ ∈(0，1)，方程(φp(x′(t)))′=λ~f(t，x，x′)，x(0)=x(T)，x′(0)=x′(T)在∂Ω上无解;

(A2)定义函数满足F(r)F(-r)＜0，其中r＞0.

对于 t∈ (0，T0)，有 |y(t)|≤ D，其中

为行文方便，列出下列假设，在第2节中，它们将被用来研究方程(1)的T-周期解.

［H1］假设存在常数 d ＞ 0，使得 f(t，x0，0)＞|e|0，∀x0＞ d;

［H2］假设存在常数 d ＞ 0，使得 f(t，x0，0)＜-|e|0，∀x0＜-d;

［H3］f有分解式 f(t，x，x′)=g(t，x)+h(t，x，x′)，其中 g，h 分别满足 x［g(t，x)+h(t，x，0)-e(t)］＞ 0，当x ≥d时;h(t，x0，x1)≤m1|x0|p-1+m2|x1|p-1+m3，m1，m2，m3为非负常数;

［H4］f(t，x，x′)关于 x 单调递减.

2 主要结论

定理1 假设条件［H1］～［H3］满足，则方程(1)至少有1个T-周期解;当p≥2且条件［H4］成立时，方程(1)的解是唯一存在的.

证明:记~f(t，x，x′)=f(t，x，x′)-e(t)，设x是方程(φp(x′))′= λ~f(t，x，x′)，λ ∈ (0，1)的解，即

令φp(x′)=y，方程(3)等价变形为如下方程组

式中φq(s)为φp(s)的反函数.设t是0x(t)的最大值点，即x(t0)=mtaRx x(t)，显然x′(t0)

∈=0，又y(t0)= φp(x′(t0))=0，可证，y′(t0)≤0.假设y′(t0)＞0，则由极限保号性知，∃σ ＞0，当t∈［t0，t0+ σ］时，y′(t)＞ 0，即y(t)＞ y(t0)=0，t∈［t0，t0+σ］，又x′(t)= φq(y(t))＞ 0，得x(t)在［t0，t0+ σ］上单调递增，故 x(t)＞ x(t0)=0，t∈［t0，t0+σ］，显然这与x(t)在t0取最大值矛盾，所以假设不成立，即y′(t0)≤0成立.

由方程(4)的第2个方程y′(t)的表达式，可知

即 f(t0，x(t0)，0)≤ e(t0)≤|e|0，由假设［H1］可得

-d＜x(t1)≤x(t)≤x(t0)＜d

故(φp(x′))′= λf(t，x，x′)的解 x(t)有界，且

下证x′(t)也是有界的.，由方程(4)的第2个方程知

由引理2知，|y(t)|≤D2=D1em2T.

若0≤t≤t2，有0≤t2≤t+T≤2T，由y(t)的T-周期性及假设［H3］可得

由式(9)及0≤t≤t2，有|y(t)|=|y(t+T)|≤.即对于0 ≤t≤t2，有|y(t)|≤ D3=2D1em2T，由于 D2≤ D3，由式(8，9)可得，即‖x′‖∞≤，所以，即(φp(x′)′=的解 x(t)是有界的，i.e.，‖x‖ ＜ M，取 Ω ={x∈ Χ:‖x‖ = ‖x‖∞+‖x′‖∞＜ M}.

显然方程(4)在∂Ω上无解，即引理1的条件(A1)满足.

对于x=±M∈R，x∈∂Ω且M ＞d，由假设［H3］有

即引理1的条件(A2)满足，由引理1的结论可知，方程(1)在Ω内存在一个解.

下证p≥2且假设［H4］满足时方程(1)的解还是唯一存在的.

设x1(t)，x2(t)为方程(1)的两个周期解，且y1(t)= φp(x′1(t))，y2(t)= φp(x′2(t))，同时，

令u(t)=x1(t)-x2(t)，v(t)=y1(t)-y2(t)，由x′=φq(y)及方程(4)可得

下用反证法证明对于t∈［0，T］，u(t)≤0成立.

证明:假设∃t0∈［0，T］使得u(t0)=max u(t)=x1(t0)-x2(t0)＞ 0，则

u′(t0)= φq(y1(t0))-φq(y2(t0))=0，即y1(t0)=y2(t0)，且u″(t0)≤0，由于p≥2，q≤2，且定义当u=0，q=2时，|u|q-2=1;当u=0，q ＜ 2时，|u|q-2=+∞.

由假设［H4］及y1(t0)=y2(t0)有

这与u″(t0)≤0矛盾，故u(t)≤0.

综上所证，方程(1)在p≥2及［H4］成立时，有且仅有一个周期解.定理1得证.

References)

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