不连续治疗策略下一类非线性SIR模型的全局稳定性

杨 梅，孙福芹

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

不连续治疗策略下一类非线性SIR模型的全局稳定性

杨 梅，孙福芹

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

研究一类具有不连续治疗策略和非线性发生项的SIR模型。首先运用右端不连续的微分方程理论定义模型的Filippov解，然后证明该模型的全局行为由阈值R0确定，即当R0≤1时，无病平衡点全局渐近稳定。

Filippov解；不连续治疗策略；基本再生数；全局渐近稳定

用微分方程描述数学模型是研究传染病动力学的一种经典方法。Kermack和Mckendrick在1926年构造了著名的SIR仓室模型，后于1932年提出了SIS仓室模型，并提出为传染病动力学研究奠定基础的“阈值理论”。近年来，对于带有一般发生项的SIR模型，被许多学者广泛研究，并获得了阈值定理[1-5]。对有些传染病，如流感、肺结核等，治疗是控制它们传播的一个重要因素。文献[4]和文献[5]分别研究了治疗资源有限以及常值治疗的情况下系统的全局性态。在文献中，治疗策略关于感染者人数都是连续的，而在流行病的传播过程中，在各个时间区域内，专业人员会根据相关数据采取相应的治疗措施。因此，为提高流行病的防治效率，考虑具有不连续的治疗策略的传染病模型是必要并且具有实际意义的。然而这方面的研究结果相对较少，本文考虑将不连续的治疗策略引入文献[1-2]中经典的SIR模型，给出了一类具非线性发生项的SIR模型的无病平衡点的全局渐近稳定性条件。

1 模型

文献[1-2]中研究了经典的具非线性发生项的连续SIR模型：

式中：S、I、R分别表示易感者、感染者、康复者在人口中所占的比例；μ＞0表示出生率，同时也表示死亡率；σ＞0表示感染者的自然康复率；f（S（t），I（t））表示非线性发生率。

本文讨论非线性发生率f（S（t），I（t））为S·g（I）的形式，并将不连续治疗率函数h（I）引入系统（1）得到的模型：

由于前2个方程与变量R（t）无关，因此仅需考虑下面的二维系统：

初始条件为：

在适当假设下，引入系统（3）的基本再生数R0后，我们将证明当R0≤1时，系统无病平衡点的全局渐近稳定性。

2 基本假设和主要结论

关于函数g，h，这里首先给出如下假设：

（H1）函数g（I）二次连续可微，满足g（O）=0，当I≥0时，g′（I）＞0，g″（I）≤0，且使得函数Φ（I）=g（I）/I有界。

（H2）h（I）=φ（I）·I，其中φ∶R+→R+为单调不减且分段连续的函数，即除了可数个孤立的点{ξk}外，在其它点处都连续，在这些孤立的点处的左右极限和满足。并且，对R+的任意一个紧子集，φ在其上只有有限个不连续点，并假设φ在I=0处连续。

现给出系统（3）在初始条件（4）下的Filippov解的定义：

定义1[10]设定义在区间[0，T），T∈（0，+∞]上的向量函数（S（t），I（t））。若在[0，T）的任意子区间[t1，t2]上，（S（t），I（t））绝对连续，S（0）=S0≥0，I（0）=I0≥0，并且对几乎所有的t∈[0，T），（S（t），I（t））都满足如下微分包含：

由右端不连续微分方程的平衡点的定义，若常数解（S（t），I（t））=（S*，I*），t∈（0，+∞]为（3）的平衡点，当且仅当

由可测性选择定理[6]易知，存在唯一的常数ξ*= S*g（I*）-（μ+σ）I*满足

故要求出（3）的平衡点，只需求解如下微分包含：

在假设（H1）和（H2）下，根据文献[7-10]，可证明如下引理：

引理1[7，8，10]设（S（t），I（t））为（3）满足初始条件（4）的定义在区间[0，T），T∈（0，+∞]的解，则对∀t∈[0，T），都有S（t）≥0，I（t）≥0。

引理2[9，10]在初始条件（4）下，模型（3）至少存在一个解（S（t），I（t）），并且，任意解都有界，从而在区间[0，+∞）上有定义。

记基本再生数为R0=g′（0）/[μ+σ+φ（0）]，关于无病平衡点E0=（1，0）的全局渐近稳定性，有以下结论。

定理 当R0≤1时，无病平衡点E0是全局渐近稳定的。

3 定理的证明

易知R0＜1时，系统（3）的特征根全为负值，因此E0局部渐近稳定。而当R0＞1时，它变为不稳定。接下来考察当R0≤1时，系统在E0处的全局渐近稳定性。

将E0移到原点处，作变换x=S-1，则（5）变为：

取Lyapunov函数：V（x，I）=x2/2+I，则V在第一象限内是关于变量（x，I）的光滑且正定函数。可取充分大的数l，使集合｝有界。记

易知G为一具有非空紧凸像的上半连续集值映射。任取v=（v1，v2）∈G（x，I），由可测性选择定理[6]，存在一个与（x（t），I（t））相对应的可测函数η（t）∈，使得对几乎所有的t∈[0，T），有

下面沿着系统（6）的解计算▽V（x，I）·v，

由于Φ′（I）=[g′（I）I-g（I）]/I2，由假设（H1）知g（0）=0，g″（I）≤0，因而Φ′（I）=[g′（I）I-g（I）]/I2≤0，进而知Φ（I）=g（I）/I单调递减。又因为当I＞0时，Φ（I）=g（I）/I有界，所以

又因为η（t）≥φ（0），所以

当R0＜1时，集合当R0=1时，若x=x（t）≡0，则有I=I（t）≡0。对∀l＞0，ZV∩Ll的最大弱不变子集为{（0，0）}。所以，根据不变性原理及其推论（文献[10]中定理4.3.1和推论4.3.2）可知，当R0≤1时，（0，0）全局渐近稳定，从而系统（3）的无病平衡点E0也是全局渐近稳定的。

4 结束语

本文讨论了一类具非线性发生项S·g（I），且具有不连续治疗策略h（I）的SIR模型。结合不连续系统的稳定性理论，证明了当R0≤1时，无病平衡点E0的全局渐近稳定性。将不连续治疗策略引入经典的传染病模型，对于提高传染病的防治效率以及减少花费，具有深远意义，目前这一课题的研究结果相对较少，还需进一步研究。

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Global stability of SIR model with nonlinear incidence and discontinuous treatment

YANG Mei，SUN Fu-qin
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A class of SIR model with discontinuous treatment and nonlinear incidence is proposed.Firstly，we define the Filippov solution of the system by using the theory of the differential equations with discontinuous right-hand side.We prove that the global dynamics of each discontinuous SIR model is fully determined by a single threshold parameter R0，which indicates that the unique disease-free equilibrium is globally asymptotical stable if R0≤1.

Filippov solution；discontinuous treatment strategies；basic reproduction number；globally asymptotical stability.

O175

A

2095－0926（2014）03－0036－03

2014-03-07

天津市科技发展基金资助项目（20081003）.

杨 梅（1989—），女，硕士研究生；孙福芹（1970—），男，教授，博士，研究方向为偏微分方程及其应用、生物数学及动力系统等.