基于LSSVM-ARMA 模型的基坑变形时间序列预测

曹 净，丁文云，赵党书，宋志刚，刘海明

（昆明理工大学 土木工程学院，昆明 650500）

1 引言

随着基坑工程向更大、更深、更复杂的趋势发展，支护技术难度越来越大，基坑变形对周边环境的影响也更加突出，如何准确预测和有效控制基坑变形以保证周边环境安全，已成为基坑工程亟待解决的问题。

基坑变形是支护系统内部复杂力学机制的宏观反应，蕴含了内部力学演化信息，故期望从中找出演化规律，利用已知的监测数据预测未来的发展动态，进而反馈于原设计，及时调整施工方案或采取相应处理措施。该方法能避开复杂的基坑变形内在机理，成为基坑信息化动态控制的有效途径[1]。然而，基坑工程是一种特殊的地下空间工程，其特点之一是以岩土体为工程材料，以岩土体天然或人工结构为工程结构。由于岩土体是一种非均质各向异性的弹塑黏性体，地质条件的复杂性，使其力学参数和力学现象具有很强的随机性和不确定性，导致基坑变形预测问题具有一定的难度。

基坑开挖是一个复杂的土体卸荷过程，卸荷是导致基坑变形的直接原因。此外，基坑变形还受工程地质条件、场地环境条件、支护设计类型、面积尺寸、形状、开挖深度、地面荷载、施工方法、施工进度、时间和温度等多种因素影响[2]，使其除了具有岩土力学变化的内在趋势外，通常还带有一定的随机性，即基坑实测变形序列包含趋势项和随机项，其中，趋势项体现了基坑变形的主要规律，是变形预测的主要依据，属于非平稳系列；随机项属于噪声系列，具有一定的平稳性，是影响单一预测方法精度的主要原因之一，若剔除该部分信息，则会降低预测结果的精度和真实性。在基坑变形预测过程中，对趋势项和随机项应分别进行预测分析。

近年来，人工神经网络[3]、灰色系统理论[4]、时间序列分析[5]和支持向量机[1]等单一模型或其组合模型[6－7]被成功用于基坑变形时间序列预测。但这些预测方法在预测过程中没有充分考虑和区分趋势项和随机项的特点及影响，或多或少存在着相对简单，各有特点和适用场合，不能充分挖掘原始数据信息，预测精度有待提高的缺点[8]。

基于上述基坑变形预测的难点及现有方法的不足，本文结合小波变换、粒子群优化的最小二乘支持向量机（PSO-LSSVM）和自回归移动平均模型（ARMA）建立了联合的预测方法和模型，能增强对基坑复杂动力系统的适应和处理能力，取得较好的预测效果。

2 基坑变形预测思路

小波分析技术是近年发展起来的一种时频分析方法，在降噪领域得到很好的应用。本文通过小波变换将基坑实测变形时间序列过滤成平滑的趋势时间序列，利用非线性的预测方法构造趋势时间序列预测模型。为了减少原始变形时间序列中的信息丢失，针对过滤出的噪声序列即随机时间序列也建立相应的预测模型，最后将趋势时间序列和随机时间序列的预测值求和作为最终预测结果。如何构造2个子序列的预测模型是整个预测过程中的关键。

由Vapnik 等[9]提出的支持向量机（SVM）在时间序列预测方面已显示出一些优越性，其特点是遵循结构风险最小化原理，使得它具有更好的泛化能力，并能得到全局最优解。但SVM 的训练需要求解2 次规划问题，影响了它的计算速度。为此，Suykens 等[10]提出了最小二乘支持向量机（LSSVM）方法，利用最小二乘法将二次规划问题转化为线性方程组求解，提高了学习速度。而LSSVM 的预测精度过度依赖于其参数的选择，其取值主要依据经验与试算，没有统一的规则。粒子群(PSO)算法[11]是基于种群的并行全局搜索策略，概念简单易于实现，且没有许多参数需要调整，具有更快的收敛速度，对处理高维问题也有一定的优势，被广泛用于支持向量机参数寻优。本文利用粒子群算法对LSSVM 参数进行优化，并建立PSO-LSSVM 模型对趋势时间序列进行滚动预测。另外，由于随机时间序列具有一定的平稳性和随机性，而ARMA 模型能够有效地处理该特性，因此将其用于随机时间序列预测。

本文将小波变换、LSSVM和ARMA 模型结合在一起，考虑了随机序列的影响，使预测结果更接近实际，并针对趋势序列和随机序列的不同特点分别采用不同的方法进行预测分析，总体思路如图1所示。

图1 预测流程图Fig.1 Flowchart of forecast

3 LSSVM-ARMA 模型

3.1 基本理论

3.1.1 小波变换

设函数ψ(t)为一平方可积函数，若其傅里叶变换ψ(w)满足如下的容许条件：

则函数族 ψ(t)可以按不同的尺度α和不同的平移β 产生函数族：

式中：α为尺度因子；β为平移因子。小波变换的实质就是将一原始时间序列 f(t)表示为函数族的加权和，即

由于小波变换后得到的时间序列比分解前的时间序列点数少，点数的减少对预测是不利的。所以，采用重构算法对小波变换后的时间序列进行重构以增加点数，其重构算法为

在小波变换中，分解层数不宜过少，也不宜过多。为保证趋势时间序列的平滑度，本文采用DB4正交小波[12]对实测变形时间序列进行2 层分解。

3.1.2 LSSVM 理论

对于一个给定的样本集(xi,yi)，i=1,2,…,l，xi∈ Rn， yi∈ R，用非线性映射 φ(·)把样本集从输入空间映射到特征空间，然后在高维特征空间中进行线性回归：

根据结构风险最小化原理，回归问题可以转化为

约束条件：

式中：w为LSSVM 的权值系数；b为常值偏差；c为惩罚因子；ξi为松弛因子。

为求解该约束的最优化问题，通过引入拉格朗日函数，由KKT 条件求解。最终可得到如下的LSSVM 回归函数模型：

式中： δi为拉格朗日乘子；K(x,xi)为核函数。LSSVM 常用的核函数有径向基函数、多项式函数、线性函数等。研究表明，径向基函数具有较强的泛化能力[13]，因此本文选用径向基核函数，其表达式为

LSSVM 的主要参数包括核函数参数σ和惩罚参数c，本文采用PSO 算法进行优选。

3.1.3 PSO 理论

PSO 算法是基于群体智能理论的一种进化计算方法，其基本思想是通过群体中个体之间的信息传递及信息共享来寻找最优解。设粒子群群体规模为M，每个粒子在D 维空间飞行，初始速度Vi={vi1,vi2,…,vid}，初始位置为一随机变量Ui=[ui1,ui2,…,uid]，i=1,2,…,M，d=1,2,…,D，则每个粒子是通过2个“极值”来寻找最优解，一个是粒子本身的最优解pbesti，用Pi=[pi1,pi2,…,pid]表示，另一个是整个种群目前的最优解gbest，用Pg=[pg1,pg2,…,pgd]表示。根据粒子适应度值，即可得到如下的粒子更新的速度和位置，直到符合终止条件：

式中：k为迭代次数；c1、c2为学习因子；r1、r2为[0,1]之间的随机数；ω为惯性权重系数。

本文需要优化的LSSVM 参数为[σ，c]，因此取D=2。由于粒子群算法对群体规模的大小并不十分敏感，通常取10～40，本文取M=30。迭代次数可自由设定，本文取kmax=200。对于学习因子，c1值较小会导致粒子缺失认知能力，c2值较小会降低粒子间的信息共享能力，二者通常取0～2，大多数文献根据经验一般都取2，本文取c1=1.5，c2=1.7。对于惯性权重系数，较大的ω 值有利于跳出局部极小点，提高算法的全局搜索能力，而较小的ω值有利于算法收敛，本文取ω=0.5，变化范围为0.1～1.0。构建学习样本均方根误差eRMSE作为LSSVM 的适应度函数和PSO 算法的目标函数：

式中： zi为实测值；为预测值；N为预测样本数量。

当LSSVM 的eRMSE最小时，对应的[σ，c]即为最优参数。具体优化步骤：①初始化粒子群参数；②评价各粒子的适应度，即计算式(6)的值，将其作为适应度函数：F(u)=F(σ,c)=eRMSE；③将每个粒子的当前适应度值F(ui)和自身最优适应度值F(pbesti)对比，如果F(ui)

3.1.4 ARMA 模型

ARMA[14]模型的基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t 的一组随机变量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述。其3 种基本类型是：自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型以及自回归滑动平均(ARMA)模型，前两者是后者的特殊情况。ARMA 模型中，时间序列值yt是当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，可表示为

记为ARMA(p,q)，式中：φ1,φ2,…,φp为自回归系数；θ1,θ2,…,θq为滑动平均系数；它们都是模型的待估参数；p、q为系数的阶数；ut,ut-1,…,ut-q为相互独立的白噪声序列。如果原序列非平稳，经过d 阶逐期差分后平稳，则原序列可表示为ARIMA(p,d,q)模型。ARMA 模型建模步骤如下。

①平稳化检验及平稳化处理

绘制时间序列的自相关和偏相关分析图，若序列不满足平稳性条件则对序列差分或对数差分使其自相关系数和偏相关系数都很快趋于0，确定差分阶数d。

②模型识别

若序列的自相关系数、偏自相关系数均呈衰减正弦波并趋向于0，表现为拖尾性，则根据其拖尾起始位置，估计p和q 的可能取值，初选模型ARIMA(p,d,q)。

③参数估计及检验

用步骤②中满足过程平稳要求的初选模型建模，并确定Adjusted R-squared 值最小、AIC(akaikeinfo criterion)和SC(schwartz criterion)值最大的模型为该序列的最佳模型。

④模型检验

对模型的残差序列进行白噪声检验，验证残差序列的随机性。

⑤模型预测分析

扩展样本期至预测期，得到预测期内样本的预测值。

⑥同类序列建模预测

该类中的其他时间序列用同一ARMA 模型进行建模预测。

3.2 预测方法

首先，利用DB4 正交小波将基坑实测变形时间序列分解、重构成一个更加平滑的趋势时间序列和2个随机时间序列，其中趋势时间序列保留了基坑工程施工过程中的理论力学演化信息，随机时间序列即为过滤掉的噪声。

针对趋势时间序列，在建立预测模型之前，首先利用相空间重构理论对实测数据进行预处理，其基本思想是将输入空间的数据通过某种方式扩展到高维空间，进而在高维空间中提取数据中蕴含的信息和规律。Takens 证明了可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数m≥2d+1，d为动力系统维数，则可以在这个嵌入维中将有规律的吸引子恢复出来[15]。设时间序列x(1),x(2),…,x(t)，通过相空间重构理论，可以得到新的数据空间：

式中：m为嵌入维；τ为时间延迟。如何选择恰当的嵌入维数和延迟时间是相空间重构的重点。本文采用C-C 方法来确定相空间重构过程中的参数，其计算原理可参考文献[15]。对于相点X(1),X(2),…,X(N)，建立PSO-LSSVM 模型对相点序列进行训练，寻找相点间的变化规律F，通过F 求出时间序列的下一个预测相点。在预测过程中时，为了充分利用最新信息，提高预测变形的准确性，采用滚动预测的方法，假设要对时间序列{ xi}进行预测，最佳历史点数为p，预测的步数为q(p、q 根据实际问题确定)，目前已经获得n个时间序列{x0,x1,…,xn-1}，滚动预测的第一步是用n个时间序列的{xi,xi+1,…,xi+p-1,xi+p}，(i=0,1,2,…,n-p-1)n-p 组时序预测n时刻后的{xn,xn+1,…,xn+q-1}q个时序；随着后面q个时序的获得，用q个新的时序替代前面的{x0,x1,…,xq-1}q个时序进行下一步预测，得到下一次的q个预测值，依次类推。

针对随机时间序列，直接利用ARMA 模型预测其未来值。最后将趋势时间序列和随机时间序列的预测值求和作为最终预测结果。该预测方法的特点是针对实测变形时间序列中各个子序列的特征分别建立不同的预测模型，从而达到分而治之的目的，使得预测结果更加准确。

4 工程实例分析

利用上述方法对昆明某基坑工程的深层水平位移进行预测分析。该基坑最大开挖深度约为11 m，采用桩锚支护方式，场区地下分布有稍密粉土、软塑黏土、有机质土和泥炭质土，基坑支护难度大。为确保基坑与周围建筑物的安全，在基坑施工过程中针对深层水平位移等内容进行了实时实测。基坑深层水平位移测点布设在基坑周边支护桩内，共计30个点。

选取基坑4-4 剖面的测孔SCW15 对应2.5 m 测试深度的实测数据为例说明其预测方法。该剖面的开挖深度为10.95 m，共4 排锚索，9个工况。由于实测数据并非完全等时间采取，而时间序列分析对数据序列有等时距要求，因此需进行插值处理。为保证原数据序列的变形规律，减少插值影响，本文选择进行分段线性插值，插值后1～9 工况分别对应6、8、9、5、13、3、10、5、5 组数据，共计64 组。4-4 剖面深层水平位移实测变形曲线和插值变形曲线如图2 所示。首先利用1～3 工况的实测数据建模预测第4 工况的未来变形量，然后利用2～4 工况的实测数据建模预测第5 工况的未来变形量，依次类推，以实现利用前期工况最新实测数据滚动预测后期工况变形量。

图2 4-4 剖面实测变形曲线和插值变形曲线Fig.2 Deformation curve of profile 4-4

（1）利用工况1～3 实测数据建模预测第4 工况未来变形量

以工况1～3 的23 组变形数据作为学习样本，以4 工况的5 组数据作为检测样本，利用DB4 正交小波将工况1～4 的28 组数据进行2 层分解重构，结果如图3 所示。其中，对于趋势序列a2，采用相空间重构预处理，建立PSO-LSSVM 模型进行滚动预测：首先利用工况1～4 的1～24 组数据进行相空间重构（重构过程中默认第24 组数据为未知量），在相点间建立预测模型，并预测输出第24 组数据；然后，利用2～25 组数据进行相空间重构（其中第24 组数据采用预测值，同样默认第25 组数据为未知量），建模预测输出第25 组数据；依次类推，滚动预测工况4对应其施工时间段的5组未来变形量。对于随机序列d1、d2，利用ARMA 模型进行动态预测，根据序列相关图确定d1、d2的预测模型分别为ARMA(4,1)和ARMA(2,1)。最后将趋势时间序列和2个随机时间序列中对于第4 工况的变形量预测值求和，作为最终预测结果。第4 工况预测结果见表1（预测值1和相对误差1），对比结果如图4 所示。为验证LSSVM-ARMA 组合模型预测效果，不再采用小波变换，直接利用LSSVM 单一模型对第4 工况未来变形量进行预测，结果见表1（预测值2和相对误差2）。

图3 4-4剖面1-4工况变形序列小波分解重构Fig.3 Wavelet-decomposed results of working conditions 1-4

图4 4-4 剖面4～6 工况预测结果对比Fig.4 Forecast results of working conditions 4-6

（2）其余工况外推预测

基于相同方法和步骤，分别利用2～4、3～5、4～6、5～7、6～8、7～9 工况实测数据建模预测第5、6、7、8、9 工况未来变形量，预测结果见表1，对比结果如图4、5 所示。同样，利用LSSVM 模型再次进行预测分析，并与本文组合模型预测结果进行对比，结果见表1。

由表1 可知，采用本文方法，基坑4-4 剖面的4～9 工况变形量预测值相对误差范围为0.08%～18.76%，平均值为10.04%；采用LSSVM 模型的预测值相对误差范围为0.52%～28.31%，平均值为10.94%，说明LSSVM-ARMA 模型具有较好的预测效果和精度。

表1 4-4 剖面4～9 工况变形量预测结果Table 1 Forecast results of working conditions 4-9 in section 4-4

为了充分验证该模型的预测性能，基于4-4 剖面的变形预测过程，利用相同方法和步骤，选择基坑中另外2个剖面的深层水平位移实测数据进行预测分析。

图5 4-4 剖面7～9 工况预测结果对比Fig.5 Forecast results of working conditions 7-9 in section 4-4

（1）7-7 剖面（测孔SCW17，5 m 测试深度）

该剖面开挖深度为9.7 m，共3 排锚索，7个工况。采用分段线性插值法重新生成变形时间序列，1～7 工况分别对应8、17、15、4、2、9、12 组变形数据，共计67 组。该剖面深层水平位移实测变形曲线和插值变形曲线如图6 所示。分别利用工况1～3、2～4、3～5、4～6 实测数据建模预测第4、5、6、7 工况未来变形量，预测结果对比如图7 所示。其中，采用本文组合模型，4～7 工况变形量预测值相对误差范围为1.12%～10.73%，平均值为5.73%；采用LSSVM 模型的预测值相对误差范围为2.59%～17.21%，平均值为8.37%，本文组合模型预测效果较好。

图6 7-7 剖面实测变形曲线和插值变形曲线Fig.6 Deformation curve of profile 7-7

图7 7-7 剖面4～7 工况预测结果对比Fig.7 Forecast results of working conditions 4-7 in profile 7-7

（2）9-9 剖面（测孔SCW06，7.5 m 测试深度）

该剖面开挖深度为9.25 m，共2 排锚索，5个工况。采用分段线性插值重新生成变形时间序列，各工况分别对应17、3、7、6、13 组变形数据，共计46 组。该剖面深层水平位移实测变形曲线和插值变形曲线如图8 所示。分别利用工况1～3、2～4实测数据建模预测第4、5 工况未来变形量，预测结果对比如图9 所示。其中，采用本文组合模型，4、5 工况变形量预测值相对误差范围为0.33%～9.34%，平均值为5.86%；而采用LSSVM 模型的预测值相对误差范围为0.98%～15.91%，平均值为7.56%，本文组合模型预测效果较好。

图8 9-9 剖面实测变形曲线和插值变形曲线Fig.8 Deformation curve of profile 9-9

图9 9-9 剖面4、5 工况预测结果对比Fig.9 Forecast results of working conditions 4 and 5 in profile 9-9

综合上述结果分析可知，LSSVM-ARMA 模型在基坑变形时间序列预测中具有较好的预测效果，相比LSSVM 单一预测模型具有更高的预测精度，是一种基于实测信息建模的好方法。对比各剖面变形曲线和预测结果可知，变形序列的趋势性越好，预测精度越高；变形序列中的波动点越多，趋势性越差，预测精度也越差，说明变形时间序列的趋势性的好坏对预测精度有较大影响，这也是文中少数预测结果误差较大的原因。

5 结论

（1）基坑变形数据是一个非线性和非平稳的时间序列，通过小波变换，用LSSVM 建模预测其趋势项，用ARMA 模型预测其随机项，二者预测值叠加作为最终预测结果，能够真实地反映基坑变形情况。

（2）采用LSSVM-ARMA 联合模型能够很好地解决基坑变形预测问题，小波变换提取的趋势时间序列反映了基坑变形的内在规律，ARMA 模型可充分考虑不确定因素带来的随机性。该方法综合了LSSVM和ARMA 各自的优点，弥补了单一预测模型的局限性，且具有更好的预测效果和精度。

（3）将本文方法用于某实际基坑工程深层水平位移预测分析，3个剖面的预测值相对误差范围分别为0.08%～18.76%、1.12%～10.73%和0.33%～9.34%，平均相对误差分别为10.04%、5.73%、5.86%，模型预测效果良好。

（4）采用滚动预测的方法，不断利用最新实测数据建模，可以克服随着预测步数的增大和误差不断积累导致模型预测值误差过大的问题。滚动预测的实时性使施工人员能及时调整和优化施工，维护支护结构的稳定性，对基坑动态施工控制具有重要意义。

LSSVM-ARMA 联合模型作为数据挖掘的一种方法，不仅适用于基坑非线性变形时间序列预测，还适用于岩土工程中的众多非线性领域，值得推广应用。

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