走出错位相减的误区

陈定昌

用错位相减法求解数列前n项和时，常会出现三种错误：一是没有数清项数；二是没有认清起始项；三是没有将同次幂项对应相减.

错位相减法源自等比数列{an}前n项和公式Sn=（公比q≠1）的推导过程，它常用于求解形如{anbn}数列的前n项和Tn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列.

使用错位相减法的步骤为：

（1） 错位. 列出数列{anbn}前n项之和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （①），在①式两边同乘以等比数列{bn}的公比q，得到qTn=a1b2+a2b3+…+anbn+1 （②）.

（2） 相减. ①-②可得（1-q）Tn=a1b1+（a2-a1）b2+…+（an-an-1）bn-anbn+1=a1b1+d（b2+…+bn）-anbn+1 （③）.

（3） 求和. ③式两边同除以1-q即可得Tn.

例 已知在数列{an}中，an=1， n=1，2；3n-3，n≥3且n∈N*.求数列{nan}的前n项和Tn.

错解一： 当n≥3时，可得Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3 （①）， 故有3Tn=3+6+3·31 +4·32+…+（n-2）·3n-4+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）.

①-②可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2=-3+-n·3n-2=-+3n-3，故Tn=+·3n-3，n≥3且n∈N*.

当n=1时，Tn=1·1=1；当n=2时，Tn=1·1+2·1=3.

所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-3，n≥3且n∈N*.

错因一： 没有数清项数

若公比为q的等比数列{cn}连续的项之和为c1qt+c1qt+1+…+c1qn-1+c1qn （t

在错解一中，同学们误以为31+32+…+3n-3共有（n-3）-1=n-4项，其实该和式应该含[（n-3）-1]+1=n-3项，故31+32+…+3n-3=.

错解二： 由错解一可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2，故-2Tn=-3+-n·3n-2=-+3n-2，所以Tn=+·3n-2，n∈N*.

错因二： 没有认清起始项

根据所求得的通项，当n=1时，T1=+·3-1=；而由题意可知T1=1×1=1，两者不符，答案肯定有误.

由题意可知，当n≥3时，Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3，这说明Tn从第3项3·30起，才有等差项n与等比项3n-3之积的形式，所以错位相减法求得的是当n≥3时Tn的值，我们还需求出当n=1，2时Tn的值.

用错位相减法求解Tn=t1+t2+…+tn时，若该和式从第s项ts起才满足等差项与等比项之积的形式，则求得的Tn只符合n≥s时的情况.

错解三： 当n≥3且n∈N*时，在Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3中，记Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3 （①），则3Sn=3·31+…+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）. ①-②可得-2Sn=3（30-31）+4（31-32）+…+n（3n-3-3n-2）=3（30-3·30）+4（31-3·31）+…+n（3n-3-3·3n-3）=-6·30-8·31-…-2n·3n-3，故Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3.这就又回到了①式，解题陷入了“死循环”.

错因三： 没有将同次幂项对应相减

使用错位相减法时，应将同次幂项对应相减，即必须“错位”.将错解三中①②两式的同次幂项对应相减，可得-2Sn=3·30+{（4-3）31+（5-4）32+…+[n-（n-1）]3n-3}-n·3n-2=3·30+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2.用等比数列求和公式求出31+32+…+3n-3，即可求得Sn=-+·3n-2，并进一步求解Tn.

当和式中含有不能用错位相减法求和的项时，可将和式分为“能用错位相减法求和的项”和“不能用错位相减法求和的项”两类，分组求和再相加.

正解： 由错解二可得Tn=+·3n-2，n≥3且n∈N*.当n=1时，Tn=1·1=1；当n=2时，Tn=1·1+2·1=3.所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-2，n≥3且n∈N*.

用错位相减法求解数列前n项和时，常会出现三种错误：一是没有数清项数；二是没有认清起始项；三是没有将同次幂项对应相减.

错位相减法源自等比数列{an}前n项和公式Sn=（公比q≠1）的推导过程，它常用于求解形如{anbn}数列的前n项和Tn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列.

使用错位相减法的步骤为：

（1） 错位. 列出数列{anbn}前n项之和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （①），在①式两边同乘以等比数列{bn}的公比q，得到qTn=a1b2+a2b3+…+anbn+1 （②）.

（2） 相减. ①-②可得（1-q）Tn=a1b1+（a2-a1）b2+…+（an-an-1）bn-anbn+1=a1b1+d（b2+…+bn）-anbn+1 （③）.

（3） 求和. ③式两边同除以1-q即可得Tn.

例 已知在数列{an}中，an=1， n=1，2；3n-3，n≥3且n∈N*.求数列{nan}的前n项和Tn.

错解一： 当n≥3时，可得Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3 （①）， 故有3Tn=3+6+3·31 +4·32+…+（n-2）·3n-4+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）.

①-②可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2=-3+-n·3n-2=-+3n-3，故Tn=+·3n-3，n≥3且n∈N*.

当n=1时，Tn=1·1=1；当n=2时，Tn=1·1+2·1=3.

所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-3，n≥3且n∈N*.

错因一： 没有数清项数

若公比为q的等比数列{cn}连续的项之和为c1qt+c1qt+1+…+c1qn-1+c1qn （t

在错解一中，同学们误以为31+32+…+3n-3共有（n-3）-1=n-4项，其实该和式应该含[（n-3）-1]+1=n-3项，故31+32+…+3n-3=.

错解二： 由错解一可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2，故-2Tn=-3+-n·3n-2=-+3n-2，所以Tn=+·3n-2，n∈N*.

错因二： 没有认清起始项

根据所求得的通项，当n=1时，T1=+·3-1=；而由题意可知T1=1×1=1，两者不符，答案肯定有误.

由题意可知，当n≥3时，Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3，这说明Tn从第3项3·30起，才有等差项n与等比项3n-3之积的形式，所以错位相减法求得的是当n≥3时Tn的值，我们还需求出当n=1，2时Tn的值.

用错位相减法求解Tn=t1+t2+…+tn时，若该和式从第s项ts起才满足等差项与等比项之积的形式，则求得的Tn只符合n≥s时的情况.

错解三： 当n≥3且n∈N*时，在Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3中，记Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3 （①），则3Sn=3·31+…+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）. ①-②可得-2Sn=3（30-31）+4（31-32）+…+n（3n-3-3n-2）=3（30-3·30）+4（31-3·31）+…+n（3n-3-3·3n-3）=-6·30-8·31-…-2n·3n-3，故Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3.这就又回到了①式，解题陷入了“死循环”.

错因三： 没有将同次幂项对应相减

使用错位相减法时，应将同次幂项对应相减，即必须“错位”.将错解三中①②两式的同次幂项对应相减，可得-2Sn=3·30+{（4-3）31+（5-4）32+…+[n-（n-1）]3n-3}-n·3n-2=3·30+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2.用等比数列求和公式求出31+32+…+3n-3，即可求得Sn=-+·3n-2，并进一步求解Tn.

当和式中含有不能用错位相减法求和的项时，可将和式分为“能用错位相减法求和的项”和“不能用错位相减法求和的项”两类，分组求和再相加.

正解： 由错解二可得Tn=+·3n-2，n≥3且n∈N*.当n=1时，Tn=1·1=1；当n=2时，Tn=1·1+2·1=3.所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-2，n≥3且n∈N*.

用错位相减法求解数列前n项和时，常会出现三种错误：一是没有数清项数；二是没有认清起始项；三是没有将同次幂项对应相减.

错位相减法源自等比数列{an}前n项和公式Sn=（公比q≠1）的推导过程，它常用于求解形如{anbn}数列的前n项和Tn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列.

使用错位相减法的步骤为：

（1） 错位. 列出数列{anbn}前n项之和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （①），在①式两边同乘以等比数列{bn}的公比q，得到qTn=a1b2+a2b3+…+anbn+1 （②）.

（2） 相减. ①-②可得（1-q）Tn=a1b1+（a2-a1）b2+…+（an-an-1）bn-anbn+1=a1b1+d（b2+…+bn）-anbn+1 （③）.

（3） 求和. ③式两边同除以1-q即可得Tn.

例 已知在数列{an}中，an=1， n=1，2；3n-3，n≥3且n∈N*.求数列{nan}的前n项和Tn.

错解一： 当n≥3时，可得Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3 （①）， 故有3Tn=3+6+3·31 +4·32+…+（n-2）·3n-4+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）.

①-②可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2=-3+-n·3n-2=-+3n-3，故Tn=+·3n-3，n≥3且n∈N*.

当n=1时，Tn=1·1=1；当n=2时，Tn=1·1+2·1=3.

所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-3，n≥3且n∈N*.

错因一： 没有数清项数

若公比为q的等比数列{cn}连续的项之和为c1qt+c1qt+1+…+c1qn-1+c1qn （t

在错解一中，同学们误以为31+32+…+3n-3共有（n-3）-1=n-4项，其实该和式应该含[（n-3）-1]+1=n-3项，故31+32+…+3n-3=.

错解二： 由错解一可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2，故-2Tn=-3+-n·3n-2=-+3n-2，所以Tn=+·3n-2，n∈N*.

错因二： 没有认清起始项

根据所求得的通项，当n=1时，T1=+·3-1=；而由题意可知T1=1×1=1，两者不符，答案肯定有误.

由题意可知，当n≥3时，Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3，这说明Tn从第3项3·30起，才有等差项n与等比项3n-3之积的形式，所以错位相减法求得的是当n≥3时Tn的值，我们还需求出当n=1，2时Tn的值.

用错位相减法求解Tn=t1+t2+…+tn时，若该和式从第s项ts起才满足等差项与等比项之积的形式，则求得的Tn只符合n≥s时的情况.

错解三： 当n≥3且n∈N*时，在Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3中，记Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3 （①），则3Sn=3·31+…+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）. ①-②可得-2Sn=3（30-31）+4（31-32）+…+n（3n-3-3n-2）=3（30-3·30）+4（31-3·31）+…+n（3n-3-3·3n-3）=-6·30-8·31-…-2n·3n-3，故Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3.这就又回到了①式，解题陷入了“死循环”.

错因三： 没有将同次幂项对应相减

使用错位相减法时，应将同次幂项对应相减，即必须“错位”.将错解三中①②两式的同次幂项对应相减，可得-2Sn=3·30+{（4-3）31+（5-4）32+…+[n-（n-1）]3n-3}-n·3n-2=3·30+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2.用等比数列求和公式求出31+32+…+3n-3，即可求得Sn=-+·3n-2，并进一步求解Tn.

当和式中含有不能用错位相减法求和的项时，可将和式分为“能用错位相减法求和的项”和“不能用错位相减法求和的项”两类，分组求和再相加.

正解： 由错解二可得Tn=+·3n-2，n≥3且n∈N*.当n=1时，Tn=1·1=1；当n=2时，Tn=1·1+2·1=3.所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-2，n≥3且n∈N*.