研究生创新能力培养中的数学思维影响

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

研究生创新能力的培养是高等院校研究生培养方案中的一项重要内容和考核指标，是高等教育高层次人才培养方向和质量提出的必然要求。我国提出了“高等学校创新能力提升计划”这一体现国家意志的重大战略举措，明确指出研究生教育作为培养高层次创新型人才需要发挥更大的作用。《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020)》明确指出：要把提高教育质量作为高等教育改革发展的核心任务，要适应创新型国家对社会的创新型人才的需要。可见，研究生培养过程中对创新能力的要求是当前我国研究生教育的重要内容和方向。

当今社会的竞争，是人才的竞争，具体来说是人才的创造力、创新力的竞争，因此，探讨加强研究生创新能力的培养具有十分重要的意义。

一、研究生创新能力的培养内容与要求

创新能力是各种智力因素和非智力因素的统一体。不同学者对创新能力所包含的因素持有不完全相同的观点。概括而言,智力因素包括专业领域相关的知识能力、智力能力、思维认知风格等,非智力因素包括创新意识、独立性、冒险性、个人精力、好奇心、洞察力等一系列人格特征,全神贯注、精力充沛的工作作风,能够承受失败等良好的心理素质,以及社会环境因素等。[1]205-225

通常，研究生的创新能力主要是指：树立不畏困难、刻苦钻研的研究精神和态度；善于从不同的角度发现问题，具有创造意识、创造思维和探索精神；具备综合运用知识、创造性地解决问题的能力；具有通过对基本理论的概括、分析及运用创造性的思维，实现对基础理论的延伸、拓展以及升华等。

研究生培养过程中对创新和创造能力的要求，主要体现在对参与科学研究方法的创新、对提出问题和研究课题的创新以及对研究结果的应用实践的创新等方面。其中，研究方法创新是指在研究过程中解决问题时对现有方法或工具的使用做出创新，因为在具体的研究中，固有的技术手段与方法往往已经无法解决实际问题，必须要有新的突破，从而建立新的研究方法与新的理论体系。而对提出问题和研究课题的创新，是指在研究生学习过程中对教科书、科研最新前沿动态、导师的研究方向等提出自己的独立见解，对研究课题或实际问题进行研究。最后，研究结果的应用实践的创新是研究生科研创新能力中最高的境界和最重要的科研贡献，因为这种结果已经超越了导师的基本要求乃至重新开创了新的研究途径，是研究生培养中的创新能力的重要体现。

目前，我国研究生的扩招与现有培养条件，或多或少影响了研究生培养质量，同时研究生创新能力的培养也受到多方面因素的影响。[2]据统计，目前在研究生培养和教育过程中，创新与研究能力培养的现状有以下几个方面的不足：缺乏创新的观念和创新欲望；缺乏创新性的分析与判断思维能力；缺乏深层次理性思考能力；缺乏数学的分析与反复的逻辑推导和计算证明的能力。所以，对研究生特别是工科类研究生进行数学思维能力培养会对其创新能力提升起到积极的促进作用。

二、数学思维能力是创新思维的基础

数学是许多学科门类的基础和工具，而数学思维是对其研究对象中的空间形式、数量关系、结构关系等本质属性和内部规律性进行间接反映，并按照一般思维规律认识其内容的理性活动。一般来讲数学思维主要包括四个方面的内容：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，解决实际问题。数学思维与一般性思维活动相比是一种更加理性形态的思维，属于现代抽象思维的范畴。在大学之前，人的思维能力一般会停留在形象和直接思维等思维形式中，具有较低的思维广度和深度。经过大学的专业学习和理性思维培养后，大学毕业生特别是继续深造的研究生，其一般思维能力、数学思维能力都会有很大提高，会进入理性和抽象的思维活动中，两种思维形式有机结合、协同活动才能为科学研究的创新性思维奠定基础。

三、数学思维对研究生创新能力的影响

在数学教学过程中，我们对数学思维能力的培养要求主要包括：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。这实际上就是一种对创新的追求。数学中严谨的推理和一丝不苟的计算，使得每一数学结论不可动摇，这种思想方法不仅培养了数学家，还提高了全民族的科学文化素质，它是人类巨大的精神财富。

但是在研究生培养过程中，我们发现很多研究生尽管对所学专业基础把握很好，知识面也不欠缺，但进入课题阶段，面对本学科前沿问题、面对各类型国内外参考文献，往往感觉无从下手，找不到课题的切入点和突破点。仔细分析，就是因为缺乏分析问题和解决问题的能力，不能逐步深入课题，突破课题难关。而出现该现象的关键原因是学生创新思维能力差。课题研究多数需要数学的抽象、逻辑及计算能力和数学提供的准确数据来定量支持。数学思维能力对研究生创新能力的积极影响主要表现在以下几个方面：

(一)数形结合的思维方式是培养创新能力的基础

多年来数学一直把研究数与形的完美结合作为基础性问题之一，其实“数”的部分主要指数量关系和抽象特性，“形”的部分主要是指其空间形态与几何表现，只有同时关注研究对象的“数”与“形”，并使其有机结合，才有可能找准切入点，掌握创新点，形成突破点，进一步为研究生创新能力的培养奠定坚实的基础。

(二)抽象思维在创新能力培养中占有至关重要的地位

抽象思维可以说是数学的重要思维方式，也是数学高度抽象性的重要体现。在探索客观世界的科学研究中，对象的形式与背景多种多样，但蕴含其中的本质(比如数学结构)是基本一致或完全一致的，经过长期的抽象思维的训练，研究生会逐步学会由此及彼、由表及里，不断提高分析问题与解决问题的能力。研究生的抽象思维，主要是通过去除对象的非本质属性来抽象其本质属性，这将给创新工作提供理论支持，在科研创新中占有较大的比重。

(三)关系型思维带来的创新

大家知道，函数是数学中一个重要的概念，它渗透了一种思维方式，是指从数学对象、性质之间的相互关系中认识事物的一种思维，是一种典型的关系型思维。我们解决现实生活中的许多问题都涉及函数关系的确定，建立一种函数关系可以对科学研究提供数据的支持，会有更强的说服力，这种思维能力能为研究生科研创新提供更多的思路。

(四)类比思维能力带来的创新

类比思维是根据几个对象有一部分属性相类似，推出这几个对象的其他属性相类似的一种推理方法。在初等数学、高等数学中都要用到类比推理。简单地说，就是要培养学生的类比想象力。想象力是创新的不竭源泉和动力，因此类比思维可以为研究生创新能力奠定良好的基础。

(五)数学建模能力对创新的影响

数学建模的内容是把实际问题用数学方法归结为数学问题，建立起描述各因素之间关系的数学模型，然后综合运用分析和计算手段，以及包括计算机和相应软件在内的计算工具，快速准确地求出符合实际问题的解答。数学模型是用数学语言对实际问题进行描述而得到的一个数学结构，建立数学模型的过程就是数学建模。[3]数学建模能力就是一个综合运用知识解决实际问题的数学思维能力，由多个方面的指标共同作用，它是衡量参与者数学能力和综合思维以及创新能力的重要标准之一，是数学应用广泛性的体现。正因为数学建模在解决实际问题中显示出强大的生命力和广泛性，同时在创新研究和实践中有较强的应用价值，目前，在各个领域中越来越受到重视，越来越多的学校开始把数学建模作为一个重要的研究方向。通过数学建模可以培养研究生创新思维方法，可以提高研究生分析和解决问题的能力以及进行计算机操作和运算的能力。

四、培养数学思维，提升研究生创新能力的方法与途径

(一)优化思维方式

主要是修正思维的误差，培养思维的严密性。无论在研究生课程学习阶段，还是解决实际问题或从事科学研究期间，优化思维方式都十分重要。首先，在分析问题的过程中，先抓住影响结果的首要因素，然后再逐步考虑次要因素，以此类推逐步完善。其次，注重把握隐含条件，避免产生偏差。有些隐含条件需要用现有条件与固有的知识去推导论证，有些隐含条件往往对整个问题分析起重要的影响作用。只有优化思维方式，进行全面科学的分析推导论证，才会增强思维的严谨性与逻辑性，确保创新活动中思维判断的准确性。

(二)注重逆向思维与双向思维方式

从条件到结论的思维方式是正向思维方式，通常人们通过对所给条件综合分析判断，结合固有的知识、方法与工具进行推演、运算或证明得出所要的结论。然而在某些具体问题中，逆向思维与双向思维更加有效、便捷。这两种思维方式有时会被忽略，有时不能被巧妙利用，对解决问题带来影响。有时从结论出发去思考问题，会获得求解的新方法。比如任意角的正余弦平方和为1，但当人们遇到“1”的时候，很难在恰当时候想到“1”正是任意角正余弦平方之和。因此在研究生创新能力培养过程中，注重逆向思维和双向思维的引导与训练是非常必要的。

(三)提高推导与演算能力

逻辑的严谨性是数学的特性之一。严谨的推导，会让人们感觉到“步步有根据，处处有理由”。当“由此条件”导出相应结论时，严谨的逻辑思维会反映“无此条件”会怎样，这时会给创新活动提供思考的余地，这种创新思维往往会从另外的途径获取意想不到的结论收获。演算能力，在有限或少量数据参与的情形下，无非是速度与准确度问题，然而在当今随处可见的“云数据、云计算”现象面前，优化的算法与强大的演算能力会使“云世界”尽早被探知，这也正是研究生创新能力的必然要求。

(四)常用数学方法的使用

多年来在研究生数学思维培养过程中，发现几类常用方法在研究生从事专业研究以及体现创新意识与能力中发挥着不可替代的作用，主要有类比法、归纳法、穷举法、反证法、反例法、数形结合法、逆向论证法等，有效地运用这些方法，会对研究生相关专业的学习与知识的应用提供很大的帮助，如果能灵活运用各种数学方法，准确把握科研领域中的主干问题，研究生创新能力就会得到显著提高。

(五)加强数学的应用能力

应用的广泛性也是数学的特点之一，古往今来，数学的合理与巧妙应用给解决问题、探索未知提供了有效的方法与途径，可以毫不夸张地讲，数学“无处不在”、“无时不有”。它的原理、思想与方法已经广泛地渗透到所有的学科领域。如何把数学用上、用好，有时直接影响到该领域关键问题的解决。因此，应注重培养研究生应用数学的意识和能力。

在具备了数学思维能力的基础上，创新能力的培养就要努力做到以下几点：激发学习和研究的兴趣，培养敏锐的观察能力和提出问题的能力；大胆尝试用类比、推理的方法去表达和描述事物的规律性，从而更好地完成创新研究；要敢于对权威性的观点作出自己独立的判断甚至提出疑问；坚持寻根究底，推理判断掌握事物的来龙去脉；善于发现掌握事物的现象与本质间的逻辑联系。

总之，在当今人才战略的大背景下，创新能力是杰出人才和拔尖创新人才应具备的基本素质，研究生作为未来人才的基础力量，培养其创新能力时不我待，而数学思维对研究生创新能力培养有积极影响和促进作用。●

[参考文献]

[1] 罗伯特·J·斯滕博格.创造力手册[M].施建农，等译.北京:北京理工大学出版社,2007.

[2] 朱红,李文利,左祖晶.我国研究生创新能力的现状及其影响机制[J].高等教育研究,2011(2).

[3] 陈恩水,王峰.数学建模与实验[M].北京:科学出版社,2007.