倡导数学探究 激活数学交流

在数学习题课中，注重对问题的变式拓展，有目的地进行辨析教学既是我们教师教学的一个优良传统，也是新课程背景下引发学生自主探究、合作交流的重要途径；适时进行一些“貌合神离”题的辨析，触类旁通，帮助学生在解题实践中学会积累解题模式，对于提高学生的认知层次、强化探索能力、发展思维品质，以及摒弃题海战术，将是十分有效的。本文是笔者上的一堂导数习题课的课堂实录（教研组内研讨课），课内课后都有很多感悟，愿与同行交流.

一、问题情境

已知函数f（x）=2x2-3ax2，g（x）=3x2-6ax，又函数f（x）在（0，1）单调递减，而在（1，+∞）单调递增.

（1）求a的值；

（2）求M的最小值，使对？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-g（x2）？誆≤M成立.

这是高二理科班的学生在学习了导数内容后复习过程中遇到的一道作业题，它考查了导数的单调性和极值的关系、运用导数求最值以及不等式恒成立等常见知识点.

二、教学过程摘录

1.将错就错，引导拓展

上课后，利用实物投影展台，我先展示第（1）问简洁的解答，接着就展示第（2）问学生1出错的解答.

[展示1] 解：（2）令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）=2x3-6x2+6x

∴F ′（x）=6x2-12x+6由F ′（x）=0得x=1，由单调性可知？誆F（x）？誆max=52，即？誆f（x1）-g（x2）？誆max=52，∴M≥？誆f（x1）-g（x2）？誆max=52，即Mmin=52.

等学生议论片刻后，我习惯性地问道：该解答过程有问题吗？不少学生齐声答道：有！

“那我们先看看正确的解法！”（边展示边概括思路）

[展示2] （过程略）

“通过两者的比较，大家能发现同学1的错因吗？”

“老师，我知道错在哪了.问题中的两个函数值f（x1），g（x2）是两个不相关联的量，应该先分别求范围再找它们的差的最值；我的解答错误地以为它们的自变量相同，把f（x1），g（x2）当成了两个相关联的量.”学生1自觉地自我分析道.

“很好！敢于自我批评，而且分析得很到位.”（此时学生们微笑着投以赞许的目光）我趁势说道：解答中像这样出错的同学实际上还是有功劳的，大家不觉得他们的思路可以解决某一类问题吗？

（学生思考片刻，有人恍然大悟）

2.同舟共济，上下求索

“我认为原问题这样改一下就是另一类问题，求M的最小值，使对？坌x∈[-2，2]，有？誆f（x）-g（x）？誆≤M成立.”（学生2抢先发言，我将他的表述板书在黑板上，学生一致认同.）

变式1：求M的最小值，使对？坌x∈[-2，2]，有？誆f（x）-g（x）？誆≤M成立.

“很好！但这只是我们得到的第一件‘副产品；只要同学们敢于加工创造，将会陆续有新的‘产品出现.要不——再试试？（微笑着鼓励他们）”

（我示意学生讨论，气氛一下子又活跃起来.两分钟后，不少学生似乎加工好了自己的“产品”，我示意大家自由发言.）

“条件这样改一下又是一个题目：求M的最小值，使对？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-f（x2）？誆≤M成立.”学生3首先发言.

“那题目中还有一个函数g（x）不是没用上嘛.”

“为什么一定要有g（x）？题目中没有这个函数的话这样改编应该没有问题.”

“当然也可以是：对？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆g（x1）-g（x2）？誆≤M成立.”

……

接下来，师生进行了热烈的讨论，从恒成立问题到存在性问题，后来突破了原有的题设结构并经历了尝试、修改，得到如下新题：（变式2、变式3的条件见原题目）

变式2：求M的最小值，使对？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-f（x2）？誆≤M成立.

变式3：若存在x1、x2∈[-2，2]，使得？誆f（x1）-g（x2）？誆≤M成立，求M的最小值.

变式4：已知函数f（x）=2x3-3ax2，g（x）=3x2-6ax，若？坌x∈（-∞，1]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围.

变式5：已知函数f（x）=2x3-3x2，g（x）=3x2-6ax，若存在x1∈[-2，2]，使得对任意的x2∈[-1，1]，有f（x1）=g（x2），求实数a的取值

范围.

三、教学感想

常规的数学复习课总是以专题为主，追求题型的覆盖率、线索的清晰度和方法的代表性.因此，老师就让学生大量作题，来总结出一类解题的方法，形成一套解题宝典，以便学生使用。

这堂课不同于常规的习题课，学生在课前并未预知教学内容，师生共同完成由一道很平常的习题导出一组看似平淡却蕴涵丰富思想、方法的好题.本节课在分析学生的起始能力和认知结构的基础上，以学生的错误作为教学的切入点，运用认知上的矛盾冲突，引导学生不断地反思，激发学生的探索欲，让学生在数学交流中收获成功.

1.生成性问题学生喜闻乐见

离开了预设，生成就是无源之水，显得突兀；而没有生成，课堂便是一潭平静的湖水，激不起美丽的浪花。从这个意义上讲，预设成为新生命。有了新的生命的存在，课堂才有了活力和精彩.

本节课教师一直以学习伙伴的身份参与学生的学习进程，时而给予学生必要的引导和帮助，时而帮助学生总结、提炼。课堂上笔者欣喜地发现学生能够自编自导，并且对生成性问题报以极大的热情，特别是从变式2开始，不论自己有没有得到更好的變式，都能积极地探索.

2.数学探究要以解题反思为基础

孔子云：学而不思则罔.荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力.”笔者认为，学生要通过实践活动来提高他们的思维能力，来获得数学学习的经验。如果老师不能及时引导学生反思，尤其是对错误的反思，那么就很容易成为“水过地皮湿”的表面现象.在此基础上进行的数学探究可以使学生的知识技能得到巩固，思维品质和思维能力得到优化和发展.

3.数学交流在数学探究中激活

学生经历了“错误—反思—探究—拓展”这样一个数学活动，智慧的火花在思维的碰撞中闪光.这就需要老师来创造和谐的氛围和愉悦的心情，让学生充分发挥他们的创造性和主动性，让他们随时与老师沟通，有什么疑点要及时与老师沟通解决，有什么想法也要提出来，这样的沟通交流才可以有效地提高学习的效率，才能让数学更上一阶.

本节课如果没有对错解和对错题的反思，并且在此基础上进行的探究、拓展，课堂上的数学交流只能流于知识形态的交流.而感情形态的交流和自我交流也是数学交流的基本形式.赞可夫说：“教学方法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的心理需要，这种教学会变得高度有效.”学生是否愿意学，情感的激发是一个不容忽视的重要方面.因此，笔者认为教师选择适当的习题教学让学生在数学探究中激活数学交流，有助于增强学生学习数学的热情和信心，有助于提高和发展学生的数学素养，有助于促进情感教育和学生的社会化.

参考文献：

[1]李伟.课堂数学交流综述.中学数学教学参考[J]，2005（08）.

[2]游明波，郭红霞.纠错教学贵在引导学生反思.数学教学研究[J]，2008（08）.

？誗编辑 薄跃华