浅谈初中数学中图形的旋转变换之解题应用

翁建辉

摘 要：图形的旋转是初中教学图形变换的基本内容之一，通过旋转改变位置后重新组合，然后作为全等变换，需要在新旧图形之间找到其中的变量和不变量，从而在新图形中分析出有关图形间的关系，进而揭示条件与结论间的内在联系，找到解题途径。

關键字：图形；旋转变换；应用

图形的旋转这部分数学内容在教学过程中能让学生“经历图形的抽象、分类、性质探索、运动、位置确定等过程”，更能使学生由感性认识向理性认识转变去掌握“图形与几何的基础知识和基本技能”。探索图形之间的变换关系，灵活运用轴对称、旋转、平移进行图形的变化，是近几年中考中常见的题型。本文就图形的旋转知识浅谈在解题中的应用。

一、利用图形的旋转变换巧妙构图

运用图形的旋转变换解决实际问题，教师往往要根据问题的条件和结论，引导学生从图形入手，分析题目的意图，在结合旋转变化过程中图形的形状不变（全等图形）和旋转变化的性质，鼓励学生通过问题的条件和图形，分析和观察出图形中的旋转变换，达到解决问题的目的。这样巧妙地运用图形的旋转变换，可以让学生经历图形旋转概念形成的过程，理解图形旋转的基本性质，深化对图形旋转概念的理解和运用。

例1.如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合。

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转了多少度？

（3）如果连接EF，那么图1

△AEF是怎样的三角形？

【分析】：（1）（2）小题，学生可直接经观察写出结果；对于（3）小题，先组织学生小组合作探究，利用已有的数学知识经验：“经常判断三角形的形状有：等边三角形、等腰三角形、直角三角形”，再根据图形的旋转性质，很容易让学生发现连接EF，利用AE=AF，∠1=∠2，可得∠FAE=∠2+∠3=90°，进而得到△AEF是等腰直角三角形。

此题也可以拓展延伸，让学有余力的学生思考，把题中的E点放在正方形内或外，再把△ADE绕A点按顺时针方向旋转90°，也可以判断△AEF是等腰直角三角形。还可以引用：如厦门市06年的中考题目中的一题“如图2，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补。（1）若BC>CD且AB=AD，请在图5上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（2）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值”，也可以结合上题的方法求解。

二、利用图形的旋转变换巧妙猜想

数学问题有了猜想，才会使问题充满了魅力和活力。图形的旋转变换渗透在几何变式问题之中，凸显了数学猜想的重要作用。但数学猜想能力的培养要循序渐进，要通过不断变式问题的训练和学生观察能力的培养，才能为猜想打下基础，才能使学生养成从多个角度去分析问题、解决问题的习惯。这些能力的培养不仅有利于学生灵活掌握所学的图形旋转知识和相关正方形、等腰直角三角形的知识，也有助于培养学生良好的思维品质：观察—类比—猜想—验证。

例2.如图3，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF，BD。（1）观察图形，猜想AF与BD有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明，若不成立，请说明理由。

【分析】：（1）小题可以通过小组合作探究、观察，让学生发现图中隐含着旋转变换，△ACF绕C点顺时针旋转90°，得到△BCD。从而猜想出AF=BD且AF⊥BD。这样的猜想过程也为证明做好了铺垫，很顺利地使学生找到证明两个三角形全等的条件，得到△ACF≌△BCD，推出AF=BD和∠AFC=∠BDC，再利用∠AFC+∠FGC=90°（AF与DC交点为G）得到AF⊥BD。（1）小题为（2）小题做好了铺垫，学生就会按（1）小题的方法准确得出不同位置的正方形和等腰直角三角形的分类，通过学生的观察、比较，猜想出结论：AF=BD且AF⊥BD。其中图3（2）为CD边在△ABC的内部时，图3（3）为CF边在△ABC的内部时。正方形CDEF绕点C旋转时，使正方形CDEF的一边落在△ABC内部，始终有AF=BD数量关系和AF⊥BD的位置关系。

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三、利用图形的旋转变换巧妙设计

图形的旋转变换如果和平移、轴对称、中心对称等相关知识结合在一起来设计问题，感觉很复杂，但若抓住图形变换的规律，会发现第一种图案的具体要求和变化，往往为下一步做好了铺垫。下面这两个例题，一是把分散的两个图形经旋转集中到一个规则的图形中，从而求解；二是考查学生的动手操作能力和灵活处理问题的能力，把不规则的图形经旋转、平移、轴对称、中心对称变为美丽、和谐、规律的图形。解决这样的问题会给学生带来无穷的乐趣和遐想，也让学生体会数学源于生活而又高于生活，感受到生活中许多问题可以用数学去审视它、研究它。

例3.如图所示，四边形ECFD为正方形，观察图形回答下列问题：

（1）请简述由图4（1）变换为图4（2）的变换过程。

（2）若AD=4，BD=6，求S△ADE+S△BDF。

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【分析】：两个小问题中，（1）题学生很容易发现，关键是（2）题要让学生借助（1）题通过△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△A′DF的结论，让学生从画图的过程中体会和发现分散求两个三角形△ADE、△BDF的面积和的问题可转化为求一个△A′DB的面积，从而得到结果。

例4.（2009.山西中考）已知每个网格中小正方形的边长都是1，图5（1）中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成。

（1）填空：图5（1）中阴影部分的面积是____________（结果保留π）。

（2）请你以此图为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案（要求至少含有两种图形变换）。

【分析】：本题（1）小题与上一题类似，学生通过观察用例3的方法把图中阴影的一部分经旋转180°转化为学生能够直接求出弓形的面积。

（2）答案不唯一，如图：

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四、利用图形的旋转变换巧妙转化

在教学过程中，让学生“动一动、做一做”，可让学生感受到“概念是思维的细胞”，通过师生共同探究来解决下面这两个题目的过程中，会让学生深刻体会图形旋转变换的作用，感受到转化的数学方法的灵活运用。从而使学生紧紧抓住旋转变换后新图形与原图形所具备的性质，并结合正方形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，以动制静，化繁为简，帮助学生找到解题的途径：“旋转—转化—证明（计算）”。

例5.如图6，已知△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB上一点，求证：DB2+AD2=2CD2。

【分析】：解决旋转问题主要抓住两点：一是旋转后的图形与原图形全等，二是利用好旋转的角度。利用转化的数学思想方法，将△ACD绕C点逆时针旋转90°，再连接ED，将分散的线段DB、AD、CD化归到两个直角三角形△BDE、△CDE中，通过勾股定理得到ED2=DB2+BE2=DB2+AD2，进而得到ED2=CD2+CE2=2CD2。

例6.（2012莱芜）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点。将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°<α<180°），得到△AB′C′。

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（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；

（2）当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数。

【分析】（1）小题由三角形中位线定理、旋转的性质、AB=AC，可得△ADB′≌△AEC′，因此得DB′=EC′；（2）利用△ADB′≌△AEC′和DB′∥AE、∠BAC=90°可得∠B′DA=∠DAE=90°，从而∠C′EA=90°。把问题转化到Rt△C′EA中，再应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值就可容易求得旋转角α的度数。

图形的变化对培养学生的空间观念和思维能力有着重要的、不可替代的作用，因此成为近年来中考命题的热点之一。上述问题来源于教材，更多的来源于各地的中考试题，在解决这些问题时，关键要抓住图形在旋转过程中对应线段、对应角的大小不变、旋转角度相等。这些不变量的性质和图形旋转过程中特殊的位置关系及特殊的图形，使得上述题目在图形旋转过程中蕴含了丰富的数学知识点、数学的思维方法和图形的美感。如例3、例4、例5几个题目的图形比较复杂，隐含着一些条件，这需要学生有一定的阅读、理解、观察、分析和操作的能力，才能发现图形中隐含的类似条件“Rt△BDE”等，然后通过相关操作活动、概括和表达有关数学性质、推理与应用相关知识，才能达到解决问题的目的；例1是教材中的一个题目，在常规训练过程中进行一些拓展，可以为今后学生遇到类似例2和例3这样的题目做好铺垫，大大地培养了學生的自信心，提高了学生的思维分析能力；例3、例4、例6这样的题型背景多是来源于生活。从这里可以看出教师在教学过程中要重视学生已有的经验，多以图形的旋转为中介寻求方法，体验解决问题的过程。多创造问题情境，把三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等相关内容的知识通过图形的旋转有机地结合在一起，有计划、有规律地让学生多体验从生活实际背景中提炼出数学问题、从复杂变化的图形中通过图形的旋转来构建数学模型，达到解决问题、培养学生数学能力的目的。

？誗编辑 董慧红