遗传阿贝尔范畴上twist Hall代数到2-周期复形Hall代数的嵌入

林 记

(阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037)

0 引言

设Q是一个不带循环圈的有限箭图，K=Fq是有限域，A是有限维代数KQ的有限生成模范畴，Q的底图决定了一个Cartan矩阵，设g=n+⊕⊕n-为相应的导出Kac-Moody李代数. Ringel[1]和Green[2]证明了从量子包络代数Ut(n+)到twist Hall 代数Htw(A)有一个单的代数同态；在该同态下，Ut(A)就与Htw(A)的由这些生成子生成的twist Hall子代数同构；同时，Green给出了余积的范畴构造。肖杰[3]给出了反极子，Ut(n+)的Hopf代数结构通过阿贝尔范畴A得到的twist Hall代数完全实现了出来.

一个自然的问题是如何给出整个量子群Ut(g)的一个代数实现？彭联刚和肖杰[4～5]通过对A的根范畴的讨论，实现了所有的可对称化的Kac-Moody李代数.对任意一个满足某些有限条件的微分分次范畴，To⊇n[6]定义了一个导出Hall代数，由与之相应的三角范畴的不变量给出了该导出Hall代数的结构常数的计算公式.肖杰和徐帆[7]简化了To⊇n的构造，并对有限域上的三角范畴直接给出了导出Hall代数的定义.

最近，Bridgeland[8]用2-周期复形构造了量子群Ut(G)， 并建立了2-周期复形范畴的Hall代数DH(A)与extended Hall代数的Drinfeld double之间的联系.文章研究了遗传Abel范畴上的twist Hall代数到2-周期复形代数的嵌入，并找到了一种新的代数嵌入.

本文的主要结果如下：

定理1定义映射

I+∶Htw(A)→DH(A)，[A]|→EA，

则I+是一个代数嵌入.

1 预备知识

在本节中，我们给出twist Hall代数和2-周期复形Hall代数的定义和基本性质[8～9].

在下文中，假设A是一个阿贝尔范畴且满足：A的对象是一个集合，对象之间的态射是有限维的，在k=Fq上面是线性的，并且A的全局维数有限，用A，B，C表示A的任意对象.

定义1．1Hall 代数H(A)以A的同构类为基元，乘法定义为

其中[A]表示A所在的同构类，其单位元为[0].

记K(A)为A的Grothendieck群，∈K(A)表示对象A∈A所在的类，K≥0(A)⊂K(A)表示由这些类构成的子集.对任意对象A,B∈A，定义

由此可得欧拉双线性型

<-，->∶K(A)×K(A)→Z(α，β)=(α，β)+<β，α>．

定义1．2Twisted Hall 代数Htw(A)的向量空间与H(A)相同，乘法定义为

[A]*[C]=t·[A]◇[C].

若在此基础上增加符号Kα和关系

Kα*Kβ=Kα+β，
Kα*[β]=t<α，β>.[B]*Kα

(1)

称之为extended Hall代数，记为Hetn(A).注意

{Kα*[B]|α∈K(A)，B∈Iso(A)}构成了Hetn(A)的一组基元.

设CZ2(A)为由A上的Z2分次复形的构成的阿贝尔范畴，其对象如下所示

对象M．到N．的态射为s．∶M．→N．，使得

si↓s0↓

满足si+1·di=di'·Si.对于态射s．，t．∶M．→N．，如果存在态射hi∶Mi→Ni+1使得ti-si=d'i+1ohi+hi+1odi，我们就称s．，t．∶M．→N．是同伦的.对任意对象M．∈CZ2(A)， 用M.表示M0-M1∈K(A).

记HoZ2(A)为CZ2(A)的同伦范畴，CZ2(P)⊂CZ2(A)表示投射复形构成的满子范畴.为方便，我们简记

C(A)∶=CZ2(A)，C(P)=CZ2(P)，

Ho(A)=HoZ2(A).

引理1．3[7]设M．，N．∈C(P)，则有

ExtC(A)(N．，M．)≌HomHO(A)(N．，M．*)．

对于M．∈C(A)，若H*(M□)，则称M．是零调的.对于任意对象p∈P， 记

则有如下结果：

设H(C(A))是由阿贝尔范畴C(A)定义的 Hall 代数；H(C(P))⊂H((A))由投射对象构成的子空间.对于H(C(P))两个对象M．，N．，定义乘法t+·[M．]◇[N．]，记此Hall代数为M.*N.：=Htw(C(P)).

在此定义下，我们有如下的一些基本结论.

引理1．5[7]对于任意P∈P及M．∈C(P)，在Htw(C(P))有

(2)

(3)

特别地， 对于P，Q∈C(P)，有

[Kp]*[KQ]=[Kp⊕KQ]，

定义1．6记DH(A)∶=Htw(C(P))[[M．]-1|H*(M□)=0]，称之为Bridgend's Hall代数.

定义1．7记DHred(A)∶=DH(A)/([M□]-1∶H*(M□)=0，M．≌M.□) ，称之为Bridgend's Hall代数.

2 主要结果的证明

任取A∈A， 取极小投射分解

(5)

H1(CA)=0及CA=Q-P=A.

引理2．1任取A1，A2∈A，取极小投射分解

则有短整合列0→HomA(Q1，P2)→HomC(A)(CA1，CA2)→HomA(A1，A2)→0.

证明对任意的a∈HomA(A1，A2)，存在a1，a2使得下图交换

若a=0，则存在唯一的b∈HomA(Q1，P1)使得a2=f2ob， 再由CA的定义可得结果.

令EA=t·K-Q*[CA]， 由下面命题可知EA的定义与A的投射分解无关.

以下给出定理1的证明.

任取A1，A2∈A，设

[A1]*[A2]=

取A1，A2的极小投射分解

易得A3有投射分解

所以有

I+([A1]*[A2])=t+

(6)

因此

I+(A1)*I+(A2)=t+·K-Q1*[CA1]*K-Q2*[CA2]=

t+·K-Q1*t*K-Q2*[CA1]*[CA2]=

(7)

其中n=++(Q2，A1)++.由命题2．1，有

|HomC(A)(CA1，CA2)|=|HomA(A1，A2)|·

|HomA(Q1，P2)|.

所以对比(6)和(7)，再由

可知I+([A1]*[A2])=I+([A1]*I+[A2])

成立当且仅当

n+2-2=+

．

由A1=Q1-P1，A2=Q2-P2易得上面等式成立.

显然，若[B1]，[B2]，…，[Bj](Bi∈A) 在A中线性无关，则[CB1]，[CB2]，…，[CBj] 在C(A)中线性无关，则[EB1]，[EB2]，…，[EBj]在DH(A)线性无关，所以I+是单的.

[1] RINGEL C．Hall algebras and quantum groups[J]．Invent． Math，1990，101(3):583-591．

[2] GREEN J A .Hall algebras， hereditary algebras and quantum groups[J]． Invent． Math，1995，120(1): 361-377．

[3] XIAO J .Drinfeld double and Ringel-Green theory of Hall algebras[J]．J． Algebra，1997，190(1):100-144．

[4] PENG L, XIAO J． Root categories and simple Lie algebras[J]． J． algebra， 1997，198 (1):19-56．

[5] PENG L, XIAO J． Triangulated categories and Kac-Moody algebras[J]．Invent． Math， 2000，140(3):563-603．

[7] XIAO J，XU F ． Hall algebra associated to triangulated categories[J]．Duke Math． J．， 2008，143(2): 357-373．

[8] BRIDGELAND T ．Quantum groups via Hall algebras of complexes[J]．Annals of Mathematics， 2013，177(2):739-759．

[9] SCHIFFMANN O ．Lectures on Hall algebras[OL]. arXiv:0611617v2．