一类统计量部分和的极限定理

邹广玉

(长春工程学院 理学院，长春130012)

0 引言及主要结论

Tn=Sn+Rn，

(1)

其中Rn称为余项．很多常用的统计量(或随机函数) 可被表示成式(1)的形式，例如U统计量、功率和、Von-Mises统计量、线性过程(移动平均过程)、线性模型的误差方差估计量等．鉴于此类统计量的一般性，一些学者对其极限性质进行了研究，如文献[1]讨论了独立同分布序列时此类统计量的大数定律和重对数律的精确渐近性；文献[2]给出了独立同分布情形下此类统计量乘积的渐近分布和几乎处处中心极限定理；文献[3]推广为NA序列情形时此类统计量乘积的几乎处处中心极限定理等等；文献[4]讨论了NA序列部分和之和的渐近分布；文献[5]通过讨论NA序列加权和的几乎处处中心极限定理，作为应用给出了NA序列部分和之和的几乎处处中心极限定理.本文在这二者基础上讨论具有形式(1)的这类统计量部分和的渐近正态性和几乎处处中心极限定理．首先回顾一下NA序列的概念．

定义1称随机变量{Xi，i∈I}是负相伴(NA)的，如果对于任意两个对每个变元不减且使得下面协方差存在的函数g与h，都有

Cov(g(Xi，i∈A)，h((Xj，j∈B)))≤0，

其中I={1，…，n}，A，B为I的两个不交子集．

称随机变量序列{Xi，i∈N}是NA的，如果对任何n≥2，X1， …，Xn都是NA 的．

上述概念由Alam和Saxena在文献[6]给出，它是包含独立在内的更为广泛的相依随机变量类型，在可靠性理论、多元分析、渗透性理论中有广泛应用，因此研究与其相关的函数的极限性质具有重要意义．本文的结论如下：

定理1设{Xn，n≥1}是严平稳的NA随机变量列，满足EX1=0，记

并假设下面条件成立：

(C1) 存在常数δ>0，使得E|X1|2+δ<∞；

(C2) 对某个ε>0，

|Cov(X1，Xn+1)|=O(n-1(logn)-2-ε) ；

那么

(2)

(3)

其中φ(x)为标准正态分布随机变量的分布函数，下同．

2 两个引理

引理1[4]在定理1的假设条件下，有

引理2[5]在定理1的假设条件下，有

3 定理的证明

先证式(2)．注意到

(4)

而

由Slutsky定理即知式(2)成立．

下面证明式(3)．由式(4)和式(5)，对几乎所有的样本点ω和任意小的ε>0，存在正整数N=N(ω，ε，x)，使得当k>N时，有

由引理2知

φ(x+ε)a．s．.

令ε→0，由φ(x)的连续性和夹逼定理即知式(3)成立，这样就证明了定理．

4 结论

随机变量的渐近分布一直是概率极限理论的经典问题之一，而几乎处处中心极限定理则是近些年来概率极限理论研究的热门方向之一．本文借助于前人获得的部分和之和的极限性质，得到了一类统计量部分和的渐近正态性和几乎处处中心极限定理，将此类统计量的极限性质推广到统计量部分和的极限性质上来．

[1] 周君兴，杨辉煌，陆传荣．一类统计量的强大数定律和重对数律的精确渐近性质[J]．数学年刊，2006，27A(6)：807-814．

[2] 邱瑾，陆传荣．一类统计量的乘积的渐近性质和几乎处处中心极限定理[J]．数学物理学报，2013，33(A):3，475-482．

[3] 邹广玉．一类统计量乘积的几乎处处中心极限定理[J]．长春工程学院学报:自然科学版． 2014，15(1)：126-128．

[4] 宇世航，张锐梅．NA 序列部分和之和的中心极限定理[J]．高师理科学刊，2007，27(3):1-4．

[5] 张勇， 董志山，赵世舜．相依序列加权和的几乎处处中心极限定理[J]． 数学物理学报， 2009，29(6): 1487-1491．

[6] ALAM K， SAXENA KM L． Positive dependence in multivariate distributions[J]． Comm． Statist． Theory Math， 1981， A10(12): 1183-1196．