抽象凸空间中的 Shapley-KKM引理

陈治友, 夏顺友

(1. 贵阳学院 数学与信息科学学院, 贵州 贵阳 550005; 2. 贵州师范学院 数学与计算机科学学院, 贵州 贵阳 550018 )

Horvath[1]仅用拓扑性质,即用可缩性代替凸性定义具有H-凸结构的H-空间,该空间的H-凸结构将先前的线性凸结构作了推广,而后,在国内外一些专家学者的深入研究下,在一般拓扑空间中涌现了大量的凸结构.如:半格凸、G-凸、B-凸、Vandevel-凸、 Michael-凸、L-凸、超凸等. 文献[2-3]通过对上述众多的凸结构进行研究,发现它们有一个共性特征,即都满足H0-条件,并且提出了更具一般意义的抽象凸结构的抽象凸空间.而各种类型的KKM定理在不同的空间中有广泛的应用[4-12],又由于许多非线性问题的相关结果能借助H0-条件将它们推广到抽象凸空间中来[13-15],因此本文在满足H0-条件的不具有线性结构的抽象凸空间中建立新的Shapley-KKM引理,从而将这个著名的引理推广到抽象凸空间.

1 预备知识

定义1[3]设C是Y的子集族,称序对(Y,C) 为抽象凸结构空间,或简称抽象凸空间,如果C满足:

1) 空集φ∈C;

定义A⊂Y的凸包为coA=∩{D∈C:A⊂D}.称A⊂Y为凸集,若A∈C.显然,A为凸集,当且仅当coA=A.

定义2[3]称抽象凸空间(Y,C)满足H0-条件,如果凸结构C有下面性质:

对每个有限集{y0,y1,…,yn}⊂Y,存在连续映射

f:ΔN→co{y0,y1,…,yn},

使得

f(ΔJ)⊂co{yj:j∈J}, ∀φ≠J⊂N.

其中,ΔN=e0e1…en是n维标准单纯形,e0,e1,…,en是Rn+1中的标准正交基.

下面再给出一些概念和引理.

引理1称N的子集族β是均衡的,当且仅当mN∈co{mB:B∈β}.

2 主要结果

定理1(抽象凸空间中的Shapley-KKM引理)设(X,C)是满足H0-条件的抽象凸拓扑空间,设F:X→2X为闭值的,且满足对任意有限子集

{xi:i∈A},A⊂N={0,1,…,n},

有

证明令X={xi:i∈N},对每一个x∈X.再令

I(x)={B⊂N:x∈FB}.

由已知条件知,I(x)非空.由于满足H0-条件,故存在连续映射σ:ΔN→X,使得∀Ø≠J={i0,i1,…,ik}⊂N,满足σ(ΔJ)⊂co{xj:j∈J}.

构造映射S:ΔN→2ΔN,T:ΔN→2ΔN分别为

S(z)=co{mB:B∈I(σ(z))},

T(z)={mN}, ∀z∈ΔN.

则S、T满足引理2的条件.事实上,S的作法和S是非空、闭、抽象凸的,只需证明S的上半连续性.

对每一个z∈ΔN,存在z的一个邻域U(z),使得∀z′∈U(z),有I(σ(z′))⊂I(σ(z)).

设B∉I(σ(z)),即σ(z)∉FB,由FB闭,于是存在σ(z)的一个邻域V(σ(z)),使得V(σ(z))∩FB=Ø,再由σ的连续性,知存在z的一个邻域U(z),使得∀z′∈U(z),有σ(z′)⊂V(σ(z)),则有σ(z′)∩FB=Ø,即σ(z′)∉FB,即B∉I(σ(z′)),故I(σ(z′))⊂I(σ(z)).

因此有

S(z′)=co{mB:B∈I(σ(z′))}⊂

co{mB:B∈I(σ(z))}=S(z),

于是S是上半连续的.同样T也是闭、抽象凸、上半连续的.

再验证S、T满足引理2的其余条件.即检验∀z∈ΔN,ν∈S(z),存在一个常数λ>0,使得

yλ=z+λ(mN-ν)∈ΔN.

(1)

∀z∈ΔN,令A={i∈N:zi>0},其中zi和z在Rn+1中的第i个坐标,由于X满足H0-条件,于是有

故∃B⊂A,使得σ(z)∈FB.

在(1)式中取ν=mB.下证:总有λ>0,使得

yλ=z+λ(mN-ν)∈ΔN.

(2)

(3)

令

则有

(4)

其中|B|表示B的元素的个数.这样就有

1-λ+λ=1.

故S、T满足引理2的条件,则∃z0∈ΔN,使得S(z0)∩T(z0)≠Ø,即

mN∈co{mB:B∈I(σ(z0))}.

注1 特别,当标号集B={i},i=0,1,2,…,n.时,上述定理就是抽象凸空间中通常的KKM引理.

致谢贵阳学院院级数学建模教学团队项目对本文给予了资助,谨致谢意.

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