首次积分法下高维非线性偏微分方程新的行波解

黄 欣

(1. 四川财经职业学院 基础部, 四川 成都 610101; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

非线性波现象有很多,如色散、耗散、反应和对流等,它们出现在离子体物理、固体物理、流体力学、光学纤维等各类科学领域中.非线性现象常常与非线性偏微分方程联系紧密,比如在地震研究中,地震波可以用非线性偏微分方程描述,又可以用环孤粒子或者是环孤立波来描述;台风一些非常重要的结构特征可以通过二维的Euler方程来描述;易引发极端气候的大气阻塞现象可以用KdV孤立子来描述.因此在研究非线性现象的过程中,关于非线性偏微分方程的研究占到了一个重要的角色.人们把目光集中到了求这些对应非线性发展方程的精确解[1-8]上,因为这些解正是揭示各类非线性现象的重要工具,为得到这些非线性发展方程的精确解,许多直接的方法被提出,包括齐次平衡法[9]、双曲正切法[10]、Exp-函数法[11]、广义Riccati方程法[12]等.

首次积分法是求解非线性波动方程的有效方法之一,于2002年由Z. S. Feng[13]在求解Burgers-KdV方程中提出.其基本思想是利用行波变换将非线性偏微分方程转化为常微分方程,再构造出这个常微分方程的一个首次积分,由此就可以把此常微分方程变成一个一阶可积的常微分方程组,通过直接积分的办法求解此常微分方程组,进而得到原方程的精确解.目前这个方法已经被成功的广泛应用于各种非线性发展方程中,比如Fisher方程[14]、非线性Schrödinger方程[15]、Gardner方程[16]等.

本文考虑如下(3+1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程

ut+αu2ux+uxxx+uxyy+uxzz=0,

(1)

其中α为实常数.文献[17]用(G′/G)-展开法获得了方程(1)的精确解,文献[18]用Exp-函数法研究了此方程.本文将通过首次积分法和符号运算系统Mathematica研究(3+1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程(1),并得出了方程的新精确解.

1 首次积分法

对于给定的非线性偏微分方程

P(u,ut,ux,uxx,utt,uxt,…)=0,

(2)

假设方程存在行波解

u=u(ξ),ξ=x-ct,

其中c表示波速,则原方程就变为

P(u,u′,u″,…)=0.

(3)

再令

X(ξ)=u(ξ),Y(ξ)=u′(ξ),

(4)

则方程(3)等价于常微分方程组

(5)

通过常微分方程的定性理论[19]可知,对于常微分方程组(5),若能找到其2个首次积分,就能直接获得其通解,但一般说来,由于没有系统的构造首次积分的理论,即使想要获得一个首次积分都很困难.Z. S. Feng[13]提出的首次积分法用到了代数环论中的除法定理[20],使得目标常微分方程组(5)能够转化为一阶可积的常微分方程,通过转换之后的方程有很多方法可以比较容易处理求解问题.

除法定理假设P(w,z)、Q(w,z)都是定义在复数域C[w,z]上的多项式,并且多项式P(w,z)在复数域C[w,z]上是不可约的．如果多项式Q(w,z)不包含多项式P(w,z)的所有零点,则复数域C[w,z]上必定存在一个多项式G(w,z),使得

Q(w,z)=P(w,z)·G(w,z).

2 (3+1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程的精确解

假设方程(1)有如下形式的行波解

u(x,y,z,t)=u(ξ),ξ=x+y+z-ct,

(6)

其中c为待定参数.将(6)式带入(1)式得

-cu′+αu2u′+3u‴=0,

(7)

将(7)式积分一次,并令积分常数为0,可得

(8)

令X(ξ)=u(ξ),Y(ξ)=u′(ξ),则方程(8)等价于

(9)

按照首次积分法的步骤,假定X(ξ)和Y(ξ)是方程组(9)的非平凡解,则方程组(9)的首次积分为

其中ai(X(ξ))(i=0,1,…m)是X(ξ)的多项式,am(X(ξ))≠0.根据除法定理可知,在复数域C上会有

q(X(ξ),Y(ξ))=g(X(ξ))+h(X(ξ))Y(ξ),

使得

仅考虑(11)式中的2种情况,即假定m=1和m=2.

情形1假定m=1,则有

p(X,Y)=a0(X)+a1(X)Y,

(12)

代入(11)式后比较两边Yi(i=2,1,0)的系数得

(13)

(14)

因为ai(X)(i=0,1)为多项式，则从(13)式可知a1(X)为常数,且h(X)=0.为运算的简便,不妨取a1(X)=1,通过平衡a0(X)和g(X)的系数,可以得出deg[g(X)]=1,相应的deg[a0(X)]=2.

假定

g(x)=A1X+B0,A1≠0,

则有

(16)

其中A0为积分常数.

李离愀然不乐：“我父亲说，龙化为鱼，十年为期，意思是长安城不出十年，就会被叛军打破，你说到那个时候，写这首诗的吏部郎中王维大人，会不会降？”

将(16)式代入(15)式并比较两边Xi的系数可得

将(17)式代入(10)式得

(19)

将(19)式代入(9)式中,即可得(9)式的精确解,故原方程的精确解为

(20)

其中ξ0为任意常数.同理将(18)式代入(10)式得

(21)

将(21)式代入(9)式中,即可得(9)式的解,故原方程的精确解为

(22)

其中ξ0为任意常数.

情形2假定m=2,则有

p(X,Y)=a0(X)+a1(X)Y+a2(X)Y2, (23)

通过比较方程两边Yi的系数,可得

(24)

(25)

=g(X)a1(X)+h(X)a0(X),

(26)

(27)

因为ai(X)(i=0,1)为多项式,则从(24)式可知a2(X)为常数,且h(X)=0.为运算简便,不妨取a2(X)=1,平衡a0(X)、a1(X)、g(X)的系数,可以得出deg[g(X)]=1.

假定

g(X)=A1X+B0A1≠0,

则可得a1(X)和a0(X)为

(28)

(29)

其中D为积分常数.

将a0(X)、a1(X)、g(X)代入(27)式, 令Xi的同次幂系数为0,则可以得到一个系统的非线性代数方程组,借助符号计算系统Mathematica解此方程可得

(30)

将(30)式代入(10)式可得

(31)

将(31)式代入(9)式,可得(9)式的解,故(3+1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程的精确解为

u(x,y,z,t)=

其中ξ0为任意常数.

3 结论和展望

在交换代数环论的基础上,运用首次积分法,借助符号计算系统Mathematica,本文对(3+1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程进行了研究,获得了该方程的精确行波解,这些解均为新解.下一步, 打算对此方法进行改进,使其可以往高阶的、高维的非线性波动方程上推广研究,此外还准备结合分岔理论,结合相图,分析行波解的特性.

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