保E且严格保序部分一一变换半群的秩
2014-02-03龙伟锋游泰杰汪继秀
龙伟锋, 徐 波, 游泰杰, 汪继秀
(1. 贵州师范大学 数学与计算机科学学院, 贵州 贵阳 550001; 2. 湖北文理学院 数学与计算机学院, 湖北 襄阳 441053)
在半群代数的研究中,变换半群的秩一直是研究的重要课题之一,关于它的研究已经有了许多成果[1-6].
通常,一个有限变换半群S的秩定义为:rankS={min|A|:A⊆S,〈A〉=S}.如果S是由幂等元集E生成的,那么S的幂等元秩定义为:irankS={min |A|:A⊆E,〈A〉=S}.显然有rankS≤irankS.
设[n]={1,2,…,n}并赋予自然序,In与Sn分别表示[n]上的对称逆半群和对称群.设α∈In,若∀x,y∈dom(α),x≤y蕴含xα≤yα,则称α为保序部分一一变换.令POIn={α∈InSn:∀x,y∈dom(α),x≤y蕴含xα≤yα},则POIn是In的一个逆子半群,称之为保序部分一一变换半群.文献[1]刻画了POIn的秩与表示.
设X为有限集合,E为X上的等价关系且IX为X上的对称逆半群.令
IE*(X)={f∈IX:∀x,y∈dom(f),(x,y)∈E
当且仅当(f(x),f(y))∈E},
则IE*(X)为IX的逆子半群,称为保E*关系部分一一变换半群.文献[2]讨论了它的Green关系与秩.
令X为有限集合,E为X上的等价关系且IE*(X)为X上的保E*关系部分一一变换半群.设f∈IE*(X)且dom(f)={a1,a2,…,ar},其中a1
任取x,y∈X,若x≤y,定义[x,y]={z∈X:x≤z≤y}.对于一般情形,即对任意的有限全序集X和X上的任意等价关系,很难描述半群SPOIE(X)的秩.因此,先考虑一种特殊情形.本文总是假设X={1,2,…,nm}(n≥3,m≥2)为全序集,E为X上的等价关系,满足
E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am),
其中,Ai=[(i-1)n+1,in],i=1,2,…,m.本文在上述全序集与等价关系下,讨论了SPOIE(X)的秩.
1 预备知识
为了叙述方便,在SPOIE(X)上引入下面的二元关系,∀f,g∈SPOIE(X),定义
(f,g)∈L△当且仅当im(f)=im(g),
(f,g)∈R△当且仅当dom(f)=dom(g),
(f,g)∈H△当且仅当im(f)=im(g)且dom(f)=dom(g),
(f,g)∈J△当且仅当|im(f)|=|im(g)|,
则H△、L△、R△、J△都是SPOIE(X)上的等价关系,易见H△⊆L△⊆J△,H△⊆R△⊆J△.对1≤r≤nm-1,记
文中未说明的符号与概念请参看文献[9].
2 主要结果与证明
首先给出本文的主要结果.
定理1rank SPOIE(X)=nm.为了完成定理1的证明,下面给出若干引理.
情形1|Ap∩dom(f)|=n-1,不妨设
其中a1
a1
f(a1)
f(aj+1)<…
以下分3种情况讨论.
则有
2)i
f∣Ap=ψφ=η∣Aqξ∣Ap=
此外考虑当x∈dom(f)Ap时,ηξ(x)=η(f(x))=f(x).故f=ηξ.
3)i>j.证明类似于2)的证明.
情形2|Ap∩dom(f)|≤n-2,设
其中a1
设s是在1,2,…,t中使得f(as)≠qn+s的最小整数,则f(as)≥qn+s+1.下面分3种情况一一讨论.
1)s
下证f=η2η1ξ.由ξ、η1、η2的定义,易验证dom(η2η1ξ)=dom(f)且
f∣Ap=νμθ=η2∣Aqη1∣Aqξ∣Ap=
2)s=i+1.令
下证f=η2η1ξ.由ξ、η1、η2的定义,易验证dom(η2η1ξ)=dom(f)且
f∣Ap=σρθ=η2∣Aqη1∣Aqξ∣Ap=
3)s>i+1,证明类似于2)的证明.
1) 当j∈{1,2,…,n-1},
gij:X{in+j}→X{in+j+1},
2) 当j=n时
gin:X{(i+1)n}→X{in+1},
由gi1,gi2,…,gin的定义,易验证对∀i∈{1,2,…,m},都有im(gij)=dom(gij+1)(j∈{1,…,n-1}),im(gin)=dom(gi1).
引理2令A={gij:1≤i≤m,1≤j≤n},则SOPIE(X)=〈A〉.
由引理2及有限半群秩的定义可得如下推论:
推论2rank SOPIE(X)≤nm.
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