特殊图形·特殊角度·特殊模型——也谈“一道几何考题”的思路、反思与启示

☉江苏省海安县胡集初级中学 钱宜锋

特殊图形·特殊角度·特殊模型
——也谈“一道几何考题”的思路、反思与启示

☉江苏省海安县胡集初级中学 钱宜锋

近读《中学数学》，夏再迅老师在文1中对一道几何考题作出解后反思，达到深刻理解后给出四种改编，这种解题与命题研究的取向很值得学习.本文也由这道考题出发，链接几道“经典考题”，然后重点谈谈解题教学中应该重视特殊图形、特殊角度、特殊模型的追求.为了方便阅读，先列出文1中的考题.

一、考题及思路简述

例1（2013~2014学年北京市海淀区九年级上学期期中数学卷，第24题）已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6，CD⊥AB于D，点E在直线CD上，DE=CD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.

图1

（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：___________，___________.

（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF=2FD时，求证：∠CNE=45°.

（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得∠CNE=45°？若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由.

解答见文1，为节约篇幅，这里从略.

二、“经典问题”的链接

第二问的突破让我们想起了下面两个相关的“经典问题”.

例2（摘选自2013年四川达州中考卷，第24题）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由.

图2

思路简述：AB=CD，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.由∠ADC=∠B=90°，得∠FDG=180°，则点F、D、G共线.易证△AFG≌△AFE，则EF=BE+DF.

由文1中的反思，我们也顺便归纳一下这道经典问题的结构.

如图2，设E、F为正方形的边BC、CD上的点，则下列命题等价：

（1）∠EAF=45°；

（2）△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半；

图3

例3 （2013年辽宁锦州，第25题）如图3，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连接EF.

（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想.

（2）在图3中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系.

（3）如图4，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M.试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想.

图4

思路简述：（1）猜想EF=BE+DF.但本题中直接作EF的垂线，没有条件证明全等，如图5，可考虑在CB的延长线截取BG=DF，连接AG.通过构造△ADF≌△ABG，进而证明△GAE≌△FAE，则GE=EF，可证EF=BE+DF.

图5

（2）如图5，可以通过证△AMF≌△ABG或△AME≌△ABE，得AM=AB.

图6

（3）如图6，在CB的延长线上截取BG=DF，连接AG.类比（1）可证△GAE≌△FAE.根据“两三角形面积相等、底相等，则高相等”，可得AM=AB.

解后反思：可以发现，例3用一个“实物”三角尺取代了例2中那个“∠EAF=45°”的信息，本质还是一致的，只是条件呈现的一种多元表征而已.

值得一提的是，2013年四川达州中考卷第24题还提出了如下的“联想拓展”.

图7

例4 如图7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°.求证BD2+EC2=DE2.

证明思路：如图8，△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′.

由△ABD≌△ACD′，得CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′AC.

在Rt△ABC中，由AB=AC，得∠ABC=∠ACB=45°，则∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′CE=90°，则D′C2+CE2=D′E2.

由∠DAE=45°，得∠BAD+∠EAC=45°，则∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′AE=45°.则△AD′E≌△ADE，则ED=ED′，则DE2=BD2+EC2.

图8

三、两点启示

1.向学生传递“识别特殊”、“用好特殊”的意识

罗增儒教授在《解题学引论》中指出：“学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略.”解题教学中要重视帮助学生训练积累特殊、识别特别、用好特殊的意识，也即罗增儒教授提出的“模式识别”策略.可以发现，如果学生对平时的经典问题善于总结、积累（如例2~4的图形及相关的等价命题），那么，在突破例1这样的考题时，就可能迅速地将问题转化成在图2这样的大正方形平台下思考、突破.正如有同行说这种解法是“置身大格局，获得大光明”，有一定的道理.

2.向学生传递“并列问题与递进求解”策略

事实上，本文将一些同类经典考题罗列在一起，阐释的正是解题教学要向学生传递“并列问题与递进求解”策略［3］，这种并列问题与递进求解的思想是广泛存在于综合题中的.以例1这道考题为例，第一问看似考查基础概念（全等三角形的判定），看似简单，用意深远；以例3来说，图3到图4就是一种递进式的求解策略；对于例4，图8的这种辅助线可视作基于旋转而来.可见，解题教学中，向学生传递“并列问题与递进求解”策略是十分必要的，这样才能避免几何问题中辅助线添加像是“魔术师手中飞出的鸽子那样神奇”（波利亚语）.特别是，学生在思路突破中如果联想到例2、例3这样的经典问题或模型，从而获得例1的求解思路或突破方向时，这也是一种更广义“并列问题”（两个“不相关”问题，一个在考场上出现，一个是此前曾研习或积累过的经典模型）与“递进求解”（将“不相关”问题关联起来并有效转化获得思路并突破成功）的策略.

1.夏再迅.试题改编需要理解深层结构——由一道几何考题的求解说起［J］.中学数学（下），2013（12）.

2.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

3.刘东升.“并列”式问题与“递进”式求解——由一则解题教学案例说起［J］.中学数学教学参考（中），2012（8）.