引领教学：“课题研究”考题的价值思考

2014-02-01江苏省赣榆县塔山中学万学友

中学数学杂志 2014年4期

☉江苏省赣榆县塔山中学万学友

引领教学：“课题研究”考题的价值思考

☉江苏省赣榆县塔山中学万学友

《义务教育数学课程标准》（2011年版）中关于“综合实践”有如下表述：“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和解决问题.”［1］新课改以来的十多年里，各地中考试卷中出现了一类新题型：“课题研究”类考题.笔者理解，这类考题的教学导向主要是指向教学，促进学生学会学习数学、研究数学.本文结合一些“课题研究”类考题，尝试解读命题价值，思考教学导向，与同行研讨.

一、倡导由教材出发，自主探究新知

（1）写出点B的坐标，并求a的值；

图1

①求n的值；

②分别写出平移后的两个图像C′和l′对应的函数关系式；

价值思考：对于第（2）问，引导再读教材后，可将函数y=（fx）的图像向左（或向右）平移k（k＞0）个单位后得到新的函数解析式为y=（fx＋k）（或y=（fx－k）），这样双曲线平移后的函数解析式为，将M（2，4）代入可得n的值，进一步平移后，一次函数的解析式可求.最后画出平移后的图像，利用数形结合思想（即图像法）即可写出不等式的解集.经历上述“教材再读”、“模仿操作”“、新题探究”等过程之后，解题和探究过程本身就是一种教学引领：要重视对教材的研究，加强对教材内容的深刻理解，哪怕是像教材上的一道探究习题，也值得认真、深入地研习.从这个角度看，章建跃教授的“教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的”［2］论点就显得有意义.

二、重视特殊到一般，学会拓展研究

例2（2013年福建莆田第25题）在Rt△ABC中，∠C=0°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN.作MF⊥AB于点F，NE垂直AB于点E.

（1）特殊验证：如图2，若AC=BC，且D为AB的中点，求证：DM=DN，AE=DF.

（2）拓展研究：若AC≠BC.

①如图3，若D为AB的中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；

图2

图3

②如图4，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其他条件不变，请探究AD与DF的数量关系并加以证明.

价值思考：《义务教育数学课程标准》（2011年版）在“课程内容”中提到了十个关键词，其中“创新意识”首次出现，并且明确指出“学生自己发现和提出问题是创新的基础”，本题也是强化问题意识的一个尝试.值得一说的是，问题设计明确提出“特殊验证”、“拓展研究”，意在传递研究范式，学习和研究数学不仅需要模仿、运算、演绎，还需要思辨批判，需要在一般中发现特例、构造反例，这些都是创新人才必备的思维品质.此外，解题中要重视特殊的意识应该成为解题教学的一种追求，这事实上关系到“模式识别”策略，即“在学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略.”［3］

三、善于类比探究，追求拓展延伸

例3（2013年浙江衢州第22题）提出问题：

（1）如图5，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC=∠ACN.

类比探究：

图5

图6

（2）如图6，在等边△ABC中点M是BC边延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由.

拓展延伸：

（3）如图7，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC边上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC，连接CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由.

图7

价值思考：类比学习不仅在数学上有广泛的体现，在其他学科领域都有，比如响尾蛇导弹就是取自一种蛇类的名称，这种蛇体积很小，平时使用红外线感知器官来捕捉温血猎物.响尾蛇导弹是世界上第一款红外制导空导弹，它可以如同响尾蛇一样感知敌机发出的温度进行攻击，在多次实战中，被其击落的飞机大概有200多架，被人们称之为是划时代的空中杀手.这道问题明确提出“类比探究”、“拓展延伸”也是一种强烈的教学导向，倡导学生重视类比方法.事实上，在日常教学中，方程与不等式、从分数到分式、从三角形到四边形，从一次函数到反比例函数或二次函数等，这些学习都需要类比，学生了有类比的意识，就在潜移默化中掌握了学习数学知识的“基本套路”，这里也可顺便提及章建跃教授在文4中强调的“基本套路”的教学，如代数教学中，无论是数、式、方程、不等式，都应强调从运算的角度发现和提出问题、分析和解决问题，并称这就是“代数的整体性”.而具体对象的研究中，则要遵循“定义—表示—性质—公式、法则”的“基本套路”.

四、经历数学活动，积累活动经验

例4（2013年山西第25题）数学活动——求重叠部分的面积.

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题.

图8

如图8，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G.

求重叠部分（△DCG）的面积.

（1）独立思考：请解答老师提出的问题.

（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图9，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程.

图9

（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题.“爱心”小组提出的问题是：如图10，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积.

图10

任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是_____.

②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图11中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图8的基础上按顺时针方向旋转）.

图11

价值思考：这道考题从一个“重叠部分的面积”的数学活动出发，经过“问题情境”展示、倡导“独立思考”后“合作交流”，并且引领学会“提出问题”，这一活动过程是对当前数学活动的一种范式引领，引导学生学会自主学习和研究数学.笔者特别欣赏这里所提的“独立思考”，想到近期研习江苏南通著名的特级教师李庾南老师的“自学·议论·引导”教学法，李老师认为“自学、议论、引导是教学的三个重要环节，独立自学是基础，群体议论是枢纽，相机引导是关键.它们又不仅仅是教学的环节，更应是教学的基本理念.”［5］对于独立自学，李老师进一步指出：“在教师的引导下，学生调动自己的各种感官，以思维训练为核心，积极、主动、自觉地独立阅读、倾听、演练、操作、笔记、思考，关键是学生的积极思维和独立思考.”从独立自学的角度看，山西卷的这道考题起到很好的教学导向，即数学课堂要重视学生的独立自学，重视学生在教师的有效指导下的独立自学.当然，这道题最后还倡导了提出问题的教学取向，这也是所倡导的开放教学、变式教学，值得我们回味.