基于滑动无偏灰色马尔科夫模型的水库年降雨量预测

侯翔龙，阳 辉

（1.太原理工大学 水利科学与工程学院，山西 太原030024；2.太原理工大学 环境科学与工程学院，山西 太原030024）

水库，可起防洪、蓄水灌溉、供水、发电等作用。水库年降雨量的大小对农业灌溉以及水库蓄调有着重要影响。本文以山西省寿阳县蔡庄水库研究区，该水库始建于1959年12月，1962年4月竣工，是一座以防洪为主兼顾灌溉、养殖和工业用水的中型水库。在以往有关降雨量预测的科学与研究中，广大科研与技术工作人员使用的模拟方法较单一，使用传统灰色模型的情况更多，缺乏各种方法的比较与筛选，对单一模型的缺陷改进不足，尝试多种方法的搭配使用的情况也不多，致使模型过于简单，适用面较窄，对不规律原始数据的适用程度较低，从而降低了对波动性数据的模拟精准程度。

本文通过传统灰色、无偏灰色、滑动无偏灰色以及滑动无偏灰色马尔科夫4种方法，对水库年降雨量进行数值预测模拟，模拟的数据可用于水库的蓄调管理，同时可为周边农业区的灌溉养殖任务的完成提供有力的保障。另一方面，该水库的年降雨量模拟预测值体现出的特征与规律也能够较好的反映出整个地区的水文降雨特征。

1 模型的建立

1.1 建立传统灰色模型

（1）设原始序列［1］：

（2）对X（0）进行一次累加，得：

对 X（1）相邻的两项求均值［2］，得Z（1），

于是：

对参数列＾a＝［a，b］T进行最小二乘估计［3］，得

（3）确定模型：

（4）时间响应序列：

还原求出X（0）的模拟值。由

最终求出预测序列 ＾X（0）。

1.2 建立无偏灰色模型

设立无偏GM（1.1）模型的参数为u，A，则对原始序列x（0）k＝Aeu（k－1），k＝1，2，…，n做一次累加［4－5］，生成

由传统GM（1，1）方法建模得：

由式（10）可求得用传统 GM（1，1）模型参数a，b表示u和A的估计为：

建立原始数据序列模型：

式中：＾x（0）（k＋1）（k＝0，1，…，－1，n）——原始数据序列的拟合值；＾x（0）（k＋1）（k≥n）——原始数据序列的预测值。

1.3 建立滑动无偏灰色模型

对原始数据X（0）进行一次加权滑动平均处理后［6］，再建立无偏灰色模型，这样形成滑动无偏灰色模型。

（1）原始数列为：

（2）加权平均处理得：

其中：

1.4 建立灰色无偏马尔科夫模型

1.4.1 状态的划分 以滑动无偏 GM（1.1）模型得出的原始数据序列曲线Y（k）为基准［7］，在Y（k）上下两边分别做n，m（m和n可相同，也可不同）条与Y（k）平行的曲线，这样，m＋n＋1条平行曲线共组成m＋n个区间Q1，Q2，Q3，…，Qm＋n。处于不同区间中的点可依据所属区间距离中心线Y（k）曲线的远近，表示自身的偏离程度。任意状态区间Q1表达为：Qi＝［Qi1，Qi2］（i＝1，2，3，…，s），Pij（k）＝Mij（k）／Mi（i＝1，2，3，…，s），其中：Qi1＝＾Y（k）＋A1，Qi2＝＾Y（k）＋Bi〔A（i），B（i）是平移常数〕。

1.4.2 状态转移概率矩阵 状态划分好以后，利用m步状态转移概率的计算公式：

式中：Mij（k）——由状态Ei经过k步转移到状态Ej的原始数据的个数；Mi——处于状态Ei的原始数据的个数；Pij（k）——由状态Ei经k步转移到状态Ej的概率，状态转移概率矩阵：

2 模型仿真

2.1 研究区简介

研究区为蔡庄水库，1964—2008年坝址以上流域面积多年平均降水量为502.3mm，最大年降水量为760.5mm，年份为1973年；最小年降水量为246.4mm，年份为1972年。流域主要地貌类型为黄土丘陵区和土石山区。本文研究的数据样本取自水库的年降水量资料，其中1964—2003年的降水资料为模型的原始数据，2004—2008年的降水资料为模型模拟数据。数据分析软件为Matlab 2012。

2.2 3种灰色模拟方法模拟结果比较

根据前面所建立的传统灰色模型、无偏灰色模型、滑动无偏灰色模型进行模拟计算，结果见表1。

表1 3种灰色模拟法模拟结果

同时，将3种灰色模拟法得出的模拟结果分别与实际降雨量进行比较（见图1—3）。

图1 蔡庄水库实际年降雨量与传统灰色模型模拟降雨量对比

图2 蔡庄水库实际年降雨量与无偏灰色模型模拟降雨量对比

图3 蔡庄水库实际年降雨量与滑动无偏灰色模型模拟降雨量对比

由图1—3可以看出，3种灰色模拟方法精度相当，改进灰色模拟方法的模拟效果提高并不明显，这是因为2004—2008年这5a间，每年的降雨量变化幅度相对较大，而原始数据量庞大运用了40a的实际降雨数据，并且数据从总体看接近线性，所以传统灰色模型的模拟效果得到了很大的提高，作者曾在另外的数据模拟中发现，如若减少原始数据量，传统灰色模型的模拟精度将大大下降，另外两种改进灰色模型精度虽然也会下降，但是最终模拟效果要优于传统灰色模型，这是因为当数据量减小时，从另一角度看，数据的波动性将相对变大，从而影响了传统灰色模型的模拟精度。

尽管两种改进灰色方法使得模型模拟效果有了一定的提高，但是仍然克服不了灰色模型对于非线性数据的不适性，为了进一步的提高模拟精度，对滑动无偏灰色模型进行马尔科夫修正，建立滑动无偏灰色马尔科夫模型。

2.3 对滑动无偏灰色模型进行马尔科夫修正

2.3.1 状态划分 按1964—2003年的滑动无偏灰色模型模拟数据与实际降雨数据的相对误差的大小划分。分为5个区间，设相对误差为C。区间1：C1∈（－∞，－0.3）；区间2：C2∈（－0.3，－0.1）；区间3：C3∈（－0.1，0）；区间4：C4∈（0，0.1）；区间5：C5∈（0.1，0.3）；区间6：C6∈（0.3，0.5）。

2.3.2 一次转移概率矩阵 由区间得滑动无偏灰色模型模拟数据的一次转移概率矩阵，设：C1＝1，C2＝2，C3＝3，C4＝4，C5＝5，C6＝6。

由一次转移概率矩阵发现2003年的数据属于第4行，由以上得2004年滑动无偏灰色马尔科夫模型模拟数据为448.2mm。模型采用等维新信息方法处理，去掉最靠前1964年的数据，加入新近预测出的2004年的数据，再推算出下一年数据。由此得到的5a模拟数据与原始数据对比（见表2）。

表2 改进灰色模型与改进灰色马尔科夫模拟法模拟结果比较

3 结论

通过对滑动无偏灰色模型进行马尔科夫修正，提高了模型模拟数据的精确程度。当历年径流量发生非线性波动时，改进灰色马尔科夫模型精度提升更为明显，这也体现了对灰色模型进行马尔科夫修正的必要性。但是从模拟结果来看，部分年份的模拟精度仍然不高，另外两种改进灰色模拟方法模拟精度提高有限，个别年份精度甚至低于传统模型。在灰色马尔科夫模型的建立过程中，使用等维新信息的方法，原始数据实时更新，从而提高了模型的精度。马尔科夫模型的分区的是决定的模型模拟效果好坏的关键，理论上分区越详细越好，但是实际操作发现，过于密集的分区会导致模拟新数据区间不易选择，从而增大了误差，因此，区间的合理划分与判断是今后值得关注与改进的一个方向。

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