浅谈统计物理学中相空间概念的教学

潘瑞琨，曹万强，张柏顺，郑克玉

（湖北大学 材料科学与工程学院，湖北 武汉 430062）

浅谈统计物理学中相空间概念的教学

潘瑞琨，曹万强，张柏顺，郑克玉

（湖北大学 材料科学与工程学院，湖北 武汉 430062）

本文从教学方法的角度，对统计物理学中相空间概念的引入、适用对象和相关计算作了一些探讨。相空间是为了对粒子或系统的微观运动状态进行描述而引入的；这里的粒子或系统必须是由全同和近独立粒子组成；当微观粒子在宏观大小空间运动，两个相邻能级的最小间距远小于粒子热运动能量时，粒子的波动性不显著，可以借用μ空间形象地描述粒子的量子状态；在教学中，可以用微观状态数目的计算来举例，帮助理解相空间概念。

统计物理；相空间；教学

统计物理学的理论基础或者说基本原理认为：宏观的物质（物体）是由大量的微观粒子如分子、原子等组成的，而物质的宏观特性是这些大量微观粒子作无规则微观运动的集体体现，物质或物体的宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值[1]。要清楚地表述统计物理学这一个基本理论，就要涉及一个重要的物理概念：即相空间。此概念是为了对粒子或系统的微观运动状态进行描述而引入的。

在统计物理学中，微观粒子或系统的微观运动状态是指该粒子或系统的力学运动状态。可以对微观运动状态的描述进行分类，一般分为经典描述和量子描述两种情况：第一，经典描述是指微观粒子的运动遵守经典力学的规律；第二，当组成系统的微观粒子按照量子力学的规律在运动时，这样的描述就称为量子描述。当满足一定的条件时，借用相空间的概念还可以对量子描述的量子态给出对应的关系[2]。在教学中，为了全面透彻地讲解相空间概念，使学生明了其在统计物理学中的地位和作用，本文将对统计物理学中的相空间进行一些教学上的探讨。

一般的统计物理学教材对粒子相空间的定义是这样的[1]：微观粒子在m维坐标空间中运动，就用q1，…，qm，p1，…，pm坐标和动量为坐标变量，构成一个2m维的空间，用于形象地描述粒子的力学运动状态，称为μ空间。这里的μ空间是相空间概念的一种。微观粒子在运动中，其力学运动状态时刻在变化，任意时刻的运动状态由μ空间中某一点表示，这个点代表粒子某时刻的运动状态。在一般情形下，粒子的运动状态还会随着时间改变，则运动状态点相应地在μ空间中移动，于是描绘出一条轨道，称为相轨道。

对于在实际的三维坐标空间中运动的粒子，初学者还能想象到其运动图像。但是三维坐标空间粒子的相空间有6维，初学者不易想象。在教学中，要着重强调μ空间是描述粒子运动状态的抽象空间，但不仅仅是为了几何化、形象化地描述粒子运动状态。在统计物理学中描述系统微观状态时有重要作用，还可以提及固体物理学中，分析原子振动的状态以及能带理论中电子运动状态时，都可以借助相空间的概念。其二，粒子的相空间包含坐标空间和动量空间，粒子实际存在和运动的空间应是坐标空间而不是相空间。其三，相空间中的点，代表着粒子的力学运动状态，而不是代表一个粒子在实际坐标空间中运动的轨迹图象。更一般情形下，当粒子在运动时，其状态会随着时间变化，则相空间中的代表点相应移动，描划出“轨道”，但不是粒子实际运动的轨道。

在教学中，需要对学生强调和明确：相空间是为了形象地描述系统的微观运动状态，统计物理中提到的物质系统必须由全同的粒子和近独立的粒子组成，满足这样的前提，才能在同一个相空间中描述该系统的所有粒子的力学运动状态[2，3]。因此，统计物理学的相空间概念，只适用于由全同粒子和近独立粒子组成的系统。统计物理学中最常用的最概然分布法，也称为最概然统计法，也只适用近独立粒子组成的系统。推广到更一般的情况，就要考虑系统中粒子间的相互作用。此时，系统中每个粒子的力学运动状态既决定于自身的坐标和动量来确定，也决定于其他粒子的坐标、动量。在这种情形下，必须把系统作为一个整体来考虑。不能用μ空间来描述系统微观运动状态，而必须采用一个新的相空间概念，即Γ空间[1]。

一般的统计物理学教材中，是先对几个经常用到的力学模型举例，来说明全同和近独立粒子的相空间，然后对系统微观状态作描述，并指出：在经典力学基础上建立的统计物理理论，称为经典统计物理学；而量子统计物理学是建立在量子力学基础上的。二者既有区别，又有联系：二者在统计原理上是相同的，仍以等概率原理为基本假设；主要的区别在于对微观运动状态的描述即力学基础不同[1，4]。因此在教学中，要强调以上提到的相空间，是为了从三维实际空间上形象地描述粒子力学运动状态和系统微观运动状态，而采用的相空间概念：μ空间或Γ空间。虽然有粒子或系统的经典描述，但是从更基本的物理规律来看，微观粒子都是遵从量子力学的运动规律，对其力学运动状态和相应系统的微观运动状态的描述，应采用量子力学的原理和方法。

至此，有的学生会迷惑：一般的教材在提出相空间概念后，又提到了量子状态和量子相格[1，5]。是不是可以认为：也能用粒子的坐标和动量来确定量子态？量子力学的原理指出，微观粒子都具有粒子性和波动性，微观粒子的运动不具有宏观物体的轨道运动，不可能同时确定微观粒子的坐标和动量。在教学中要仔细讲解一个例子：三维粒子在一个长方体盒子中如何被动量子化，进而得出一个结论：采用量子理论描述粒子的运动状态时，把微观粒子的运动视为在宏观大小的体积内运动，那么粒子的动量、能量就是准连续地变化着，才可以用相空间中的相格来描述量子态。当粒子在宏观大小的体积内作无规则热运动时，粒子的两个相邻能级最小间距远小于粒子的热运动能量Δε＜＜kT。这时，普朗克常数h不起重要作用，粒子的波动性不明显，粒子的动量和能量分立的量子特征就不明显，则可以借用μ空间形象地描述粒子的量子状态。

基于以上的讨论，由于相空间适用于宏观体积中运动的近独立粒子体系，计算粒子微观状态数目时，都可以采用这样的计算式：微观状态数目=相空间体积/相格体积=（坐标空间体积×动量空间体积）/相格体积，这里相格的体积在量子情形时即hm，在经典情形时即。在教学中，可以如下举例：计算在体积V内，在动量大小为p-p+dp范围内的自由粒子可能的状态数目为其中4πp2dp为动量空间的球壳体积。推广到固体物理学中晶格振动模式密度、电子态密度的计算[7，8]，也可以这样处理，使得初学者很易于接受。

[1]汪志诚.热力学统计物理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]彭家骥.统计物理学中的相空间 [J].四川教育学院学报，1998，14（2）：66-69.

[3]苏汝铿.统计物理学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]成元发.量子统计与经典统计的区别和联系[J].湖北大学成人教育学院学报，2003，21（2）：76-78.

[5]林宗涵.热力学与统计物理学（第一版）[M].北京：北京大学出版社，2007.

[6]王培楠.统计物理学中的系综理论[J].运城师专学报，1985，（4）：33-37.

[7]黄昆，韩汝琦.固体物理学[M].北京：高等教育出版社，2010.

[8]郭密.摩擦能量耗散的统计热力学初步研究[D].南京航空航天大学硕士论文，2009.

G642.3

A

1674-9324（2014）26-0178-02

本项目由湖北大学教学改革与研究项目201302资助。

潘瑞琨，男，湖北大学材料科学与工程学院，主要研究方向：材料物理。