一元二次方程错例探究
2014-01-24邹海军
邹海军
一元二次方程在初中数学教学中应用非常广泛，牵涉的知识点较多，也是各地中考考题中重点考查的一个知识点.然而在解题过程中，学生常会因为概念不清、考虑不周而出现忽视二次项系数不为0、对未知数及其系数的取值范围考虑不周、忽视一元二次方程根的判别式、忽视实际问题中检验方程解的合理性等问题.因此，笔者就一元二次方程中常见的错误解法进行分析，以求提高学生的解题能力.
一、忽视二次项系数不能为0
例1已知：关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实根，求k的取值范围.
错解：∵方程有实根，
∴△=b2-4ac≥0，
即（-2）2-4k≥0，解得k≤1.
分析：对于一元二次方程来讲，学生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽视了“二次项系数不为0”的条件，即a≠0.如果忽视了一元二次方程中二次项系数不为0的这一条件，那么当a=0时，此时方程也就成了一个一元一次方程了.而本题已点明是一个一元二次方程，所以本题的正解应为k≤1且k≠0.
二、对未知数及其系数的取值范围考虑不周
例2关于x的方程mx2-3x+2=0有实数根，求m的值.
错解：∵△=b2-4ac>0，
∴（-3）2-4m×2≥0，解得m≤98.
∵二次项系数m≠0，
∴m≤98且m≠0.
分析：此题中，学生考虑到了一元二次方程中二次项系数不为0的这一条件，但此题并没有明确指明是二次方程.如果题目改成：“关于x的二次方程mx2-3x+2=0有实数根，求m的值”，那么学生的上述解题过程完全正确.因此在本题中，学生默认了它是二次方程，却忽视了也有一次方程的可能，即当m=0时，原方程化为-3x+2=0，有实数根x=23.因此，本题的正解应为m≤98即可.
三、忽视一元二次方程根的判别式
例3关于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的两实数根的平方和等于11，求m的值.
错解：设方程的两根分别为x1和x2.
根据题意得x12+x22=11.（1）
∵x1+x2=-ba，
∴x1+x2=m+3.（2）
∵x1·x2=-ca，
∴x1·x2=-（2m+3）.（3）
根据（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4.
分析：此方程虽有二项系数1≠0，但由于题目中已明确有实数根，那么必须符合一元二次方程有实数根的先决条件△≥0.当m=2时，△= （m+3）2-4（2m+3） =-3<0.方程没有实数根；而当m=-4时，△=21>0，方程有两个不相等的实数根.因此在本题中，m只能等于-4.
四、忽视检验方程解的合理性
例4李奶奶想利用家中原本已有围墙（长为25m）的其中一段，再砌三面墙，围成一个面积为300m2的矩形花园.目前李奶奶已备足可以彻50m长的围墙材料，请您为李奶奶设计一下这个矩形花园的长和宽吧.
错解：假设截取原本已有围墙的长度为x.矩形花园的另一条长度应为（50-x）÷2.
根据题意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20.
当x=30时，另一边长为10m；
当x=20时，另一边长为15m.
答：李奶奶可以在自家已建围墙上截取30m长，围成长为30m、宽为10m的矩形花园；或截取20m，围成长为20m、宽为15m的矩形花园.
分析：很多学生做题做到这一步后就算完成了，他们关注的只是将应用题转化为一元二次方程，并求出方程的解，却忽视了方程解是否符合题意或是否存在实际意义.本题中，长为30m、宽为10m的矩形花园，需要在李奶奶家已有的围墙上截取长度为30m，显然与题目不符，应舍去.
上述一元二次方程题型是笔者在多年教学实践中总结出来的学生较易犯错的几个案例.为了让学生能很好地掌握和应用一元二次方程这部分知识，教师应该帮助学生以错为鉴，才能减少解题时的失误，从而提高数学解题能力.
一元二次方程在初中数学教学中应用非常广泛，牵涉的知识点较多，也是各地中考考题中重点考查的一个知识点.然而在解题过程中，学生常会因为概念不清、考虑不周而出现忽视二次项系数不为0、对未知数及其系数的取值范围考虑不周、忽视一元二次方程根的判别式、忽视实际问题中检验方程解的合理性等问题.因此，笔者就一元二次方程中常见的错误解法进行分析，以求提高学生的解题能力.
一、忽视二次项系数不能为0
例1已知：关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实根，求k的取值范围.
错解：∵方程有实根，
∴△=b2-4ac≥0，
即（-2）2-4k≥0，解得k≤1.
分析：对于一元二次方程来讲，学生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽视了“二次项系数不为0”的条件，即a≠0.如果忽视了一元二次方程中二次项系数不为0的这一条件，那么当a=0时，此时方程也就成了一个一元一次方程了.而本题已点明是一个一元二次方程，所以本题的正解应为k≤1且k≠0.
二、对未知数及其系数的取值范围考虑不周
例2关于x的方程mx2-3x+2=0有实数根，求m的值.
错解：∵△=b2-4ac>0，
∴（-3）2-4m×2≥0，解得m≤98.
∵二次项系数m≠0，
∴m≤98且m≠0.
分析：此题中，学生考虑到了一元二次方程中二次项系数不为0的这一条件，但此题并没有明确指明是二次方程.如果题目改成：“关于x的二次方程mx2-3x+2=0有实数根，求m的值”，那么学生的上述解题过程完全正确.因此在本题中，学生默认了它是二次方程，却忽视了也有一次方程的可能，即当m=0时，原方程化为-3x+2=0，有实数根x=23.因此，本题的正解应为m≤98即可.
三、忽视一元二次方程根的判别式
例3关于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的两实数根的平方和等于11，求m的值.
错解：设方程的两根分别为x1和x2.
根据题意得x12+x22=11.（1）
∵x1+x2=-ba，
∴x1+x2=m+3.（2）
∵x1·x2=-ca，
∴x1·x2=-（2m+3）.（3）
根据（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4.
分析：此方程虽有二项系数1≠0，但由于题目中已明确有实数根，那么必须符合一元二次方程有实数根的先决条件△≥0.当m=2时，△= （m+3）2-4（2m+3） =-3<0.方程没有实数根；而当m=-4时，△=21>0，方程有两个不相等的实数根.因此在本题中，m只能等于-4.
四、忽视检验方程解的合理性
例4李奶奶想利用家中原本已有围墙（长为25m）的其中一段，再砌三面墙，围成一个面积为300m2的矩形花园.目前李奶奶已备足可以彻50m长的围墙材料，请您为李奶奶设计一下这个矩形花园的长和宽吧.
错解：假设截取原本已有围墙的长度为x.矩形花园的另一条长度应为（50-x）÷2.
根据题意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20.
当x=30时，另一边长为10m；
当x=20时，另一边长为15m.
答：李奶奶可以在自家已建围墙上截取30m长，围成长为30m、宽为10m的矩形花园；或截取20m，围成长为20m、宽为15m的矩形花园.
分析：很多学生做题做到这一步后就算完成了，他们关注的只是将应用题转化为一元二次方程，并求出方程的解，却忽视了方程解是否符合题意或是否存在实际意义.本题中，长为30m、宽为10m的矩形花园，需要在李奶奶家已有的围墙上截取长度为30m，显然与题目不符，应舍去.
上述一元二次方程题型是笔者在多年教学实践中总结出来的学生较易犯错的几个案例.为了让学生能很好地掌握和应用一元二次方程这部分知识，教师应该帮助学生以错为鉴，才能减少解题时的失误，从而提高数学解题能力.
一元二次方程在初中数学教学中应用非常广泛，牵涉的知识点较多，也是各地中考考题中重点考查的一个知识点.然而在解题过程中，学生常会因为概念不清、考虑不周而出现忽视二次项系数不为0、对未知数及其系数的取值范围考虑不周、忽视一元二次方程根的判别式、忽视实际问题中检验方程解的合理性等问题.因此，笔者就一元二次方程中常见的错误解法进行分析，以求提高学生的解题能力.
一、忽视二次项系数不能为0
例1已知：关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实根，求k的取值范围.
错解：∵方程有实根，
∴△=b2-4ac≥0，
即（-2）2-4k≥0，解得k≤1.
分析：对于一元二次方程来讲，学生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽视了“二次项系数不为0”的条件，即a≠0.如果忽视了一元二次方程中二次项系数不为0的这一条件，那么当a=0时，此时方程也就成了一个一元一次方程了.而本题已点明是一个一元二次方程，所以本题的正解应为k≤1且k≠0.
二、对未知数及其系数的取值范围考虑不周
例2关于x的方程mx2-3x+2=0有实数根，求m的值.
错解：∵△=b2-4ac>0，
∴（-3）2-4m×2≥0，解得m≤98.
∵二次项系数m≠0，
∴m≤98且m≠0.
分析：此题中，学生考虑到了一元二次方程中二次项系数不为0的这一条件，但此题并没有明确指明是二次方程.如果题目改成：“关于x的二次方程mx2-3x+2=0有实数根，求m的值”，那么学生的上述解题过程完全正确.因此在本题中，学生默认了它是二次方程，却忽视了也有一次方程的可能，即当m=0时，原方程化为-3x+2=0，有实数根x=23.因此，本题的正解应为m≤98即可.
三、忽视一元二次方程根的判别式
例3关于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的两实数根的平方和等于11，求m的值.
错解：设方程的两根分别为x1和x2.
根据题意得x12+x22=11.（1）
∵x1+x2=-ba，
∴x1+x2=m+3.（2）
∵x1·x2=-ca，
∴x1·x2=-（2m+3）.（3）
根据（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4.
分析：此方程虽有二项系数1≠0，但由于题目中已明确有实数根，那么必须符合一元二次方程有实数根的先决条件△≥0.当m=2时，△= （m+3）2-4（2m+3） =-3<0.方程没有实数根；而当m=-4时，△=21>0，方程有两个不相等的实数根.因此在本题中，m只能等于-4.
四、忽视检验方程解的合理性
例4李奶奶想利用家中原本已有围墙（长为25m）的其中一段，再砌三面墙，围成一个面积为300m2的矩形花园.目前李奶奶已备足可以彻50m长的围墙材料，请您为李奶奶设计一下这个矩形花园的长和宽吧.
错解：假设截取原本已有围墙的长度为x.矩形花园的另一条长度应为（50-x）÷2.
根据题意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20.
当x=30时，另一边长为10m；
当x=20时，另一边长为15m.
答：李奶奶可以在自家已建围墙上截取30m长，围成长为30m、宽为10m的矩形花园；或截取20m，围成长为20m、宽为15m的矩形花园.
分析：很多学生做题做到这一步后就算完成了，他们关注的只是将应用题转化为一元二次方程，并求出方程的解，却忽视了方程解是否符合题意或是否存在实际意义.本题中，长为30m、宽为10m的矩形花园，需要在李奶奶家已有的围墙上截取长度为30m，显然与题目不符，应舍去.
上述一元二次方程题型是笔者在多年教学实践中总结出来的学生较易犯错的几个案例.为了让学生能很好地掌握和应用一元二次方程这部分知识，教师应该帮助学生以错为鉴，才能减少解题时的失误，从而提高数学解题能力.
