概率易混概念辨析举例

朱月祥

摘要：概率教学尤其需要加强对概念的辨析和概型的把握。互斥与独立，至多与至少，串联与并联，有序与无序，有放回与无放回等五组概念，一直是概率学习中容易混淆的。本文试就这五组容易混淆的概念加以辨析，并举例说明。

关键词：概率易混概念；辨析

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件与独立事件

互斥事件指不可能同时发生的两个事件，而两个事件独立指事件A（B）的发生与否对事件B（A）发生的概率无影响。互斥事件A，B至少有一个发生的概率计算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互独立的事件A，B同时发生的概率计算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解题时，我们应根据其定义准确判断事件间的关系，从而选用相应的公式。对比较复杂的事件，应设法将其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于计算。

例1 第48届世乒赛2005年4月在上海举行，在男单半决赛中，中国选手马琳与丹麦新秀梅兹相遇。若每局马琳获胜的概率为2/3，梅兹获胜的概率为1/3，比赛采用七局四胜制，求马琳获胜的概率。

解：马琳获胜有四种情况，即分别以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的总分战胜梅兹，而这四种情况不可能同时发生，因此可将事件“马琳获胜”分解为四个互斥事件“马4∶0胜梅”、“马4∶1胜梅”、“马4∶2胜梅”、“马4∶3胜梅”的和。又由于每局比赛相互独立，所以每个互斥事件发生的概率又可利用独立事件发生的概率公式求得。

二、至多与至少

“至多”与“至少”是对事件发生数量上、下限的规定。如事件A，B，C至少有一个发生指A，B，C中最起码有一个发生，即可发生1个，可能发生2个，也可能三个全发生，它的对立事件是A，B，C全不发生。而事件A，B，C至多有一个发生则指A，B，C中顶多发生1个，即可能发生1个，也可能全不发生，它的对立事件是A，B，C中恰有2个发生及三个全发生。解决“至多”与“至少”的问题关键是理解其本质，常转化为其对立事件的概率来计算。

例2 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲、丙两人均解错的概率为1/12，乙、丙两人均解对的概率为1/4，三人中至多两人解对的概率为13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做对这道题的概率？

解：本题是关于“至多“、”“至少”的综合问题。事件“三人中至多两人解对”与“至少有一人做对”的对立事件分别为“三人全做对”与“三人都没有做对”，因此转化为对立事件的概率来计算较为方便。

三、串联与并联

串联与并联是系统内元件间不同的连接方式（分别如图1，2）所示，一个系统的可靠度即正常工作的概率取决于每个元件的可靠度及元件间的连接方式。串联系统的特点是当其中一个元件发生故障时，系统就发生故障，即当且仅当几个元件同时工作时，系统才正常工作。并联系统的特点是当其中一个元件正常工作时，系统就正常工作，即当且仅当几个元件全发生故障时，系统才发生故障。

若事件Ai={元件Ai正确工作}（i=1，2，…，n），则得：

四、有顺序与无顺序

“有顺序”与“无顺序”是描述看待事件的两种不同角度。在进行概率计算时，我们可以用不同的模型来描述同一随机现象，只要在同一样本空间中求解，结论总是一致的。这就要求我们在计算基本事件总数及有利事件数时，要么都考虑顺序，要么都不考虑顺序。否则，容易出错。

例3 把9本不同的书平均分成三组，其中A，B，C三本分在同一组的概率P是多少？

解法：作无顺序考虑，三组不加区别，因为9本书平均分成三组共有

五、有放回与无放回

“有放回”与“无放回”是抽取问题中容易混淆的一对概念。“有放回”指被抽取元素抽出后，又放回到总体中，这样每次抽取时，被抽总体元素个数总是相同的，每次抽取相互独立，互不影响，实质就是独立重复实验。而“无放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到总体中，这样每次抽取时，被抽总体中元素个数不相同，每次抽取不再独立，具相互影响。

例4 某人有n把钥匙，其中仅有1把可以打开房间，按下列方式开门，求房门恰在第k次被打开的概率。

（1）随机逐个用钥匙试开门，试验后不放回；

（2）随机逐个用钥匙试开门，试验后放回。endprint

摘要：概率教学尤其需要加强对概念的辨析和概型的把握。互斥与独立，至多与至少，串联与并联，有序与无序，有放回与无放回等五组概念，一直是概率学习中容易混淆的。本文试就这五组容易混淆的概念加以辨析，并举例说明。

关键词：概率易混概念；辨析

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件与独立事件

互斥事件指不可能同时发生的两个事件，而两个事件独立指事件A（B）的发生与否对事件B（A）发生的概率无影响。互斥事件A，B至少有一个发生的概率计算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互独立的事件A，B同时发生的概率计算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解题时，我们应根据其定义准确判断事件间的关系，从而选用相应的公式。对比较复杂的事件，应设法将其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于计算。

例1 第48届世乒赛2005年4月在上海举行，在男单半决赛中，中国选手马琳与丹麦新秀梅兹相遇。若每局马琳获胜的概率为2/3，梅兹获胜的概率为1/3，比赛采用七局四胜制，求马琳获胜的概率。

解：马琳获胜有四种情况，即分别以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的总分战胜梅兹，而这四种情况不可能同时发生，因此可将事件“马琳获胜”分解为四个互斥事件“马4∶0胜梅”、“马4∶1胜梅”、“马4∶2胜梅”、“马4∶3胜梅”的和。又由于每局比赛相互独立，所以每个互斥事件发生的概率又可利用独立事件发生的概率公式求得。

二、至多与至少

“至多”与“至少”是对事件发生数量上、下限的规定。如事件A，B，C至少有一个发生指A，B，C中最起码有一个发生，即可发生1个，可能发生2个，也可能三个全发生，它的对立事件是A，B，C全不发生。而事件A，B，C至多有一个发生则指A，B，C中顶多发生1个，即可能发生1个，也可能全不发生，它的对立事件是A，B，C中恰有2个发生及三个全发生。解决“至多”与“至少”的问题关键是理解其本质，常转化为其对立事件的概率来计算。

例2 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲、丙两人均解错的概率为1/12，乙、丙两人均解对的概率为1/4，三人中至多两人解对的概率为13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做对这道题的概率？

解：本题是关于“至多“、”“至少”的综合问题。事件“三人中至多两人解对”与“至少有一人做对”的对立事件分别为“三人全做对”与“三人都没有做对”，因此转化为对立事件的概率来计算较为方便。

三、串联与并联

串联与并联是系统内元件间不同的连接方式（分别如图1，2）所示，一个系统的可靠度即正常工作的概率取决于每个元件的可靠度及元件间的连接方式。串联系统的特点是当其中一个元件发生故障时，系统就发生故障，即当且仅当几个元件同时工作时，系统才正常工作。并联系统的特点是当其中一个元件正常工作时，系统就正常工作，即当且仅当几个元件全发生故障时，系统才发生故障。

若事件Ai={元件Ai正确工作}（i=1，2，…，n），则得：

四、有顺序与无顺序

“有顺序”与“无顺序”是描述看待事件的两种不同角度。在进行概率计算时，我们可以用不同的模型来描述同一随机现象，只要在同一样本空间中求解，结论总是一致的。这就要求我们在计算基本事件总数及有利事件数时，要么都考虑顺序，要么都不考虑顺序。否则，容易出错。

例3 把9本不同的书平均分成三组，其中A，B，C三本分在同一组的概率P是多少？

解法：作无顺序考虑，三组不加区别，因为9本书平均分成三组共有

五、有放回与无放回

“有放回”与“无放回”是抽取问题中容易混淆的一对概念。“有放回”指被抽取元素抽出后，又放回到总体中，这样每次抽取时，被抽总体元素个数总是相同的，每次抽取相互独立，互不影响，实质就是独立重复实验。而“无放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到总体中，这样每次抽取时，被抽总体中元素个数不相同，每次抽取不再独立，具相互影响。

例4 某人有n把钥匙，其中仅有1把可以打开房间，按下列方式开门，求房门恰在第k次被打开的概率。

（1）随机逐个用钥匙试开门，试验后不放回；

（2）随机逐个用钥匙试开门，试验后放回。endprint

摘要：概率教学尤其需要加强对概念的辨析和概型的把握。互斥与独立，至多与至少，串联与并联，有序与无序，有放回与无放回等五组概念，一直是概率学习中容易混淆的。本文试就这五组容易混淆的概念加以辨析，并举例说明。

关键词：概率易混概念；辨析

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-087-1

一、互斥事件与独立事件

互斥事件指不可能同时发生的两个事件，而两个事件独立指事件A（B）的发生与否对事件B（A）发生的概率无影响。互斥事件A，B至少有一个发生的概率计算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互独立的事件A，B同时发生的概率计算的乘法公式是P（A·B）=P（A）·P（B）。在解题时，我们应根据其定义准确判断事件间的关系，从而选用相应的公式。对比较复杂的事件，应设法将其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于计算。

例1 第48届世乒赛2005年4月在上海举行，在男单半决赛中，中国选手马琳与丹麦新秀梅兹相遇。若每局马琳获胜的概率为2/3，梅兹获胜的概率为1/3，比赛采用七局四胜制，求马琳获胜的概率。

解：马琳获胜有四种情况，即分别以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的总分战胜梅兹，而这四种情况不可能同时发生，因此可将事件“马琳获胜”分解为四个互斥事件“马4∶0胜梅”、“马4∶1胜梅”、“马4∶2胜梅”、“马4∶3胜梅”的和。又由于每局比赛相互独立，所以每个互斥事件发生的概率又可利用独立事件发生的概率公式求得。

二、至多与至少

“至多”与“至少”是对事件发生数量上、下限的规定。如事件A，B，C至少有一个发生指A，B，C中最起码有一个发生，即可发生1个，可能发生2个，也可能三个全发生，它的对立事件是A，B，C全不发生。而事件A，B，C至多有一个发生则指A，B，C中顶多发生1个，即可能发生1个，也可能全不发生，它的对立事件是A，B，C中恰有2个发生及三个全发生。解决“至多”与“至少”的问题关键是理解其本质，常转化为其对立事件的概率来计算。

例2 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲、丙两人均解错的概率为1/12，乙、丙两人均解对的概率为1/4，三人中至多两人解对的概率为13/16。求甲、乙、丙三人中至少有一人做对这道题的概率？

解：本题是关于“至多“、”“至少”的综合问题。事件“三人中至多两人解对”与“至少有一人做对”的对立事件分别为“三人全做对”与“三人都没有做对”，因此转化为对立事件的概率来计算较为方便。

三、串联与并联

串联与并联是系统内元件间不同的连接方式（分别如图1，2）所示，一个系统的可靠度即正常工作的概率取决于每个元件的可靠度及元件间的连接方式。串联系统的特点是当其中一个元件发生故障时，系统就发生故障，即当且仅当几个元件同时工作时，系统才正常工作。并联系统的特点是当其中一个元件正常工作时，系统就正常工作，即当且仅当几个元件全发生故障时，系统才发生故障。

若事件Ai={元件Ai正确工作}（i=1，2，…，n），则得：

四、有顺序与无顺序

“有顺序”与“无顺序”是描述看待事件的两种不同角度。在进行概率计算时，我们可以用不同的模型来描述同一随机现象，只要在同一样本空间中求解，结论总是一致的。这就要求我们在计算基本事件总数及有利事件数时，要么都考虑顺序，要么都不考虑顺序。否则，容易出错。

例3 把9本不同的书平均分成三组，其中A，B，C三本分在同一组的概率P是多少？

解法：作无顺序考虑，三组不加区别，因为9本书平均分成三组共有

五、有放回与无放回

“有放回”与“无放回”是抽取问题中容易混淆的一对概念。“有放回”指被抽取元素抽出后，又放回到总体中，这样每次抽取时，被抽总体元素个数总是相同的，每次抽取相互独立，互不影响，实质就是独立重复实验。而“无放回”指被抽取元素抽出后，不再放回到总体中，这样每次抽取时，被抽总体中元素个数不相同，每次抽取不再独立，具相互影响。

例4 某人有n把钥匙，其中仅有1把可以打开房间，按下列方式开门，求房门恰在第k次被打开的概率。

（1）随机逐个用钥匙试开门，试验后不放回；

（2）随机逐个用钥匙试开门，试验后放回。endprint