善用错误资源 促进目标落实

马小海+吕佳

学生由于受到家庭环境、思维方式、个性特点等方面的影响，且表达方式又不准确，学习中难免会出现各类的错误。同时，数学学习过程是一个自主建构的过程，常常需要学生自己提出假设、修正假设，因而出现错误是在所难免的。布鲁纳说过：“学生的错误都是有价值的。”教育名家华应龙老师的融错教学理念中也指出“教师需要正确对待学生的错误，错误是一种宝贵的教学资源”。所以，学生的“错”是自然现象，是不可避免的，更是“有利可图”的。

那么，作为数学教师应怎样通过行之有效的智慧调控，利用错误中有价值的因素，促进学生三维目标的实现呢？下面，笔者尝试从知识技能、数学思考、解决问题、情感态度四方面加以阐述。

一、利用错误，完善知识技能

建构主义教学理论认为：人的知识不是被动地接受的，而是通过自己的经验主动地建构的。特别是课堂上学生出现典型性错误时，是一个借鉴、完善知识的好时机。这时教师不应急于告诉学生解决问题的方法，而是要给学生留有探索的余地，让他们在主动的交流中寻求解题的策略。

例如，教学“画角”一课时，在自主探究、相互交流的基础上，学生学会了画角的初步方法，然后教师让学生独立尝试画角。但在巡视中，教师发现有几个学生把100°的角画成了80°，这是画角时很容易出现的一个错误。于是教师把这个错误抛给学生，让出现错误的一位学生将画角的过程在实物投影仪上演示，引导学生发现改进的方法。

师：在刚才这位同学画角的过程中，你发现了什么？

生1：他数量角器上的刻度时数错了，所以就画错了。

生2：0刻度在内圈的，就要数内圈的100°，不能数到外圈去。

师：从他的错误中，你受到什么启发？

生3：0刻度在内圈的，就要数内圈的度数；0刻度在外圈的，就要数外圈的度数。

生4：我觉得画好后要再去检查一下题目要求画的是锐角还是钝角，看看自己画的角是否差不多。

生5：一条边要对着0刻度，然后数刻度，从另一条边找到100°，就不会出错了。

……

上述教学中，学生画角时出现的错误看似平常，却是很多学生经常出现的错误，既是不良学习习惯所引起的错误，也是画角技能掌握不清晰、不熟练的表现。“在刚才这位同学画角的过程中，你发现了什么？”通过提问，让学生深究出现错误的原因，直抵问题的本质。学生的发言不仅指向了学习习惯，而且指向了知识技能的误区。但教师并没有到此结束，而是继续提问“从他的错误中，你受到什么启发”，引发学生的共鸣，这样既有对画角技能、方法的准确叙述，也有对学习习惯的善意提醒。心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”这样做，不但使学生明确了画角的方法和技能，而且培养了他们学习数学的自信心和探究精神。

二、放大错误，深化数学思考

郑毓信先生有一个重要的教育思想，即学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程。由此可见，“自我否定”是学生数学学习中的一项重要品质，更是落实数学思维培养目标的重要环节。因此，教学中教师应该放大学生普遍存在的错误，把学生的思维“聚焦”到错误上，在认知冲突和自我反省的过程中，实现有深度的数学思考。

例如，华应龙老师教学“平行四边形面积的计算”一课时，在学生尽情猜想、动手验证后，让全班学生交流汇报。

生1：因为平行四边形可以转化成长方形，所以面积应该是长乘以宽。

师：你是怎么想的？

生1：我们搭了一个长方形，轻轻一推就成了平行四边形。因为长方形的面积是长乘宽，所以平行四边形的面积就是长乘以宽。

师：因为长方形可以拉成平行四边形，所以平行四边形的面积就是长乘以宽。你们同意吗？（同意的学生比原先多了一些）

生2：老师，你看，还可以这样拉。（学生又将平行四边形框架反向拉成长方形）

师：他又找到“行”的例子，证据更加明显，同意平行四边形面积等于邻边相乘的请举手。（很多学生都举起了手）那你们再看——（师举起平行四边形框架，继续慢慢拉动，直到边与边几乎重合）

生3：我觉得有问题。两条邻边的长度没有变，那么邻边的乘积也没变，但是框框里面的面积却越来越少。

生4：现在框架里的面积几乎为零。

生5：老师，求平行四边形的面积不能用邻边相乘。

……

在探求平行四边形面积时，用相邻两条边的长度相乘，这是学生最初的也是最真实的想法。面对这种错误的想法，华老师没有直接否定，因为华老师认识到这是许多学生的错误，只有让学生在现实操作的过程中认识错误并幡然醒悟才是上策。黑格尔也说过：“错误本身乃是‘达到真理的一个必然环节。”所以，华老师将错就错，用学生两个想当然的错误例子误导大家“上当”，再通过“他又找到‘行的例子，证据更加明显，同意平行四边形面积等于邻边相乘的请举手。那你们再看——”的提问和操作，提供了适当的外部情境变化因素，促进学生自我反省，让学生慢慢发现“两条边长度没变，乘积也就没变，可是框架里面的面积变了”这么一个现象。截然相反的结论，深深刺激着学生固有的认识，促使他们更深入地思考，直至发现正确的平行四边形面积计算公式。

三、推进错误，促进解决问题

《数学课程标准》中所指的“解决问题”，其核心是需要学生通过观察、思考、猜测、交流、推理等富有思维成分的活动才能解决问题。赞可夫说过：“只有学生在对教材的理解上还有这样或那样的衔接不上的地方，他们求知的渴望才会产生和增长起来。当某些不相符合的地方引起学生的警觉，当他们感到还需要增加某些成分才能使知识相互‘吻合的时候，这就是好事。”所以，教师应创造并利用这些“衔接不上的地方”或是“不相符合的地方”大做文章，让学生以积极的热情投入学习活动，引导学生围绕问题进行深度探索，正确解决问题。endprint

例如，教学“平行四边形的面积”一课时，教师设计了一道练习题（如下图），让学生独立思考如何求这个平行四边形的面积。

■

在巡视中，教师发现大部分学生的方法是正确的，但有一小部分学生却写成了4.8×4或者6×5。于是教师先让方法正确的学生交流自己的算式，然后提问：“老师这也有几个算式，大家看看对吗？”教师边写边说：“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米，正确吗？”有个别学生轻轻说正确。“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米，正确吗？”说正确的学生多了几个。

师：这个长方形的面积是20×18，那么平行四边形的底是20厘米，高是19厘米，面积可以写成20×19？

■

生1：不能这么写，照这样写的话，反而是平行四边形的面积大了。

生2：刚才面积是19.2平方厘米和30平方厘米的算式是错的，面积不可能变来变去。

生3：底乘以高，这底和高应该相互垂直，才可以相乘。

……

大部分学生求平行四边形面积时，只知道用底乘高，所以当教师说“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米”“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米”，部分学生认为是对的。如果教师直接说“这是错的，应该……”，这样不仅将学生的原生态思维扼杀在起始阶段，而且会导致学生没有进行真正的思考。于是教师先是欲擒故纵，让学生认为平行四边形面积只要用底乘高就行了，然后提供一个平行四边形、一个长方形，让学生计算这两个图形的面积，使学生在巨大的面积反差中思考自己的做法，纠正自己的错误认识，并在进一步的思考、推理等思维活动中解决问题。

四、善待错误，培养情感态度

一些学生认为错误意味着失败，意味着丢人，并在错误的体验中逐渐产生消极的学习体验。现代数学论的研究表明，学生的学习效果与学习活动中的情感、意志等非智力因素密切相关。同时，《数学课程标准》指出：“数学课堂就是素质教育课堂，许多素质是可以通过数学教学活动来培养的。”因此，教师要通过自己的教学艺术，让学生在出错的现实面前，仍然有积极的情感体验，依然对数学产生好奇心、求知欲，树立自信心，主动地参与数学活动。

例如，教学“小数四则计算”的练习课，我出示题目：“有两摞同样的纸，第一摞500张，厚4.7厘米；第二摞厚7.05厘米，有多少张纸？”我发现数学水平一般且不爱发言的生1也举起来了手，于是点头示意他发言。

生1：7.05减4.7等于2.35……（原本安静的课堂，马上传来学生说“错了、错了”的窃窃私语声，生1的脸一下子红了，垂下头不安地站在那里）

看着生1难受的表情，再看着自己写下的板书（2.35正好是4.7的一半），我眼前一亮，关切地说：“孩子，你没有说错，只是没有说完。”他听后抬起头看着我。

师：结合黑板上的图想一想，2.35表示什么？

生1：第二摞纸比第一摞纸多出来的厚度。

师：非常好！善于观察的你们，难道没有发现2.35和4.7有什么关系吗？

生2：2.35是4.7的一半。

生3：第二摞纸比第一摞纸多一半，就是多250张，所以第二摞纸有750张。

生4：题目中说是一模一样的纸，2.35是4.7的一半，纸的厚度多了一半，那么纸就多了一半。（其他学生恍然大悟）

师：这种方法怎么样？（生答“好”）通过大家的讨论，我们找到了如此聪明的办法。你们说，这种办法同学们是怎样得到的？（大家把目光聚集到了生1身上，随即由衷地响起了掌声，生1脸上露出了笑容）

……

学生出错是常有的事，我们纠正错误，让学生获得清晰的认识，这无可厚非，但有些时候，我们忽视了出错学生的心理感受。如果我们能努力挖掘错误中的闪光因子，引导学生从错误走向正确，那么学生就能获得正确的认知，培养了积极的情感态度。心理学家告诉我们：“一个人只要体验一次成功的喜悦，便会激起无休止的追求意念和力量。”“孩子，你没有说错，只是没有说完。”虽是只言片语，却为生1点燃了一盏学习的心灯，从他感动的神情和喜悦的眼神中可见一斑。这样带给学生的是对学习积极性的呵护与信赖，是成功的启示与引路，是对热爱数学的肯定与馈赠。

作为与新课改同行的教师，我们应该具备民主平等的教育品质、睿智从容的教育艺术，在课堂教学出现错误时，善于发现并利用学生错误中的“价值点”，随机应变地沉着处理，激活学生沉睡的潜能。

（责编 杜 华）endprint

例如，教学“平行四边形的面积”一课时，教师设计了一道练习题（如下图），让学生独立思考如何求这个平行四边形的面积。

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在巡视中，教师发现大部分学生的方法是正确的，但有一小部分学生却写成了4.8×4或者6×5。于是教师先让方法正确的学生交流自己的算式，然后提问：“老师这也有几个算式，大家看看对吗？”教师边写边说：“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米，正确吗？”有个别学生轻轻说正确。“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米，正确吗？”说正确的学生多了几个。

师：这个长方形的面积是20×18，那么平行四边形的底是20厘米，高是19厘米，面积可以写成20×19？

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生1：不能这么写，照这样写的话，反而是平行四边形的面积大了。

生2：刚才面积是19.2平方厘米和30平方厘米的算式是错的，面积不可能变来变去。

生3：底乘以高，这底和高应该相互垂直，才可以相乘。

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大部分学生求平行四边形面积时，只知道用底乘高，所以当教师说“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米”“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米”，部分学生认为是对的。如果教师直接说“这是错的，应该……”，这样不仅将学生的原生态思维扼杀在起始阶段，而且会导致学生没有进行真正的思考。于是教师先是欲擒故纵，让学生认为平行四边形面积只要用底乘高就行了，然后提供一个平行四边形、一个长方形，让学生计算这两个图形的面积，使学生在巨大的面积反差中思考自己的做法，纠正自己的错误认识，并在进一步的思考、推理等思维活动中解决问题。

四、善待错误，培养情感态度

一些学生认为错误意味着失败，意味着丢人，并在错误的体验中逐渐产生消极的学习体验。现代数学论的研究表明，学生的学习效果与学习活动中的情感、意志等非智力因素密切相关。同时，《数学课程标准》指出：“数学课堂就是素质教育课堂，许多素质是可以通过数学教学活动来培养的。”因此，教师要通过自己的教学艺术，让学生在出错的现实面前，仍然有积极的情感体验，依然对数学产生好奇心、求知欲，树立自信心，主动地参与数学活动。

例如，教学“小数四则计算”的练习课，我出示题目：“有两摞同样的纸，第一摞500张，厚4.7厘米；第二摞厚7.05厘米，有多少张纸？”我发现数学水平一般且不爱发言的生1也举起来了手，于是点头示意他发言。

生1：7.05减4.7等于2.35……（原本安静的课堂，马上传来学生说“错了、错了”的窃窃私语声，生1的脸一下子红了，垂下头不安地站在那里）

看着生1难受的表情，再看着自己写下的板书（2.35正好是4.7的一半），我眼前一亮，关切地说：“孩子，你没有说错，只是没有说完。”他听后抬起头看着我。

师：结合黑板上的图想一想，2.35表示什么？

生1：第二摞纸比第一摞纸多出来的厚度。

师：非常好！善于观察的你们，难道没有发现2.35和4.7有什么关系吗？

生2：2.35是4.7的一半。

生3：第二摞纸比第一摞纸多一半，就是多250张，所以第二摞纸有750张。

生4：题目中说是一模一样的纸，2.35是4.7的一半，纸的厚度多了一半，那么纸就多了一半。（其他学生恍然大悟）

师：这种方法怎么样？（生答“好”）通过大家的讨论，我们找到了如此聪明的办法。你们说，这种办法同学们是怎样得到的？（大家把目光聚集到了生1身上，随即由衷地响起了掌声，生1脸上露出了笑容）

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学生出错是常有的事，我们纠正错误，让学生获得清晰的认识，这无可厚非，但有些时候，我们忽视了出错学生的心理感受。如果我们能努力挖掘错误中的闪光因子，引导学生从错误走向正确，那么学生就能获得正确的认知，培养了积极的情感态度。心理学家告诉我们：“一个人只要体验一次成功的喜悦，便会激起无休止的追求意念和力量。”“孩子，你没有说错，只是没有说完。”虽是只言片语，却为生1点燃了一盏学习的心灯，从他感动的神情和喜悦的眼神中可见一斑。这样带给学生的是对学习积极性的呵护与信赖，是成功的启示与引路，是对热爱数学的肯定与馈赠。

作为与新课改同行的教师，我们应该具备民主平等的教育品质、睿智从容的教育艺术，在课堂教学出现错误时，善于发现并利用学生错误中的“价值点”，随机应变地沉着处理，激活学生沉睡的潜能。

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例如，教学“平行四边形的面积”一课时，教师设计了一道练习题（如下图），让学生独立思考如何求这个平行四边形的面积。

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在巡视中，教师发现大部分学生的方法是正确的，但有一小部分学生却写成了4.8×4或者6×5。于是教师先让方法正确的学生交流自己的算式，然后提问：“老师这也有几个算式，大家看看对吗？”教师边写边说：“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米，正确吗？”有个别学生轻轻说正确。“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米，正确吗？”说正确的学生多了几个。

师：这个长方形的面积是20×18，那么平行四边形的底是20厘米，高是19厘米，面积可以写成20×19？

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生1：不能这么写，照这样写的话，反而是平行四边形的面积大了。

生2：刚才面积是19.2平方厘米和30平方厘米的算式是错的，面积不可能变来变去。

生3：底乘以高，这底和高应该相互垂直，才可以相乘。

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大部分学生求平行四边形面积时，只知道用底乘高，所以当教师说“4.8厘米是底，4厘米是高，那么底乘高等于19.2平方厘米”“6厘米是底，5厘米是高，那么底乘高等于30平方厘米”，部分学生认为是对的。如果教师直接说“这是错的，应该……”，这样不仅将学生的原生态思维扼杀在起始阶段，而且会导致学生没有进行真正的思考。于是教师先是欲擒故纵，让学生认为平行四边形面积只要用底乘高就行了，然后提供一个平行四边形、一个长方形，让学生计算这两个图形的面积，使学生在巨大的面积反差中思考自己的做法，纠正自己的错误认识，并在进一步的思考、推理等思维活动中解决问题。

四、善待错误，培养情感态度

一些学生认为错误意味着失败，意味着丢人，并在错误的体验中逐渐产生消极的学习体验。现代数学论的研究表明，学生的学习效果与学习活动中的情感、意志等非智力因素密切相关。同时，《数学课程标准》指出：“数学课堂就是素质教育课堂，许多素质是可以通过数学教学活动来培养的。”因此，教师要通过自己的教学艺术，让学生在出错的现实面前，仍然有积极的情感体验，依然对数学产生好奇心、求知欲，树立自信心，主动地参与数学活动。

例如，教学“小数四则计算”的练习课，我出示题目：“有两摞同样的纸，第一摞500张，厚4.7厘米；第二摞厚7.05厘米，有多少张纸？”我发现数学水平一般且不爱发言的生1也举起来了手，于是点头示意他发言。

生1：7.05减4.7等于2.35……（原本安静的课堂，马上传来学生说“错了、错了”的窃窃私语声，生1的脸一下子红了，垂下头不安地站在那里）

看着生1难受的表情，再看着自己写下的板书（2.35正好是4.7的一半），我眼前一亮，关切地说：“孩子，你没有说错，只是没有说完。”他听后抬起头看着我。

师：结合黑板上的图想一想，2.35表示什么？

生1：第二摞纸比第一摞纸多出来的厚度。

师：非常好！善于观察的你们，难道没有发现2.35和4.7有什么关系吗？

生2：2.35是4.7的一半。

生3：第二摞纸比第一摞纸多一半，就是多250张，所以第二摞纸有750张。

生4：题目中说是一模一样的纸，2.35是4.7的一半，纸的厚度多了一半，那么纸就多了一半。（其他学生恍然大悟）

师：这种方法怎么样？（生答“好”）通过大家的讨论，我们找到了如此聪明的办法。你们说，这种办法同学们是怎样得到的？（大家把目光聚集到了生1身上，随即由衷地响起了掌声，生1脸上露出了笑容）

……

学生出错是常有的事，我们纠正错误，让学生获得清晰的认识，这无可厚非，但有些时候，我们忽视了出错学生的心理感受。如果我们能努力挖掘错误中的闪光因子，引导学生从错误走向正确，那么学生就能获得正确的认知，培养了积极的情感态度。心理学家告诉我们：“一个人只要体验一次成功的喜悦，便会激起无休止的追求意念和力量。”“孩子，你没有说错，只是没有说完。”虽是只言片语，却为生1点燃了一盏学习的心灯，从他感动的神情和喜悦的眼神中可见一斑。这样带给学生的是对学习积极性的呵护与信赖，是成功的启示与引路，是对热爱数学的肯定与馈赠。

作为与新课改同行的教师，我们应该具备民主平等的教育品质、睿智从容的教育艺术，在课堂教学出现错误时，善于发现并利用学生错误中的“价值点”，随机应变地沉着处理，激活学生沉睡的潜能。

（责编 杜 华）endprint