基于脆剪分析的岩体非线性强度特性在统一强度理论中的实现

李 远，李 振，乔 兰，李 淼

（北京科技大学 金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京 100083）

1 引 言

强度理论是力学分析计算的基础，也是确定工程体安全、稳定和工程经济效益的依据。作为复杂应力状态下材料屈服破坏的规律和计算准则，强度理论表现为应力、应变、时间和温度的函数。针对不同材料的强度特性，各国学者提出了众多的强度理论，其中Mohr-Coulomb 强度理论、Griffith 强度准则、Drucker-Prager 强度准则、统一强度理论和Hoek-Brown 强度准则在岩石力学中具有较大的影响。不同的强度理论一般只能适用于某一类特定的材料[1-5]，如1864年由屈瑞斯卡(Tresca)提出的屈瑞斯卡屈服准则只适用于剪切屈服极限为拉伸屈服极限1/2 的材料；1913年Mises 给出了屈服圆条件，只适用金属材料；Mohr-Coulomb 强度理论在岩土抗拉强度计算中明显偏离实际数据；Drucker-Prager准则与实验结果不符[3,5-6]。

20 世纪60年代俞茂宏[6-8]建立了双剪强度理论，并经30年研究修正于1991年提出了统一强度理论（UST），统一强度理论包含了一系列有序变化的极限面和极限线，不仅具有重要的理论意义，而且与很多实验结果相吻合。统一强度理论中包含了现有的Mohr-Coulomb 强度理论、双剪强度理论等线性强度准则和Drucker-Prager 准则、Mises 准则等非线性强度准则，覆盖了单剪强度理论、双剪强度理论和八面体强度理论，但由于岩土材料由于原生裂隙、工程损伤而出现的非线性强度特性尚无法分析[9]。Hoek-Brown 强度准则是基于实验拟合的经验性强度准则，其参数理论意义相比Mohr-Coulomb理论并不明确，但其理论值与试验数据有良好的吻合性，体现了岩石材料非线性特征且结合岩体分级方法可获得岩体强度参数等原因在国际岩石力学领域得到了普遍认可和广泛应用[10-12]，由于Hoek-Brown 准则的参数理论意义不强和自身非线性等特征，统一强度理论中尚未包含该准则。

脆性剪切破坏是岩石中特有的一种破坏形式，是脆断破坏与剪切破坏双重机制作用的结果，两种破坏机制既有区别又有联系[13-14]。李远等[13]、隋智力等[15]对水厂铁矿、玲珑金矿等深部岩样进行试验研究，根据脆性硬岩声发射特征研究提出脆剪双线性分析方法，研究发现双线性脆剪强度曲线与Hoek-Brown 强度曲线具有极其相似的非线性强度特征，提出“Hoek-Brown 准则体现的是一种随着岩石裂隙发展从常规脆-剪性到理想剪切的过渡过程”的观点[13]。

基于脆性剪切强度的双线性分析，采用双线性函数表征岩体非线性强度变化特性，为实现岩体材料非线性的统一强度模式化提供了必要条件。

2 Hoek-Brwon 强度准则与统一强度理论关系

2.1 统一强度理论及其在岩石力学中的表达形式

统一强度理论认为，最大主剪应力恒等于另外2个主剪应力之和，即3个主剪应力中只有2个独立分量，因此，选择其中2个较大的主剪应力作为变量，并根据中间主应力变化提出一对单元体模型[6-8]。具体表达式为

式中：σ1、σ2、σ3为主应力；b为中间主剪应力及其法向正应力对岩石破坏的影响程度；α为材料单轴抗拉强度σt与抗压强度比值σc：

双剪统一强度准则由上下2个半式和相应的限制条件组成，使用时需根据应力状态判断公式的选择。公式中应力符号按照弹性力学习惯规定与岩石力学中规定相反（拉力为负，压力为正），需要将其进行变换：

2.2 Hoek-Brown 准则及其与统一强度理论的关系

Hoek-Brown 准则于1985年由霍克(Hoek)和布朗(Brown)根据各类岩石的试验结果所提出[12]，其表达式为

式中：m、s为岩体性质的常数（可根据岩体等级赋值），其他符号意义同前。

2002年Hoek 等[16]为提高准则的准确度和适用性将围岩开挖扰动影响参数加入公式中，并讨论了将Hoek-Brown准则与Mohr-Coulomb强度理论参数进行局部近似换算的方法。调整后的公式为

式中：a为岩体性质的常数。当开挖扰动较小时式（5）与式（4）计算结果基本一致。Hoek-Brown准则与Mohr-Coulomb 理论的参数对应算法如图1所示。

在Hoek-Brown 强度准则分析中，不仅考虑了岩体质量折减因素，也体现了岩土材料特殊的非线性特征。从图1 中可见，Hoek-Brown 与Mohr-Coulomb（统一强度理论中不考虑中主应力影响时的特例）两种强度理论所得结果线形不重合，只能分段近似。

2002年俞茂宏教授等采用类似统一强度理论的变量替换方法将Hoek-Brwon 准则中的主应力变量进行参数替换（σ3替换成)或σ1替换成)），得到非线性统一强度理论[17]：

图1 Hoek-Brown 强度准则与Mohr-Coulomb 强度理论主应力关系曲线对比图[9]Fig.1 Relationships between major and minor principal stress for Hoek-Brown and equivalent Mohr-Coulomb criteria

式中符号意义同前。

替换后的Hoek-Brown 准则将第二主应力的影响考虑到强度计算中，但替换后的公式与原有统一强度理论公式互不相容，只是对统一强度理论变量替换思想的一次应用。2007年俞茂宏教授基于理论分析又提出了新的线性和非线性统一强度理论的形式[9]，但Hoek-Brown 准则已经不被包含在内。

因此，统一强度理论中目前尚未将岩石力学界广泛应用的Hoek-Brown 准则及相关岩体非线性强度包含其中。

3 岩体非线性强度的脆剪分析

3.1 脆剪破坏的双重机制分析

岩石材料存在脆断和剪切2 种破坏模式，在实验中表现为：类似劈裂的竖向裂纹破坏和类似剪切的斜裂纹破坏。产生脆断破坏的岩样其单轴强度严重偏离一般围压下的Mohr-Coulomb 强度理论值，而岩石材料随着围压增大其破坏特征有向剪切破坏模式过渡的趋势[13,18-19]。乔兰等通过室内试验、理论分析和数值模拟等研究，提出了脆性硬岩的脆性剪切破坏分析方法[13,15]。脆剪破坏分析中认为，岩石材料的破坏是由脆断、剪切两种破坏机制相互作用结果，剪切破坏角度是脆断破坏中的最优开裂角度和剪切破坏时细观脆断破坏集群化体现。随着围压的增大，脆断开裂所需的表面能逐步增大，从而抑制了脆断破坏的发展，整体破坏模式向理想剪切方向发展，因此，岩石材料的强度处于脆断起始强度与理想剪切强度之间，其中脆断裂隙扩展起始强度可由声发射试验确定，理想剪切破坏强度由试验数据拟合得到。

脆性剪切破坏可以看作是两种破坏模式综合作用的结果，其强度分析公式可表示为

式中：S1为理想脆断强度；S2为理想剪切强度。

理想脆断是指材料显示出类似玻璃的脆性破坏特征，不论在何种围压影响下都产生张性折拐裂隙贯通的脆断破坏形式，不包含剪切破坏因素（裂隙沿原有走向发展）。理想剪切强度是指破坏中无裂隙的张性折拐破坏发展，材料破坏形式符合Mohr-Coulomb 理论，与水平呈（45°+φ/2）角度。

工程岩体破坏不只是几条具有简单组合关系的裂缝受力扩展的结果，所以断裂力学的具体公式难以使用。岩石断裂力学研究发现，双裂缝、3 裂缝情况下强度会按比例折减[14]，Andersson 等也发现室内岩样的裂隙初始应力即呈线性发展的声发射强度可作为现场岩体强度的下限值[20]，而从理论分析中也可以得到理想脆断的最大、最小主应力是线性关系[14-15]，所以式（7）中的理想脆断强度公式可取为

式中：C1、C2为待定参数。

理想剪切强度理论上的解释：当围压大到一定程度，试样中没有脆性断裂产生的理想破坏状态。此时破坏面完全按照Mohr-Coulomb 强度理论的破坏角度破坏。具体形式可以选用Mohr-Coulomb 模型作为理想剪切强度：

式中：D1、D2为待定参数。

如上所述，理论上岩石破坏是两种破坏模式综合影响的结果，所以引入一个系数d 来描述整体破坏中脆断破坏和剪切破坏的影响程度。混合强度公式为

式中：C1、C2、D1、D2为材料强度参数，由试验获得；d为表征脆性向剪切过渡的系数，数值大小为0～1。

脆剪d 系数呈现出随围压的增长而近似双曲线下降的规律，李远等[12]提出d 系数与围压关系可采用e 指数关系拟合，将e 指数形式代入式（10），得到脆性剪切破坏模式下强度分析公式的完整形式：

式中：k1、k2均为计算系数；e为自然对数，其他符号意义同前。

式（11）中部分参数根据试验数据拟合得到，其单位纲量在计算中容易产生混乱，因此参考Hoek-Brown 准则处理相关问题的方法，将式（11）进行无纲量标准化变形，可得

式中：σ1n=σ1/σc；σ3n=σ3/σc。

3.2 Hoek-Brown 准则的脆剪强度分析

在多组试验数据的对比分析中，脆剪强度（见式（12））体现出与Hoek-Brown 准则极高的相关性。现以Mine-by 隧道试验数据[21-22]为例，进行Hoek-Brown 准则的脆剪拟合的线性分解。

如图2 所示，Mine-by 实验隧道现场及室内试验数据显示，岩体强度符合Hoek-Brown 准则规律。由脆剪破坏分析可知，式（12）中，第一项为理想脆断破坏分量，其强度为脆性破裂起始强度，可采用声发射法进行测定；第二项为理想剪切强度分项，其具体参数需要采用试验数据的回归分析得到。参数计算采用最小二乘曲线拟合算法，采用Matlab 语言计算。

具体步骤为

①由试验数据得出Hoek-Brown准则相关参数，（见图2），Mine-by 隧道试验得到相关参数m=28.11，s=1，σc=224 MPa[16,18]。由此得到相应强度公式：

②根据声发射试验数据规律，确定脆剪分析第一项（见式（8））相关参数。如图2 所示，Mine-by隧道裂隙初始强度（声发射实验中凯瑟点对应的应力值大小）可确定：C1=1.5，C2=71 MPa。

图2 Lac du Bonnet 花岗岩Hoek-Brown 峰值强度及裂隙初始应力包络线[16,18]Fig.2 Strength values of Lac du Bonnet granite under different stresses and curve is fitted by Hoek-Brown criterion[16,18]

③给出拟合数据：x=[0,1,2,…,10,20,…,150]（以第三主应力为自变量）；y=[… …],(以第一主应力为变量，计算公式采用Hoek-Brown 准则)。

④按照式（13）写出拟合计算函数。

⑤循环迭代，逐次降低残差，直至迭代精度满足要求，此次计算迭代次数为1 000 次，迭代函数为lsqcurvefit，算法为最小二乘非线性拟合。

拟合可得Hoek-Brown 准则脆剪分解后相应的计算参数为：C1=1.500 0，C2=71.000 0 MPa，k1=-16.105 6，k2=-0.736 5，D1=5.863 5，D2=367.034 4 MPa。将其代入式（11）可得

或标准化格式（由图2 可知单轴抗压强度σc=224 MPa）：

将式（15）与原Hoek-Brown 强度公式计算结果进行对比，结果见表1。

Hoek-Brown 准则基于大量试验数据的拟合、分析，提出了岩石、岩体相关系数折减折算方法，在岩石、岩体力学分析中具有其他强度理论缺少的量化处理材料尺度与强度关系的功能。采用脆剪强度分析，也可以对折算后的岩体强度关系进行过渡式双线性分解。采用Lac du Bonnet 花岗岩实验室完整岩块强度数据，基于Hoek-Brown 准则的岩体强度折减算法给出相关岩体强度关系并进行脆剪分析，结果见表2。由表可知，岩体折减后脆剪分析仍然能得到与原Hoek-Brown 岩体准则强度值相关度较高的分解公式。但当岩体质量较差时（表2 中质量一般的岩体），岩体单轴抗压强度已经降低到裂隙初始强度（71 MPa）以下，在强度拟合时参数D2（上限强度线的截距）出现了负值，说明在质量很差时岩体受宏观裂隙切割，破坏时应力尚未使微裂隙扩展时宏观裂隙已经扩展至岩体破坏，此时无脆断破坏产生。因此，脆剪分析适用于岩体单轴强度大于微裂隙扩展应力的情况。

3.3 基于脆剪分析的北山花岗岩强度试验数据拟合实例

以北山花岗岩（埋深560～580 m）为研究对象，进行结合声发射监测的三轴强度试验，得到岩石裂隙初始应力、裂隙贯通应力和峰值应力的强度包络线。对试验数据进行Hoek-Brown 准则和脆剪强度分解的数据分析，得到二者与实际数据的相关性指标。

表1 Hoek-Brown 强度与脆剪强度对比Table 1 Strength values comparison between Hoek-Brown criterion and brittle-shear strength

表2 脆剪分析拟合Hoek-Brown 准则岩体强度结果对比Table 2 Brittle-shear analysis fitting values based on rock mass strength given by Hoek-Brown criterion

图3 基于脆剪分析强度分解结果与Hoek-Brown 强度比较Fig.3 Comparison between brittle-shear strength analysis and Hoek-Brown criterion curves

针对各围压条件下的实验进行声发射监测，获取各特征阶段强度参数，曲线如图4 所示，试验结果如图5 所示，拟合结果见表3。根据试验结果，拟合得到Hoek-Brown 准则峰值强度函数关系式：

对裂隙初始强度进行线性回归，可得

数据拟合后可得脆剪强度公式：

如表3 所到，针对试验数据的脆性剪切强度拟合结果与Hoek-Brown 强度拟合结果具有很好的一致性，且均能体现岩石类材料强度上的非线性特征，均与实际试验数据有很高的相关性，在相关试验数据分析中具有可替代性。

图4 围压为1 MPa时岩样应力-应变曲线及累积声发射事件数变化规律Fig.4 Curves of stress-strain and acoustic emission count vs.strain when confining pressure is 1 MPa

图5 峰值强度数据拟合曲线对比Fig.5 Fitting curves comparison between brittle-shear strength and Hoek-Brown strength

表3 试验数据拟合Table 3 Fitting values of Hoek-Brown strength and brittle-shear strength

4 基于脆剪分析的岩体非线性强度准则的统一强度形式

分析可知，脆剪强度为过渡式双线性强度理论，类似Hoek-Brown 准则可以表征岩体非线性强度特性，同时具有线性强度理论的特征，因此可以将其整理为统一强度理论形式。由式（12）得到脆剪整体强度由理想脆断强度和理想剪切强度组成，分别为

首先将f1改写成统一强度理论形式，由式（3）可知，当时，σt1，两边同除以，α1可得σc1，所以，。对比式（17）可知，当b=0时，，代入后可得

同理，式（23）的统一强度理论形式为

将两种强度公式的统一强度理论形式（即式（20）、式（21））代入式（12），可得

式（22）为脆剪分析后的统一强度理论形式，当中主应力影响系数b=0时，第二主应力对强度无影响，式（22）退化为式（12）。同理，当 σ2=σ1或σ2=σ3时，式（22）=式（12），此时应力强度等同于常规三轴试验强度。当C1=D1，且C2=D2时，式（22）退化为线性统一强度理论。

5 结 论

（1）脆性剪切破坏分析包括了定性的理论分析和拟合的数学公式两方面内容，其中理论分析认为岩石、岩体材料破坏是脆断与剪切破坏共同作用的结果。数据拟合分析认为，岩石、岩体的非线性特征是材料随着围压增大而从一种强度逐渐向另一种强度过渡的过程。

（2）相关数据处理结果显示脆剪强度与Hoek-Brown 准则在一定条件下具有较高一致性，能够体现岩体非线性特征，是否具有等效关系需做进一步研究证明。脆剪强度分析与Hoek-Brown 强度准则均与实验数据高度相关，计算中具有相互替代性，脆剪强度分析可针对具体的Hoek-Brown 准则进行过渡式双线性分解。进行岩体强度折减时可将岩体的折减强度通过脆剪分析代入统一强度理论中，得到岩体在考虑中主应力影响下的强度特征，但脆剪分析仅适用于岩体单轴强度大于裂隙初始应力的情况。

（3）脆剪强度公式体现应力水平增长引起裂隙闭合而脆性破坏减少的规律，形式上由两种线性强度与一个过渡参数组成，易于理解。具体参数可通过试验数据的线性回归和e 指数回归一次得出。

（4）在进行岩体非线性准则的统一强度化过程中，由于目前缺少真三轴实验条件，推导中假设脆剪分解后两种强度均遵循与统一强度理论相一致的中主应力影响规律。

（5）当不考虑中间主应力影响（b=0）时，或假三轴条件时（σ2=σ1或σ2=σ3），脆剪分析后的统一强度化公式形式退化为常规脆剪强度公式；当两种极限强度参数相同时，公式退化回线性统一强度理论。

脆剪分析实现了非线性强度理论的双线性过渡式分解，实现了岩体非线性特征的强度理论统一化。使统一强度理论包含了经验性强度准则的非线性、岩体强度折减等特征，提高了统一强度理论在岩石、岩体强度尤其是硬岩破坏分析中的适用性和准确度。

[1]王思敬,杨志法,傅冰骏,等.中国岩石力学与工程世纪成就[M].南京:河海大学出版社,2004.

[2]郑颖人,沈珠红,龚晓南.岩土塑性力学原理[M].北京:中国建筑工业出版社,2002.

[3]谢和平,陈忠辉.岩石力学[M].北京:科学出版社,2004.

[4]郑颖人,孔亮.岩土塑性力学[M].北京:中国建筑工业出版社,2010.

[5]蔡美峰,何满潮,刘东燕.岩石力学与工程[M].北京:科学出版社,2002.

[6]俞茂宏.强度理论新体系:理论、发展和应用[M].西安:西安交通大学出版社,2011.

[7]俞茂宏.双剪理论及其应用[M].北京:科学出版社,1998.

[8]俞茂宏.工程强度理论[M].北京:高等教育出版社,1999.

[9]俞茂宏.线性和非线性的统一强度理论[J].岩石力学与工程学报,2007,26(4):662-669.YU Mao-hong.Linear and nonlinear unified strength theory[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2007,26(4):662-669.

[10]HOEK E,BROWN E T.Practical estimates of rock mass strength[J].Int.J.Rock Mech.&Min.Sci.Geomech.Abstr.,1997,34(8):1165-1186.

[11]HOEK E,WOOD D.A modified Hoek-Brown failure criterion for jointed rock masses[C]//Proc.Int.Conf.Eurock’92.[S.l.]:[s.n.],1992:202-214.

[12]HOEK E,BROWN E T.Underground excavation in rock[M].连志升,田良灿,王维德,译.北京:冶金工业出版社,1986.

[13]李远,乔兰,隋智力,等.岩石材料脆性剪切破坏模式下的强度分析[J].北京科技大学学报,2012,34(12):1364-1370.LI Yuan,QIAO Lan,SUI Zhi-li,et al.Strength analysis of rock material under the brittle shear failure mode[J].Journal of University of Science and Technology Beijing,2012,34(12):1364-1370.

[14]李世愚,和泰名,尹祥础.岩石断裂力学导论[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2010.

[15]隋智力.基于脆剪混合本构模型的硬岩边坡稳定性分析[D].北京:北京科技大学,2011.

[16]HOEK E,CARRANZA-TARRES C,CORKUM B.Hoek-Brown failure criterion (2002 edition)[C]//Proceedings of the 5th North American Rock Mechanics Symp.Canada:[s.n.],2002:267-273.

[17]YU Mao-hong,ZAN Yue-wen,ZHAO Jian,et al.A unified strength criterion for rock material[J].Rock Mechanics and Mining Sciences,2002,39(8):975-989.

[18]CAI M,KAISER P K.In-situ rock spalling strength nearexcavation boundaries[J].Rock Mechanics and Rock Engineering-Springer,2013,47(2):659-675.

[19]黄书岭.高应力下脆性岩石的力学模型与工程应用研究[D].武汉:中国科学院武汉岩土力学研究所,2008.

[20]ANDERSSON J C,MARTIN C D,STILE H.The Äspö pillar stability experiment.part II.Rock mass response to coupled excavation-induced and thermal-induced stresses[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2009,46(5):879-895.

[21]CAI M,KAISER P K,TASAKA Y,et al.Generalized crack initiation and crack damage stress thresholds of brittle rock masses near underground excavations[J].International of Rock Mechanics and Mining Sciences,2004,41(5):833-847.

[22]MARTIN C D.The strength of massive lac du bonnet granite around underground openings[D].Manitoba:University of Manitoba,1993.