用量子分子动力学模型研究中能重离子碰撞中的核物质约化粘滞系数

周铖龙 马余刚 方德清 张国强 曹喜光

（中国科学院上海应用物理研究所 嘉定园区 上海 201800）

用量子分子动力学模型研究中能重离子碰撞中的核物质约化粘滞系数

周铖龙 马余刚 方德清 张国强 曹喜光

（中国科学院上海应用物理研究所 嘉定园区 上海 201800）

剪切粘滞系数(η)和熵密度(s)的比值，简称约化粘滞系数(η/s)，是刻画物质的一个基本输运系数，对研究核物质的液气相变及状态方程具有重要的作用。我们在同位旋依赖的量子分子动力学模型(Isospin dependent quantum molecular dynamics, IQMD)的基础上，用有限温度Thomas-Fermi理论提取中能重离子碰撞过程中的热力学性质。在此基础上分别用Green-Kubo方法及Danielewicz参数化公式来提取粘滞系数，进而得到约化粘滞系数。研究发现，随着温度或碰撞能量的增加约化粘滞系数会出现一个极小值，这与中能重离子碰撞过程中的液气相变相一致。

中能重离子碰撞，液气相变，量子分子动力学模型，约化粘滞系数

在过去的几十年里，人们对于中能重离子碰撞中产生的核物质是否能发生液气相变问题开展了大量的实验和理论的研究[1-10]。研究中发现了很多和液气相变现象有关的探针[11-13]，如碰撞产生的碎片大小的分布或碎片的等级分布、最大碎片的涨落分布、核物质的量热曲线等。但目前还有一些开放性问题需要解决，如测量的量热曲线对于重体系有平台出现而轻体系则没有发现这个现象，不同的相变信号可能给出矛盾的结论。因此，需要从新的角度来重新研究核物质的液气相变问题。最近的研究发现，对于很多体系，剪切粘滞系数(η)和熵密度(s)的比值，简称约化粘滞系数(η/s)，在物质发生相变或临界点时会取得局部极小值。这个结论适用于不同尺度下的体系，如宏观的水(H2O)、氦(He)及微观的夸克-胶子等离子体等[14]。其次根据反对称化重整群理论，约化粘滞系数还存在一个普适的下限(1/4π)，称为KSS极限[15-16]。在极端相对论重离子碰撞中，人们发现从实验中提取的约化粘滞系数已经非常接近于KSS极限[17-21]。

目前，虽然对约化粘滞系数已有了很多研究，但在中能重离子碰撞领域中不是很多[22-29]。本文将对以前做的工作进行总结和概括。主要内容为在同位旋依赖的量子分子动力学模型(Isospin dependent quantum molecular dynamics, IQMD)的基础上[30-31]，模拟了中能区(50-400MeV.u-1)Au+Au中心碰撞。用有限温度Thomas-Fermi理论来提取碰撞过程中产生的核物质的热力学量[32-33]。并使用了两种方法来提取核物质的输运性质-粘滞系数(η)：Green-Kubo方法[22,33]和Daniliewicz参数化公式[23,34]。

1 模型和公式

1.1 IQMD

量子分子动力学模型(Quantum molecular dynamics, QMD)是一个描述中能及相对论能量重离子碰撞的多体理论[35]。IQMD则是在QMD的基础上完善了同位旋及泡利阻塞效应[36-37]。在模型中核子被描述为一个高斯波包：

式中，＜H＞是体系的哈密顿量。单个核子在相空间的密度分布由Wigner函数给出：

在IQMD中用到的平均场如下表示：

式中，按先后顺序分别表示Skyrme势、Coulomb势、Yukawa势以及描述对称能相互作用的对称能势[38]。

对称能势的表达式为：

式中，ρn、ρp、ρ0分别是中子密度、质子密度及核物质密度；Cs是对称能系数。本文为了研究对称能对约化粘滞系数的影响，我们选取了15 MeV、25MeV、35 MeV。

除了平均场，核子-核子碰撞截面也是一个重要的因素，在我们的模型中使用实验测量的自由核子的碰撞截面。同样为了研究核子截面对约化粘滞系数的影响，我们引入了参数Cσ来调整模型中截面的大小，分别为0.5、1.0、1.5。

IQMD模型能很好地描述中能区重离子碰撞过程，给出每一时刻的核子空间的相空间信息。通过核子并合机制也能给出碎片的信息。

由式(3)，通过叠加不同核子的密度及动能密度，可以得到任意时刻坐标空间的密度及动能密度分布：

由IQMD模型给出的密度及动能密度的空间分布函数，结合下面介绍的有限温度Thomas-Fermi理论，可以提取出空间任意一点的热力学性质。基于体系平衡性的考虑，选取Au+Au的对心碰撞作为研究对象，碰撞能量的变化区间为50-400MeV.u-1。

1.2有限温度Thomas-Fermi理论

重离子碰撞中产生的核物质的热力学性质，如温度、熵密度等可以通过Khoa等[32-34,39-40]发展的有限温度Thomas-Fermi理论方法来提取。此方法把碰撞过程处理为两团相互穿透的遵循费米分布的核物质。应用费米分布可以推导出核物质的密度(ρ)、动能密度(ρk)和熵密度(s)随温度(T)、化学势(μ)、相对弹靶动量(KR)的函数关系。在柱坐标系中，弹靶的动量分布可以如下表示：

式中，μ'i=μ/T是约化化学势；kR是弹核和靶核之间的相对动量。

同理动能密度及熵密度也可分为弹靶两部分：

这里注意：

原则上通过IQMD给出的密度及动能密度分布，通过解式(10)、(12)可得相应的温度、化学势等热力学量的空间分布。代入式(13)进而计算出熵密度的空间分布。在实际应用中由于方程组过于复杂，无法直接解出。因而实际做法是合理地选取各自变量的变化区间，如温度T∈[0,100] MeV，KR∈[0,5]fm-1，μ'i∈[0,2]。代入式(10)-(13)，预先计算出一个数据库。由于这些函数都是单值函数，因此通过查找最接近的点，就可以得到相应的热力学量。

1.3粘滞系数

粘滞力是流体受到剪应力变形或拉伸应力时所产生的阻力，可以理解为流体内部的摩擦。主要来自分子间的吸引力，这也意味着粘滞性反应了流体内部相互作用强度的大小。对于大致上平衡的体系，剪切粘滞系数(η)可理解为不同流速流体间的摩擦力。在Boltzmann统计极限下剪切粘滞系数可对应于一阶的Chapman-Enskog系数。在文献[35]、[41]中，Danielewicz在微观的Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck方程的基础上推出了正常核子-核子碰撞截面下剪切粘滞系数关于密度和温度的一个参数化公式：

式中，η的单位是MeV.fm-2.c-1；T的单位是MeV；ρ0=0.168 fm-3。

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图1是不同约化密度(ρ/ρ0)下粘滞系数(η)随温度(T)变化。不同的符号表示不同的约化密度，分别为0.25-1.5。可见，η一开始随温度增大而减小，到达一个极小值后再逐渐增加，这是物质从液态向气态转变过程中的典型曲线，极小值对应相变的临界状态。

图1 不同ρ/ρ0时粘滞系数随温度变化的曲线Fig.1 Shear viscosity as a function of temperature at different densities.

这里要注意的是不同倍数的核子-核子碰撞截面下，粘滞系数的参数化表达式需要有所调整[27]：

而另外一种计算粘滞系数的方法是基于涨落耗散理论的Green-Kubo方法，该方法适用于处于平衡态或略微偏离平衡态的体系。本文中用各向异性系数Ra来描述体系平衡性[41-42]，Ra的定义为：

式中，尖括号表示对事件数的平均。在碰撞过程中，体系会经历压缩膨胀过程然后到末态形成碎片，整个体系严格的平衡没法达到。因此，我们选取碰撞中心区域内（半径为5 fm的球形区域）的核子作为研究对象。

Green-Kubo方法把粘滞系数表达为剪切张量关联函数的时间积分[23,34]：

式中，πij=Tij-δijP表示剪切张量的无迹部分，P=(T11+T22+T33)/3是压强的表达式。剪切张量的关联函数表达式中的第二个0表示系统平衡的时刻，t则是以平衡时刻起始时间的时间差。本文把平衡时间定为Ra=1的时刻。动量张量Tij的表达式为：

张量的关联函数会随时间呈指数形式下降＜πij(0)πij(t)＞∝exp(-t/T)，τπ是体系的弛豫时间。利用指数下降的假设，粘滞系数的计算就可以简化为：

结合有限温度Thomas-Fermi方法提取出的热力学量，我们就可以计算核物质的粘滞系数并研究其与能量或温度的关联。

2 结果和讨论

2.1 Green-Kubo方法

利用有限温度Thomas-Fermi方法提取重离子碰撞过程中的热力学性质，结合Green-Kubo方法来计算核物质的粘滞系数，研究约化粘滞系数与入射能或温度的关联。不同能量下对心Au+Au碰撞的温度及熵密度随时间的演化见图2。

图2 中心区域核物质的温度及熵密度的时间演化Fig.2 Time evolution of temperature and entropy density of nuclear matter in the central region.

由图2，温度和熵密度在碰撞过程中几乎是同步演化的，都在最大压缩状态(约20 fm.c-1)达到最大值。然后体系开始膨胀，温度降低、体积内的核子数也开始减少。由于熵密度是广延量，因为膨胀导致体积内核子数减少会使其下降更快一些。

上述已提到过在体系基本平衡的时候可以使用Green-Kubo方法来提取核物质的粘滞系数，为满足平衡条件，选取了碰撞中心区域半径为5 fm的球形区域作为研究对象，且用各向异性系数Ra作为探针来研究体系是否达到了平衡[41]。中心区域中核物质的各向异性系数随时间的演化如图3所示。很容易发现在碰撞起始阶段，Ra非常小，且能量越高则阻止能力越小。因为入射能量越高在束流方向的动量就越大，而在垂直于束流方向的平均动量在各个能量下是基本一样的（由初始化导致）。接着Ra有一个急剧的上升，入射能越大则阻止能力上升得越快。这是由于高的入射能导致弹核和靶核的相对运动越快，导致体系的压缩过程也进行得越快。到最大压缩期出现峰值后再下降，呈现一个短暂的震荡过程。这是由于压缩过程中积累了大量的势能，在最大压缩后势能又转化为动能，这个过程可以形象地理解为弹簧振子的压缩膨胀过程。由于体系的膨胀，震荡很快消失。其后Ra逐渐上升达到饱和值1左右，表明体系基本平衡。

图3 Au+Au中心碰撞中，不同能量下中心区域核物质各向异性系数Ra随时间演化Fig.3 Time evolution of isotropic ratio of central nuclear matter for head-on Au+Au collisions.

入射能量越大，达到平衡的时间也越早，对于200 MeV.u-1而言，在80 fm.c-1左右；70 MeV.u-1是在120 fm.c-1左右。对照图2中平衡时刻各能量下的温度及熵密度，可以发现基本上相同。所以达到平衡时体系已经处于反应末期，各能量下的核物质的热力学性质已经没有太大变化。所以约化粘滞系数和粘滞系数随入射能的变化曲线形状一致，只是大小有差异。

选定了平衡起始时间以后，就可以应用式(19)、(20)来计算张量的关联函数。其时间演化见图4，关联函数虽然有些涨落，但基本上是呈指数下降。入射能量越小，下降的越慢，通过指数拟合得到弛豫时间(τπ)。

由图5，弛豫时间随入射能的增大而逐步减小，表明在入射能较大时体系达到平衡的能力也越强。

图4 各能量下剪切张量关联函数的时间演化Fig.4 Time evolution of correlation function of stress tensor at different incident energies.

图5 对心Au+Au碰撞中弛豫时间与入射能的关联Fig.5 Relax time as a function of incident energy for Au+Au central collisions.

图6 中心区域核物质的粘滞系数及约化粘滞系数与入射能的关联Fig.6 Correlation between shear viscosity and reduced viscosity of central region nuclear matter and incident energy.

图6 展示了提取的粘滞系数及约化粘滞系数和入射能的关联。由于各能量下最后平衡时的饱和熵密度是相同的，所以约化粘滞系数与粘滞系数随入射能的关联趋势是一致的，都在120 MeV.u-1左右出现一个极小值，后慢慢增加。这极小值平台的出现表明在该能区可能发生核物质的液气相变现象。

2.2 Danielewicz参数化公式方法

通过设定不同的Cσ及Cs，可以改变模型中的核子-核子碰撞截面及对称能的数值，在不同的截面、对称能下中心区域内核物质的密度及动能密度随时间演化见图7。

由有限温度Thomas-Fermi方法可知，所有提取的热力学量都基于碰撞体系给出的核物质密度及动能密度，在图7(c)、(d)中尽管设定了不同的对称能参数，但在密度及动能密度的时间演化中没有看到相应的差别。因此在对Au+Au这样的体系来说，约化粘滞系数不依赖于对称能的变化。

从图7(a)、(c)中可以看到，核子-核子碰撞截面对核物质密度及动能密度有较大的影响，截面越大对应最大压缩状态的动能密度越小。所以本文将只讨论核子-核子碰撞截面对热力学性质及约化粘滞系数的影响。

图8是中心区域中温度随时间的演化。图8(a)是正常核子碰撞截面下不同入射能的情况，图8(b)是入射能为130 MeV.u-1时不同碰撞截面的情况。由图8，温度会先上升，在20 fm.c-1时达到一个最大值，然后逐渐下降，最后达到一个饱和值。入射能越高，温度达到的最大值也越大。在图8(b)中可以看到，截面的增大会使体系变得更热。这是因为在核子-核子碰撞截面较大时，碰撞体系有更多的碰撞产生，使得更多的入射能被转化为热能。

图9展示了熵密度随时间的演化。可以看到熵密度和温度几乎是同步演化的，能量越高截面越大对应的熵密度也越大。

在提取了温度以后，运用Danielewicz的参数化公式就可计算出核物质的粘滞系数。值得注意的是虽然这个方法与Green-Kubo相比对平衡性的要求没那么高，但也要求体系接近平衡态。在演化前中期体系的平衡性较差，此时提取的各热力学及输运性质可以认为是对应于相同状态平衡系统的结果。由式(15)可以知道，粘滞系数依赖于温度及密度。从图10中可以看到，粘滞系数的时间演化也基本同步于温度，只是达到最大值的时间比温度略早。由图10(b)，粘滞系数受核子-核子碰撞截面的影响非常大，在不同截面下的数值几乎相差了一倍。

图7 在碰撞能为130 MeV.u-1时不同的核子-核子碰撞截面及对称能下中心区域内的核物质密度(a,c)和动能密度(b,d)随时间的演化Fig.7 Time evolution of density (a,c) and kinetic energy density (b,d) of nuclear matter in the central region when the incident energy is 130 MeV.u-1 as different nucleon-nucleon cross section and symmetry energy is considered.

图8 中心区域中温度随时间的演化关系(a) 在正常核子-核子碰撞截面下(Cσ=1)不同入射能时，(b)在入射能为130 MeV.u-1时不同的核子-核子碰撞截面时Fig.8 Time evolution of temperature in the central region. (a) Panel focus on the different cross section when norm cross section (Cσ=1) is used, (b) Represent different cross sections when the incident energy equals 130 MeV.u-1

图9 熵密度的时间演化Fig.9 Time evolution of entropy density.

图10 粘滞系数随时间的演化Fig.10 Time evolution of shear viscosity.

从流体动力学的观点来看体系的约化粘滞系数越小意味着体系的表现越接近理想流体。从图10可见，在近最大压缩状态时(20-30 fm.c-1)体系的约化粘滞系数取得一个极小值；并且随着入射能量增大，相应的极小值也逐渐减小。与极端相对论能区夸克胶子等离子体的约化粘滞系数非常接近，但还是没有超过KSS极限。值得注意的是，图11中出现的约化粘滞系数的极小值并不意味着在碰撞过程中核物质就发生了液气相变，原因可以在图12看到。在图11(b)中可以看到核子-核子碰撞截面越大对应的约化粘滞系数越小。

图12展示了碰撞过程中约化粘滞系数与温度的关联。很明显图11中约化粘滞系数的极小值对应着演化过程中温度最高的时刻。其后由于体系膨胀温度逐渐降低，对应着约化粘滞系数也逐步增大。因而图11中出现的极小值并不是液气相变的信号，而是由于体系的热力学演化导致的。

图11 约化粘滞系数随时间的演化Fig.11 Time evolution of reduced viscosity.

图12 约化粘滞系数与温度的关联Fig.12 Correlation of reduced visocity and temperature.

图13 给出了体系膨胀后期的不同时期（约化密度为0.2、0.25、0.3）时刻对应的约化粘滞系数和温度的关联，以及在约化密度为0.25时不同核子-核子碰撞截面时约化粘滞系数和对应温度的关联。从图13(a)中可以发现，在不同的约化密度条件下都出现了极小值，且极小值的变化范围为0.76-0.84，大概10倍于KSS极限的数值；对应的相变温度为8-12 MeV。随着约化密度的增加，约化粘滞系数逐渐减小但是对应的相变温度反而逐渐增大。密度越大对应的相互作用就越强，因而表现为较小的约化粘滞系数；而后一个结论可以理解为随着密度的增大，体系对应的压强也较大，从而导致相变的温度增加，与宏观体系的表现一致。不同于图13(a)中讨论约化密度对约化粘滞系数的影响，在图13(b)中，主要讨论了在一个给定的约化密度区间(ρ/ρ0∈[0.2,0.3])平均的约化粘滞系数随核子-核子碰撞截面的依赖关系。可以发现截面越大对应的约化粘滞系数就越小，表明在这种情况下核物质的表现更像理想流体。

图13 末态不同约化密度下(a)和约化密度为0.25时不同核子-核子碰撞截面时(b)的约化粘滞系数和温度的关联Fig.13 Reduced viscosity as a function of temperature at different freeze out densities (a) and different cross sections (b).

3 结语

本文在IQMD框架下模拟了中能区的对心Au+Au碰撞，运用有限温度Thomas-Fermi方法来提取碰撞产生的核物质的热力学性质，并使用Green-Kubo方法及Danielewicz参数化公式来提取核物质的粘滞系数。在此基础上，使用粘滞系数与熵密度之比，简称约化粘滞系数(η/s)，并作为探针来研究中能重离子碰撞中核物质的液气相变问题。两种方法计算的约化粘滞系数随着入射能量或温度增加会出现一个极小值，支持在该能区发生液气相变现象的结论。其次，计算发现约化粘滞系数数值都在1.0左右，比AdS/CFT理论预言的普适下限(1/4π)大10倍。因此，也从液气相变的角度验证了AdS/CFT理论的正确性。

此外还研究了核物质的核子-核子碰撞截面以及对称能对约化粘滞系数的影响。发现对于Au+Au这样的重体系，提取的热力学及输运性质不依赖于对称能；而核子-核子碰撞截面则具有很强的作用。较大的核子-核子碰撞截面使得碰撞体系的相互作用变强，产生的核物质有更高的温度及较小的约化粘滞系数。

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CLCO571.42+3

Studies on the specific viscosity of nuclear matter formed in intermediate energy heavy ion collisions by using the isospin dependent quantum molecular dynamics model

ZHOU Chenglong MA Yugang FANG Deqing ZHANG Guoqiang CAO Xiguang
(Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences, Jiading Campus, Shanghai 201800, China)

Background: Specific viscosity, defined as the ratio of shear viscosity to entropy density, was found as a probe of phase transition. It was observed that the specific viscosity reaches a local minimum at the critical point for both macroscopic and microscopic systems. In addition, a universal lower boundary was predicted by the AdS/CFT theory. In intermediate energy heavy-ion collisions, the studies on the relationship of specific viscosity and nuclear liquid-gas phase transition are still rare. Purpose: This paper gives a brief review for our calculations of the specific viscosity of nuclear fireball created in head-on Au+Au collisions in intermediate energy, for the study of liquid-gas phase transition. Besides, the influences of nucleon-nucleon cross section and symmetry energy on the specific viscosity are also addressed. Methods: The hot Thomas-Fermi formalism is employed to extract the thermal properties of the nuclear matter which is located in the central region of the collision. Two different methods, the Green-Kubo and Danielewicz’s parameterized formula, are used to evaluate the shear viscosity. Finally the correlation between specific viscosity and temperature or collision energy is presented. Results: In both cases, a local minimum of specific viscosity which has the value of around 10 times of the lower bound is found at certain temperature or beam energy. It is clearly shown that the calculated results are not sensitive to the symmetry energy but strongly influenced by the nucleon-nucleon cross section. Conclusion: Our calculations demonstrate that a local minimum of specific viscosity can be taken as a probe of nuclear liquid-gas phase transition which takes place at around 10 MeV. Furthermore, the lower bound of specific viscosity is still valid for nuclear liquid-gas phase transition.

Intermediate energy heavy-ion collisions, Liquid-gas phase transition, Quantum molecular dynamics (QMD) model, Specific viscosity

O571.42+3

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.100516

国家自然科学基金项目(No.11035009、No.11175231、No.10979074、No.11405248)、国家重点基础研究发展计划项目(No.2013CB834405、

No.2014CB845401)、中国科学院知识创新工程资助

周铖龙，男，1985年出生，2013年于中国科学院上海应用物理研究所获博士学位，研究领域为相对论重离子碰撞

马余刚，E-mail: ygma@sinap.ac.cn

2014-08-14，

2014-09-15