化归：“形”变“道”通

李纯聪

（福建省厦门市钟宅民族小学，福建厦门361009）

化归：“形”变“道”通

李纯聪

（福建省厦门市钟宅民族小学，福建厦门361009）

化归，即化转归结。它是将所遇问题不断地变形，直至把它转化成另一个熟知、容易解决的问题，或者已经会解决的问题，这就是化归的思维方式。通常有：化生疏为熟悉、化复杂为简单、化抽象为具体、化疑难为容易、化综合为单一、化不规则为规则、化无形为有形、化无模为有模、化单解为多解、化间接为直接等等。化归，对于解决问题，将起到纲举目张的作用，实现图形变换，让思路“明”了；数形转换，让规律“现”了；关系转换，让解法“活”了；算式变形，让道路“通”了。

化归方法；“形”变；“道”通

化归，即化转归结。它是将所遇问题不断地变形，直至把它转化成另一个熟知、容易解决的问题，或者已经会解决的问题，这就是化归的思维方式。通常有：化生疏为熟悉、化复杂为简单、化抽象为具体、化疑难为容易、化综合为单一、化不规则为规则、化无形为有形、化无模为有模、化单解为多解、化间接为直接等。化归，对于解决问题，将起到纲举目张的作用。以下是笔者在教学实践中运用化归教学的几点体会。

一、图形变换，让思路“明”了

有些数学问题，看似条件不足，关系不清，解决起来有难度。不过，借助恒等法、分割法进行变形转化，即对图形恒等变换，有时可以起到“柳暗花明又一村”的感觉，让思路变得明了，让问题解决成为可能。

如：计算图1等腰直角三角形面积。（单位：厘米）

看完题目，学生产生困惑，即要求三角形面积，通常需要知道它的底和高，而本题只知道等腰直角三角形底，这面积该怎样计算呢？对此，引导学生观察，我们可不可以这样变形？（做法：再复制出三个完全一样的等腰直角三角形，与原来的那个等腰直角三角形组合，见图1。）变形后，现在从图1中，我们知道了什么？它与原图形相比，前后发生了怎样的变化？学生在观察、比较中明白并理清了关系，也感受到了恒等变形的转化思想。

当然，还可以这样转化（如图2）8.4×8.4÷ 4=17.64（cm2）进行求解。

事实证明，借助图形变换进行转化，可以化间接关系为直接关系，以此沟通了问题之间的联系，明确了数量之间的关系，解答思路明晰。这样在变形中，有效地扫清障碍，找到了图形问题解决的光明之“道”。

图1

图2

二、数形转换，让规律“现”了

华罗庚先生说过，数形结合百般好，隔离分家两边飞。数上构形，形上觅数，即借助数形对应，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，让潜在的、不易发现的规律原形毕露。

比如，探究“前n项连续自然数的和”，即求“1+2+3+…+（n-1）+n”的和。对于要找到这样的计算规律，谈何容易？特别是在面对自然班全体学生教学时，更加突显它的难度，在此如果借助数形转化，利用数形对照，发现它的计算规律已不在话下。过程大体是这样：

从简单算式入手，让复杂问题简单化。学生从1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15等算式和结果中，只能发现前一个算式的结果加上新的自然数，等于当前算式的结果，除此之外，很难发现计算上的普遍规律，操作性也不强。于是，笔者借助如下点阵图让学生感受规律。

学生通过观察图形，比较算式，发现红色或黑色点阵正好是连续自然数列的和，以1+2+3+4+5=15为例，这个数列的和正好是占长为5、宽为6的方形点阵数的一半，而5对应算式的项数，6是项数与1的和，由此推导得到计算规律为“项数×（项数+1）÷2，其实就是项数×（首项+末项）÷2，当项数为n时，前n项连续自然数求和规律便昭然于众，即n×（n+1）÷2。

教学发现，借助数形结合方法进行转化，可以化复杂为简单，转抽象为具体，在数上构形，形上觅数中，利于学生数学思考和自主发现、理解、把握规律，让蕴含于数式中的规律，在直观形象的图形中暴露无疑，让难觅的规律“现”了出来。

三、关系转换，让解法“活”了

在问题解决中，有些题目数量间的关系错综复杂，学生有所迷惑，但通过单位“1”或者间接向直接关系转化，还可以实现解法多元，策略多样。

比如，在解决“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”稍复杂的分数除法应用题时，借助单位“1”的转换，可以有不同的解决问题的方法。

例：小明体重是35kg，他的体重比爸爸的体重轻，小明爸爸的体重是多少千克？

在问题解决教学中发现，通过数量间关系的转换，可以化单（或少）解为多解，可以使算法多样，对促进学生思维的灵活性、广阔性等数学品质大有益处。

四、算式变形，让道路“通”了

在分数的巧算与速算计算教学中，有些算式的简便特点隐蔽较深，如果借助裂项方法对算式进行等量变形，让相对的两个分数抵消为0，可以达到简算的目的，由此实现化复杂为简单的计算效果。

在教学中，我们一定要把复杂的事情变得简单，那是本事，千万别把简单的事情变得复杂，那是找事。老子曾经说过，天下难事必成于易，天下大事必作于细。为此，教学中我们应该灵活地运用数学思想方法——化归。通过图形变换、数形结合、关系转换、算式变形等方法，达到化抽象为具体、化复杂为简单、化单解为多解、化困难为容易。借助化归，实现“形”变“道”通，将让问题解决中的“天堑”变成思路、算理、算法上的“通途”。

编辑∕高伟

李纯聪（1966－），男，福建龙岩漳平人，大专，小学高级教师，研究方向：数学教学。