低维幂零李代数的双极化

安慧辉,邹大欢

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

0 引言

双极化与李代数的关系非常密切[6，7，11]．双极化的概念最早是由Kaneyuki提出的[9]，用于介绍一种齐性辛流形的代数描述．李代数的双极化的研究不仅有利于数学领域，而且对于物理学也有推进作用．至今为止，李代数双极化的研究已经取得了一定的成就，例如在[8]、[10]中讨论了半单李代数双极化的对称性，并证明了半单李代数上的任何双极化都是对称的．

本文主要讨论低维幂零李代数的双极化，首先给出交换李代数的双极化，然后利用幂零李代数的分类对非交换李代数的每一种情况都分别给出它的一个双极化．

1 基本内容

定义1[5]设L是数域F上的李代数，L+、L-是L的两个子代数，f是L上的线性函数，如果三元序对{L+，L-，f}满足：

(1)L=L++L-；

(2)若h=L+∩L-，则f([x,L])=0当且仅当x∈h；

(3)f([L+，L+])=f([L-，L-])=0；

则称{L+,L-,f}为L上的一个双极化．

定义2[1，2]设L是数域F上的李代数，称L中的理想序列

L0=L，L1=[L，L0],…，Lk+1=[L，LK]，…

为L的降中心序列．若存在k∈N，使得Lk=0，则称L为幂零李代数．

命题1[4](1)设N是复数域上维数小于等于二的幂零李代数，则N是交换李代数．

(2)设N是复数域上的三维幂零李代数，x1,x2,x3是N的一组基，则在同构的意下仅有如下两类：

N31：[xi,xj]=0；
N32：[x1,x2]=x3．

(3)设N是复数域上的四维幂零李代数，x1,x2,x3,x4是N的一组基，则在同构意义下仅有如下三类：

N41：[xi,xj]=0；
N42：[x1,x2]=x3；
N43：[x1,x2]=x3，[x1,x3]=x4.

(4)设N复是数域上的五维幂零李代数，x1,x2,x3,x4,x5是N的一组基，则在同构意义下仅有如下六类：

N51：[x1,x2]=x5,[x3,x4]=x5；
N52：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x5，[x2,x4]=x5；
N53：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x4，[x1,x4]=x5，[x2,x3]=x5；
N54：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x4，[x1,x4]=x5；
N56：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x4，[x2,x3]=x5．

命题2设L是数域F上的交换李代数，{L+,L-，f}是L的一个双极化，则L+=L-=L且f是L上任意线性函数．

证明设{L+，L-，f}是交换李代数L的双极化，由于L是交换的，∀x∈L，[X,L]=0，又因为f([x,L])=0当且仅当x∈L+∩L-，所以h=L+∩L-=L，则有L=L+=L-，且f可以是L上任意线性函数．

2 五维以下幂零李代数的双极化

交换幂零李代数的双极化我们已经在命题2中给出，下面给出3、4、5维非交换幂零李代数的双极化．

现在根据f32(x)=〈γ32,x〉=〈k321x1+k322x2+k323x3,x〉和〈xi,xj〉=δij，可得到

从而

这意味着f32([x,N)]=0当且仅当x∈H．

证明我们对(2)进行详细证明．

又对∀x∈H，有[x,N]=0，f43([x,N])=0．下面我们证明当x∉NH时f43([x,N)]≠0．

从而

这就意味着f43([x,N])=0当且仅当x∈H．

γ53=k531x1+k532x2+k534x4,k531,k532,k534∈．

证明下面我们只对命题(3)进行详细证明．

现在根据f53+〈γ53,x〉=〈k531x1+k532x2+k534x4，x〉和〈xi,xj〉=δij可以得到，

所以f53([x,N])=0成立当且仅当x∈H，类似的方法可证出其它五种情况．

[1]孟道骥,复半单李代数引论[M].北京：北京大学出版社，1998．

[2]J．Humphreys，Introduction to Lie Algebras and Representation Theory[M],New York：Springer-Verlag，1972．

[3]Shaoqiang Deng，A class of dipolarizations in parabolic subalgebras of semisimple Lie algebras[J].Chinese Journal of Con-temporary Mathematics，2006，27(1)：25～31．

[4]范素军.幂零李代数的导子代数的结构,河南师范大学学报[J],2009,33(5):67～69.

[5]王晓阳．二步幂零李代数的双极化[J]．南开大学学报,2011，44(2)：90～96．

[6]安慧辉，孟 齐，徐珊珊．Novikov超代数与经典R-Matries(英文)[J]．吉林师范大学学报(自然科学版)，2013，34(2)：74-77．

[7]谭文河，段学新，李春华．算子李代数的性质[J]．吉林师范大学学报(自然科学版)，2006，27(3)：75-76．

[8]Zixin Hou.Shaoqiang Deng,Dipolarizations in semisimple Lie algebras and homogeneous parak ahler manifolds,Journal of Lie Theory[J].1999,(9):215～232.

[9]S.Kaneyuki.Homogeneous symplectic manifolds and dipoloarizations in Lie algebras[J].Tokyo J.Math.1992,(15):313～325.

[10]邓少强，赵广生.半单李代数双极化的对称性(英文)[J].南开大学学报(自然科学版)，2000，(2):61～64.

[11]张 敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2003,24，(1):118～120.