Helmholtz线圈与共轴三线圈磁场均匀性分析

黄兆梁

(1.常州工学院光电工程学院，江苏 常州 213002;2.常州市光电子材料与器件重点实验室(常州工学院)，江苏 常州 213002;3.常州现代光电技术研究院(常州工学院)，江苏 常州 213002)

Helmholtz线圈作为产生匀强磁场的最简单有效的方法，在科学实验及工程应用领域都有广泛的应用。然而，由于Helmholtz线圈产生的磁场并非严格均匀，且其均匀的范围也比较小，在径向R/2、轴向R/2的中心区域有约5%的磁场强度的偏差。［1］

为了获得更理想的匀强磁场，可在Helmholtz的2个线圈中间再增加1个共轴的第3个线圈，通过调整线圈间距、电流与匝数或中间线圈的半径，都可以明显改善磁场的均匀性。加入到中间的第3个线圈既可以在保持线圈半径不变情况下调整其电流或匝数［2-3］(简称等径方式)，或者在保持电流和匝数不变的情况下对线圈半径稍作调整［1］(简称等流方式)。这2种方法对改善Helmholtz线圈磁感应强度的均匀性都有较为显著的效果，其中等流方式产生的磁场均匀性要比等径方式略好，在径向与轴向各为R/2的近中心区域，其磁感应强度的偏差小于1%，有效改善了磁场均匀性。

1 圆电流线圈的磁感应强度

笛卡尔坐标系及柱坐标系如图1所示。考察位于xOy平面内的P1(Rcosθ，Rsinθ，d)点的圆线圈电流I在位于xOz平面内的P(ρ，0，z)点所产生的磁感应强度B(z，ρ)，可根据毕奥-沙伐尔定律(其中求得，即

易证明，周向eθ分量为零，只有径向eρ分量与轴向ez分量不为零。

图1 圆电流产生的磁场

2 Helmholtz线圈的磁感应强度

对于Helmholtz线圈，设对称的2个线圈在z轴上位置分别为d与 -d，则

即B的径向分量Bρ为

B的轴向分量Bz为

磁感应强度B的大小为

磁感应强度B的轴向分量Bz在轴线上的磁感应分布的Mac-laurin级数为

当d=±R/2时，z2项系数为零，这时Bz沿轴向变化较平缓，其变化主要由z4项的系数所确定。

用Mathematica绘制出轴向分量Bz相对于Helmholtz Coil中心B0处的相对强度(Bz-B0)/B0［4］。这里以d=±R/2的Helmholtz Coil中心磁感应强度B0作为比较基准，而不是以实际线圈中心处的磁感应强度Bz0作为基准，这样可以更容易看到相对于Helmholtz Coil中心的相对强度变化，如图2所示。当满足d=±R/2时Bz在中心区附近最为平坦［5］，因而磁场也最为均匀。

Helmholtz线圈的总磁感应强度B(z，ρ)如图3所示，其中心区附近的磁感应强度相对于中心处B0的相对变化情况［6-8］，如图4所示。

Helmholtz线圈磁感应强度B相对于中心区的相对变化(B-B0)/B0的等值线图如图5所示［9］。

图2 中心轴线上Bz相对于B0的相对强度分布

图4 Helmholtz Coil(B－B0)/B0分布图

图5 Helmholtz Coil磁感应强度(B－B0)/B0等值线图

3 共轴三线圈的2种方式

为使中心区的磁感应强度分布更为均匀，可在2个线圈中间再加上一共轴线圈，且电流的方向与其两侧线圈内的电流保持一致。若以外侧线圈的半径R作为尺度基准，则有3个独立变量，分别为外侧2个线圈之间的距离d与其线圈半径R的比值(d/R)、中间线圈半径R*与两侧线圈的半径R之比值(R*/R)以及中间线圈的磁动势n*I*与外侧线圈磁动势nI的比值(n*I*)/(nI)。这3个可变参数决定了磁感应强度在对称中心处沿轴向z的Mac-laurin级数中除了常数项外的前三项z2、z4、z6的系数，或者沿径向ρ的除常数项外的前三项ρ2、ρ4、ρ6的系数，二次项和四次项如果都为零则可获得最为均匀的磁场分布。

若磁动势为nI、半径为R，在z=0处的单线圈在轴线上产生的磁感应强度的轴向分量B1z(z，ρ)为

其中:E(κ)为模数为κ的第二类完全椭圆积分;K(κ)为模数为κ的第一类完全椭圆积分。

磁感应强度的径向分量 B1ρ(z，ρ)为

1)共轴三线圈等径方式下，R*/R=1，产生的磁感应强度的轴向分量B2z(z，ρ)为

其中:k为中间线圈磁动势与外侧线圈磁动势的比值，即k=(n*I*)/(nI)。

磁感应强度的径向分量 B2ρ(z，ρ)为

2)共轴三线圈等流方式下，(n*I*)/(nI)=1，产生的磁感应强度的轴向分量B3z(z，ρ)为

其中:s=R*/R为中间线圈半径与两侧线圈半径的比值。

同样将总磁感应强度在轴线中心处展开成Mac-laurin级数，令其z2与z4的系数(或ρ2与ρ4的系数)分别为零，联立方程组求解得到最佳参数d/R=0.833 412，R*/R=1.212 158。

三线圈等径方式的磁感应强度相对于中心处的(B-B0)/B0如图6所示。相比图4中间部分的场强分布显得更为平坦，这表明磁场更为均匀。［8］

事实上，2种共轴三线圈结构的磁场分布沿对称的轴向或径向的前4次方的系数都为零，而6次方的系数都不为零，其中等径三线圈方式沿中心轴线分布的z6的系数与等流三线圈方式沿轴向分布的z6的系数之比为1.506 83倍，系数越小则表明越均匀，因而这说明等流方式的磁场比等径方式的更为均匀。

等径方式下磁感应强度相对于中心处的相对变化(B-B0)/B0的等值线图如图7所示。

图6 三线圈等径方式(B－B0)/B0分布图

图7 三线圈等径方式(B－B0)/B0等值线图

三线圈等流方式的磁感应强度分布相对于中心的(B-B0)/B0如图8所示。与图6相比差异似乎并不明显，但是从磁感应强度相对于中心处相对变化的等值线图上可以较明显看出两者的差异。

三线圈等流方式下磁感应强度相对于中心处的百分偏差(B-B0)/B0的等值线图如图9所示。

上述2种方式都是令z或ρ的前4次方系数为零的条件下得到的，那么是否有可能前6次方系数全都为零，从而获得更为均匀的磁场分布呢?研究给出了否定的答案:并不存在这样的实数解。在z或ρ的前6次方项的系数不可能全为零，因而上述等径与等流方式给出了比较均匀的磁场分布。其前4次方系数均为零，仅z或ρ的6次方以上项系数不为零，并且等流方式比等径方式的6次方系数要小，这意味着等流方式的均匀性要好些。这里级数展开的6次方系数大小是决定磁场非均匀程度的重要参数，也是导致磁场分布不均匀的根源。

图8 三线圈等流方式(B－B0)/B0分布图

图9 三线圈等流方式(B－B0)/B0等值线图

4 Helmholtz线圈与2种共轴三线圈的磁场均匀性比较

由图5、图7和图9的(B-B0)/B0等值线图可以看出这3种磁感应强度在中心区分布的均匀性情况。显然Helmholtz线圈的均匀性最差，在中心区的0.3R范围内偏差在1%以内，在0.5R范围内的偏差略大于5%;三线圈等径方式的均匀性其次，在0.3R范围内偏差小于0.2%，在0.5R范围内偏差小于2%;三线圈等流方式的均匀性最好，在0.3R范围内的偏差小于0.1%，在0.5R范围内的偏差略大于1%，远优于Helmholtz线圈的磁场均匀度，也比三线圈等径方式要好。

将3种结构的线圈产生的磁感应强度相对于中心区强度相差±1%的等值线图绘制在同一图上更便于比较其均匀的范围，见图10所示。图中最内层的是Helmholtz线圈的±1%的区域边界，呈八齿形分布;而靠外侧几乎成平行双线并呈十二齿形态分布的是三线圈的等值线图，其中靠内侧的是等径方式;靠外侧的是等流方式，显然等流方式的磁场均匀性更好。

共轴三线圈的2种方式与Helmholtz线圈在其轴线上产生的磁感应强度相比各自中心处的相对变化的百分比如图11所示。可见3种方式产生的磁感应强度的均匀性以等流方式为最佳，等径方式次之，这2种方式都明显改善了HelmHoltz线圈磁场的均匀性。

在共轴三线圈结构中，上述2种方式可以明显改善磁场的均匀性，如果增加更多的线圈则相应增加了结构的复杂性，失去了实用意义，还不如采用长螺旋管线圈了。

有一点需要特别指出，上述分析并未考虑到共轴三线圈的几何尺寸有少许变化，因而上述比较的基准也略有差异，这里暂且忽略这种影响。

共轴三线圈的2种改进Helmholtz Coil磁场均匀性的方法都是行之有效的，其中共轴三线圈的等流方式比共轴三线圈的等径方式均匀性略好。

图10 3种线圈在中心区偏差±1%的等值线图

图11 3种线圈轴线上磁感应强度变化的相对百分比

［1］张引科，昝会萍.共轴三线圈磁场的均匀性［J］.大学物理，2004，23(6):11-14.

［2］佘守宪，王健.一种获得均匀磁场的新方法:改进型的Helmholtz线圈［J］.北方交通大学学报，2001，25(6):1-4.

［3］王健，佘守宪，张思炯.改进型Helmholtz线圈及其磁场均匀性的分析［J］.大学物理，2001，20(5):6-9.

［4］邹志纯.亥姆霍兹线圈空间的磁场分布［J］.西安邮电学院学报，2004，9(3):89-91.

［5］向裕民.HELMHOLTZ线圈磁场分析［J］.四川轻化工学院学报，1997，10(4):1-4.

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