一类非自治两种群浮游生物相克模型的绝灭性

陈凤德，赵 亮

（福州大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350108）

一类非自治两种群浮游生物相克模型的绝灭性

陈凤德，赵 亮

（福州大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350108）

研究了非自治两种群浮游生物相克模型.通过构造适当的绝灭函数，得到了保证系统中某个种群绝灭和另外一个种群全局吸引的充分性条件.所得的结果补充了前人的工作.

浮游生物；竞争；毒素；绝灭

本文探讨如下两种群浮游生物相克模型的绝灭性问题：其中，x1，x2分别代表两个相互竞争的浮游生物种群在t时刻的种群密度；bi（i＝1，2）表示两种群的内禀增长率，bi／aii（i＝1，2）表示两种群的环境容纳量，aii（i＝1，2）表示种群内竞争系数，aij（i≠j；i，j＝1，2）表示种群间竞争系数；γx1x n2刻画第二个种群释放毒素对第一个种群的影响大小.

对于有界连续函数f（t），定义

在系统（1）中，恒设：

（H1）bi（t），aij（t）（i，j＝1，2）和γ（t）都是连续严格正函数且满足如下条件：

考虑到系统的生态学含义，只考虑系统的初值满足x1（0）＞0，x2（0）＞0的解的运行状态.容易知道，在假设（H1）下，对所有的t≥0，系统的解x1（t）＞0，x2（t）＞0.

近年来，浮游生物相克模型引起了学者们的高度 重 视［1－9］.当n＝2 时，Sole' 等［3］和 M.Bandyopadhyay［4］研究了模型（1）的自治情形，探讨了系统的正平衡点的稳定性；最近，林玉花等［5］认为非自治情形更为合理，在条件（H1）成立的条件下探讨了系统的持久性和全局吸引性等动力学行为；王海娜等［6］认为人类对自然资源的开发利用更为重要，他们在模型（1）的基础上，进一步提出了具有反馈控制的浮游生物竞争模型，并得到了所研究系统的持久性和稳定性的充分性条件.但是，文献［5－6］均未探讨系统的绝灭性.绝灭性是生态系统研究中的一个重要课题，对物种或者自然资源的保护和开发等有直接的关系.此外，对一般情形的n进行探讨也是很有必要的，前述文献所研究的模型为其特例.

本文的目的旨在通过发展文献［8－9］的分析手法，对系统（1）的绝灭性进行详细的探讨.主要结果如下.

引理［5］对于系统（1）的任一正解（x1（t），x2（t））T，均有

注1 在没有考虑毒素影响时，系统（1）退化为经典的两种群Lotka－Volterra竞争系统，条件（3）足以保证第二个种群绝灭；定理1表明，虽然此时第二个种群可以通过向第一个种群释放毒素来提高自己的竞争力，但是当毒素浓度足够小且满足不等式（4）时，第二个种群仍然趋于绝灭.

注2 在没有考虑毒素影响时，系统（1）退化为经典的两种群Lotka－Volterra竞争系统，条件（15）足以保证第一个种群绝灭；定理2表明，此时第二个种群可以进一步向第一个种群释放毒素.这使得第一个种群更处于不利的竞争地位，从而仍然趋于绝灭.

［1］ Maynard S J. Models in Ecology［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1974.

［2］ Chattophadyay J.Effect of Toxic Substances on a Two Species Competitive System［J］.Ecological Modelling，1996，84（1／2／3）：287－289.

［3］ Sole'J，Garcia－Ladona E，Ruardij P，et al.Modelling Allelopathy among Marine Algae ［J］. Ecological Modelling，2005，183（4）：373－384.

［4］ Bandyopadhyay M.Dynamical Analysis of an Allelopathic Phytoplankton Model［J］.Journal of Biological Systems，2006，14（2）：205－217.

［5］ 林玉花，陈凤德，王海娜，等.一类非自治两种群浮游生物相克模型的持久性和全局吸引性［J］.沈阳大学学报：自然科学版，2012，24（6）：7－10.

（Lin Yuhua， Chen Fengde， Wang Haina， et al.Permanence and Global Attractivity of a Non－Autonomous Two Species Allelopathic Phytoplankton Model［J］.Journal of Shenyang University：Natural Science，2012，24（6）：7－10.）

［6］ 王海娜，陈凤德，林玉花，等.具有反馈控制的非自治两种群浮游生物相克系统的持久性和全局吸引性［J］.沈阳大学学报：自然科学版，2013，25（3）：173－176.

（Wang Haina， Chen Fengde， Lin Yuhua， et al.Permanence and Global Attractivity of Non－Autonomous Allelopathic Phytoplankton Model for Two Species with Feedback Controls［J］.Journal of Shenyang University：Natural Science，2013，25（3）：173－176.）

［7］ 徐宝树，岳晓宁.一类带状态反馈捕食－食饵两种群功能性反应系统模型控制分析［J］.沈阳大学学报，2005，17（6）：82－85.

（Xu Baoshu，Yue Xiaoning.Analysis of Predator－prey Model with Functional Responses［J］.Journal of Shenyang University，2005，17（6）：82－85.）

［8］ Li Z，Chen F D.Extinction in Two Dimensional Nonautonomous Lotka－Volterra Systems with the Effect of Toxic Substances［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，182（1）：684－690.

［9］ Chen F D，Li Z，Chen X X，et al.Dynamic Behaviors of a Delay Differential Equation Model of Plankton Allelopathy［J］.Journal Computation and Applied Mathematics，2007，206（2）：733－754.

Extinction of a Non－autonomous Two Species Allelopathic Phytoplankton Model

ChenFengde，ZhaoLiang
（College of Mathematics and Computer Science，Fuzhou University，Fuzhou 350108，China）

The non－autonomous two species allelopathic phytoplankton model is studied.By constructing some suitable Lyapunov type extinction functions，sufficient conditions which guarantee the extinction of species and the global attractivity of another species are obtained.The results supplement some known results.

phytoplankton；competition；toxicity；extinction

O 175.14

A

2095－5456（2014）01－0001－03

2013－08－20

国家自然科学基金资助项目（11201075）；福建省自然科学基金资助项目（2013J01011）；福建省教育厅基金资助项目（JA13361）.

陈凤德（1974－），男，福建屏南人，福州大学教授.

李 艳】