求实对称矩阵的特征向量的一个简便方法

黄泽霞，胡劲松*，郑克龙

(1.西华大学数学与计算机学院，成都 610039;2.西南科技大学 理学院，四川 绵阳 621002)

对称矩阵和实二次型紧密相关，它常常出现在计量经济学和一些经济数学模型［1－5］中。对任意n阶实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，使得Q－1AQ=QTAQ为对角矩阵，即实对称矩阵一定可以正交对角化［1－11］。在线性代数理论中，实对称矩阵的正交对角化问题(相似变换)和用正交变换化实二次型为标准形(合同变换)的实质是一样的。

实对称矩阵的正交对角化问题在教学中既是重点又是难点。由于实对称矩阵的特征值都是实数，且不同特征值所对应的特征向量相互正交，按照教材［1－3］里的常规方法和步骤，若要将一个具体的 n阶实对称矩阵A正交对角化，则必须先找出不同特征值所对应的线性无关的特征向量，还需要对重特征值所对应的线性无关的特征向量的进行正交化，这2个过程的工作量都比较大，有时还比较繁琐。对于重特征值所对应的线性无关的特征向量的正交化文问题，文献［9－11］利用向量正交的定义，通过直接求解多个线性方程组，从而避开了对重特征值所对应的线性无关的特征向量的“施密特正交化”过程，从而简化运算。本文利用实对称矩阵的一个性质，找到一个求其特征向量的简便方法，尤其是当实对称矩阵只有2个互不相等的特征值时，该方法更为简捷方便。

1 主要结论

由于实对称矩阵A对应于特征值λ的线性无关的特征向量的个数正好为特征值λ的重数，且不同特征值所对应的特征向量相互正交。类似教材［3］例3.2的解题思路，于是有如下结论:

定理1 若λi为n阶实对称矩阵A的重数为s的特征值，且矩阵A除λi以外的其余特征值所对应的一组线性无关特征向量已全部求出:η1，η2，…，η，n－s则齐次线性方程组的基础解系即为矩阵A对应于特征值λi的一组线性无关的特征向量(s个)。

若n阶实对称矩阵A只有2个不同的特征值时，则有:

定理2 若λ1和λ2为n阶实对称矩阵A的仅有2个不相等的特征值，且重数分别为r和n－r，则与矩阵λ1I－A的列向量组等价的任意线性无关向量组均为矩阵A对应于特征值λ2的一组线性无关的特征向量(n－r个);与矩阵λ2I－A的列向量组等价的任意线性无关向量组均为矩阵A对应于特征值λ1的一组线性无关的特征向量(r个)。

证明:由于λ1为n阶实对称矩阵A的r重特征值，则rank(λ1I－A)X=n－r。为了寻找矩阵A对应于特征值λ1的特征向量，则需求解齐次线性方程组(λ1I－A)X=0，不妨设对矩阵 λ1I－A进行一系列初等行变换化为阶梯形矩阵B，然后将矩阵B按行分块，即

其中:n 维行向量组 α1，α2，…，αn－r线性无关，且等价于矩阵λ1I－A的行向量组，即等价于矩阵λ1IA的行向量组的任意极大无关组。又由于λ1I－A仍为对称矩阵，则向量组等价于矩阵λ1I－A的列向量组，即等价于矩阵λ1I－A的列向量组的任意极大无关组。齐次线性方程组(λ1I－A)X=0与

(或BX=0)为同解线性方程组。

若 η1，η2，…，ηr为矩阵A对应于特征值λ1的一组线性无关的特征向量，即 η1，η2，…，ηr为齐次线性方程组(λ1I－A)X=0或式(1)的一个基础解系，则，即

2 应用举例

教材［3］例3.2就是按照定理1的方法得以求解的，本文只介绍定理2的应用。从定理2可知，如果实对称矩阵A只有2个互不相等的特征值，则只需要任意选定1个特征值，求解其对应的齐次线性方程组，即可求得矩阵A的全部特征向量。

例［10］实对称矩阵的特征值为:λ1=λ2=λ3=1，λ4=5。试求矩阵 A的一组线性无关的特征向量。

解法1 当λ1=λ2=λ3=1时，解齐次线性方程组(I－A)X=0，由

得一般解为:x1=－x2－x3+x4;即可得矩阵A 对应于特征值λ1=λ2=λ3=1的一组线性无关的特征向量(方程组(I－A)X=0的基础解系)为:X1=(－1，1，0，0)T，X2=(－1，0，1，0)T，X3=(1，0，0，1)T;由定理2知，矩阵A对应于特征值λ4=5的一个线性无关的特征向量即为阶梯形矩阵B1的非零行的转置向量(或矩阵I－A的第一列):

解法2 当λ4=5时，解齐次线性方程组(5IA)X=0，由(5I－A)，得一般解为:即可得矩阵A对应于特征值λ4=5的一个线性无关的特征向量(方程组(5I－A)X=0的基础解系)为:

由定理2知，矩阵A对应于特征值λ1=λ2=λ3=1的一组线性无关的特征向量(即为阶梯形矩阵B3的非零行的转置向量):β1=(1，0，0，－1)T，β2=(0，1，0，1)T，β3=(0，0，1，1)T。

注:1)解法1中，矩阵A对应于单特征值λ4=5的一个线性无关的特征向量X4是矩阵I－A的列向量组的极大无关组，也是I－A的行向量组的极大无关组，同时，X4也是矩阵I－A通过初等行变换化成的阶梯形矩阵B1的非零行向量的转置向量;即与矩阵I－A的列向量组等价的任意线性无关向量组均为矩阵A对应于特征值λ4=5的线性无关的特征向量。

2)在解法2中，B2也是阶梯形矩阵，则矩阵A对应于3重特征值λ1=λ2=λ3=1的一组线性无关的特征向量也可以取矩阵B2的前3行的转置向量。即矩阵A对应于特征值λ1=λ2=λ3=1的一组线性无关的特征向量为:γ1=(－ 1，1，1，3)T，γ2=(0，4，0，4)T，γ3=(0，0，4，4)T。

3)在解法2中，rank(5I－A)=3，即矩阵5I－A的列向量组的极大无关组中含有3个向量，且由阶梯形矩阵B2或B3可知，矩阵5I－A的列向量组的前3个向量为其中的一个极大无关组，即矩阵A对应于特征值λ1=λ2=λ3=1的一组线性无关的特征向量为:ξ1=(3，1，1，－ 1)T，ξ2=(1，3，－ 1，1)T，ξ3=(1，－1，3，1)T。另外注意到，矩阵 5I－A的任意 3列均为矩阵5I－A的列向量组的极大无关组，即矩阵5I－A的列向量组中任意3个向量均为矩阵A对应于特征值λ1=λ2=λ3=1的一组线性无关的特征向量。

4)可以证明，向量组 X1，X2，X3、β1，β2，β3、γ1，γ2，γ3和 ξ1，ξ2，ξ3都是等价的，它们都是矩阵 A对应于特征值λ1=λ2=λ3=1的线性无关的特征向量。

3 结语

如果实对称矩阵A的特征值λi的重数越大，rank(λiI－A)=n－r就越小，则用初等行变换将矩阵λiI－A化为阶梯形(或行简化阶梯形)就越容易，即求解齐次线性方程组(λiI－A)X=0就相对更简单。因此，对于一个具体的实对称矩阵，若只有两个互不相等的特征值，一般可选择重数较大的特征值来求解相应的齐次线性方程组，从而求出其全部特征向量。比如本文例子中，将I－A用初等行变换化成阶梯形矩阵B1的过程，就比将5I－A用初等行变换化成阶梯形矩阵B2或B3的过程简单得多，所以解法1明显优于解法2。

另外，本文例子中的矩阵A是文献［10］中的一个矩阵，很明显，解法1和解法2均比文献［10］或一般教材［1－3］中求其特征向量的方法简单。如果要将矩阵A正交对角化，则在解法1中，可结合文献［9－11］中的处理方法，直接求出矩阵A对应于特征值λ1=λ2=λ3=1的一组正交特征向量，从而进一步简化文献［10］中的解题过程。

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